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La notion de limite en un point

Etudier la limite d'une fonction en un point, c'est s'interroger sur le comportement de cette fonction  au voisinage de ce point.
Commençons par un exemple. On considère la fonction affine définie par f(x)=x+2.
Function f is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph consists of a line starting at (0, 2) and moving upward through (2,4) and (4, 6), and ending at (7,9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/2a976b59cd92911b3be3efaba8ef6f14ca2529ab
"La limite de f en 3 est le nombre L" ou encore "quand x tend vers 3, alors f(x) tend vers L" signifie que sur un intervalle aussi petit soit-il de centre 3, on peut rendre f(x) aussi proche que l'on veut de L. On peut utiliser la droite représentative de f pour déterminer si cette limite L existe et quelle est sa valeur. En effet, cette définition de la limité de f en 3 se traduit par : si x appartient à un intervalle, aussi petit soit-il, de centre 3, il existe un point d'abscisse x de la droite représentative de f aussi proche que l'on veut du point de coordonnées (3 ;L).
Cette animation montre que si x est de plus en plus proche de 3, tout en étant inférieur à 3, il existe des points de la droite représentative de f aussi proches que l'on veut du point de coordonnées (3 ;5).
The graph of function f is animated. A point moves upward on the line from (1, 3) to (2.99, 4.99).
Réalisé avec Geogebra.
Et celle-ci montre que si x est de plus en plus proche de 3, tout en étant supérieur à 3, il existe des points de la droite représentative de f aussi proches que l'on veut du point de coordonnées (3 ;5).
The graph of function f is animated. A point moves downward on the line from (5, 7) to (3.01, 5.01).
Réalisé avec Geogebra.
La limite de f en 3 est 5.
The graph of function f has arrows pointing along the line, pointing up to the right and down to the left, respectively, pointing to point (3, 5).
À voir cet exemple, vous vous demandez peut-être quelle est la différence entre la limite de f en 3 et sa valeur en 3, c'est-à-dire f(3).
Il se trouve que la limite en 3 de cette fonction est égale à sa valeur en 3, mais ce n'est pas toujours le cas. Il suffit pour le comprendre de considérer la fonction g qui n'est pas définie en 3 et telle que, pour tout x3, g(x)=f(x). Voici sa représentation graphique :
Function g is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph consists of a line starting at (0, 2), moving upward through (2, 4) and an open circle at (3, 5), and ending at (7, 9).
En faisant le même raisonnement que pour la fonction f, on établit que la limite de g en 3 est 5.
The graph of function g has arrows pointing along the line, pointing up to the right and down to the left, respectively, pointing to the open circle at (3, 5).
La limite de g en 3 est 5, alors 3 n'a pas d'image par la fonction g.
C'est ce qui fait la beauté des limites : elles ne dépendent pas de la valeur effective de la fonction au point considéré ; la limite en un point donne une information sur les valeurs de la fonction au voisinage de ce point.
Exercice 1
Soit la courbe représentative de la fonction h.
D'après cette courbe, quelle est la limite de h en 3 ?
Choisissez une seule réponse :

La notation de la limite d'une fonction en un point :
"La limite de""la fonction f"limx3 f(x)"quand x tend vers 3."
Les trois lettres lim montrent qu'il s'agit de la limite d'un objet mathématique.
On écrit à droite de lim l'objet mathématique dont on calcule une limite. Ici, il s'agit de f(x).
x3 qui est en-dessous de lim se lit "quand x tend vers 3. Donc il s'agit de la limite de f(x) quand x tend vers 3.
Exercice 2
Soit la courbe représentative de la fonction f.
D'après la courbe, limx6f(x) =
Choisissez une seule réponse :

Exercice 3
Comment note-t-on la limite de x2 quand x tend vers 5 ?
Choisissez une seule réponse :

On peut rendre f(x) aussi proche que l'on veut de L...

Que signifie "On peut rendre f(x) aussi proche que l'on veut de L" ? On peut faire ce tableau des valeurs de f(x)=x+2 lorsque x est proche de 3 et inférieur à 3 :
xf(x)
2,94,9
2,994,99
2,999de plus en plus proche de 34,999de plus en plus proche de 5
Et ce tableau des valeurs de f(x) si x est proche de 3 et supérieur à 3 :
xf(x)
3,15,1
3,015,01
3,001de plus en plus proche de 35,001de plus en plus proche de 5
Au vu de ces deux tableaux, on peut conjecturer que sur un intervalle aussi petit soit-il de centre 3, on peut rendre f(x) aussi proche que l'on veut de 5, donc que la limite de f en 3 est 5.
Les valeurs les plus proches de 5 que l'on a obtenues sont f(2,999)=4,999 et f(3,001)=5,001. Leur distance à 5 est 0,001.
On pouvait trouver une valeur de x telle que f(x) soit encore plus proche de 5. Si on avait voulu que sa distance à 5 soit 0,00001, on aurait pris 3,00001 ou 2,99999 et on aurait obtenu f(3,00001)=5,00001 ou f(2,99999)=4,99999.
On pourrait continuer indéfiniment... mais ce n'est pas nécessaire. limx3f(x)=5 signifie que quelle que soit la distance d, il y a une valeur de x proche de 3 telle que |f(x)5|=d
Est-il nécessaire d'énumérer tous les nombres entiers pour savoir qu'il y en a un nombre infini ? On sait qu'il y en a un nombre infini car quel que soit l'entier a, il est possible de trouver un entier b supérieur à a.
Il en est de même pour la limite en un point. limx3f(x)=5 signifie que quel que soit le nombre a tel que f(a) soit proche de 5, on pourra trouver un nombre b tel que f(b) soit encore plus proche de 5 que f(a).
Exercice 4
xg(x)
7,16,32
7,016,1
7,0016,03
6,9996,03
6,996,1
6,96,32
On peut conjecturer que limx7g(x)=
Choisissez une seule réponse :

Un autre exemple : limx2x2

limx2x2 est la limite de x2 quand x tend vers 2.
Function y = x squared is graphed. The x-axis goes from negative 4 to 6. The graph consists of a curve. The curve is a parabola, starting at (negative 3, 9), moving downward through (negative 1, 1) to (0, 0), moving upward through (1, 1), and ending at (3, 9).
Graphiquement, on voit que si x est dans un intervalle aussi petit soit-il de centre 2, il existe des points de la parabole représentative de la fonction xx2 aussi proches que l'on veut du point de coordonnées (2 ;4).
The graph of y = x squared is animated with a point moving up the curve from (1.5, 2.25) to (1.99, 3.96) and then moving down the curve from (2.5, 6.25) to (2.01, 4.04).
Réalisé avec Geogebra.
On peut aussi faire des tableaux de valeurs :
xx2
1,93,61
1,993,9601
1,999de plus en plus proche de 23,996001de plus en plus proche de 4
xx2
2,14,41
2,014,0401
2,001de plus en plus proche de 24,004001de plus en plus proche de 4
Est-il possible de trouver une valeur de x proche de 2 telle que |f(x)4|<0,001 ?
On essaie x=2,001.
2,0012=4,004001
4,0040014>0,001. On essaie x=2,0001 :
2,00012=4,00040001
Cette valeur de x convient. Plus x est proche de 2, plus f(x) est proche de 4.
limx2x2=4.

Limite à gauche et limite à droite.

On reprend la fonction f:xx+2 et sa limite en 3 : limx3f(x). On voit qu'aussi bien quand x se rapproche de 3 en étant inférieur à 3 (on dit que x tend vers 3 par valeurs inférieures) que quand x se rapproche de 3 en étant supérieur à 3 (on dit que x tend vers 3 par valeurs supérieures), il existe des points de la droite représentative de f aussi proches que l'on veut du point de coordonnées (3 ;5).
Function f is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph is a line starting at (0, 2) and moving upward through (2,4) and (4, 6). An arrow pointing up the line to (3, 5) represents approach from the left. An arrow pointing down the line to (3, 5) represents approach from the right.
La situation est différente pour la fonction h dont voici la représentation graphique :
Function h is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph consists of 2 lines. The first line starts at (0, 1), moves upward, and ends at an open circle at (3, 4). The second line starts at a closed circle at (3, 6), moves upward, and ends at (6, 9).
Si x tend vers 3 par valeurs inférieures, les points de représentation graphique de h se rapprochent du point de coordonnées (3 ;4) et si x tend vers 3 par valeurs supérieures, les points de représentation graphique de h se rapprochent du point de coordonnées (3 ;6). La limite à gauche de h en 3 est 4 et sa limite à droite est 6.
The graph of function h has an arrow, representing approach from the left, pointing up to the right along the first line to the open circle at (3, 4). Another arrow, representing approach from the right, points down to the left along the second line to the closed circle at (3, 6).
La limite de h en 3 n'existe pas.
Exercice 5
Ci-dessous la représentation graphique de la fonction g :
Celles de ces limites en un point de la fonction g qui existent sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

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