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La courbe représentative d'une fonction polynôme

Utiliser les propriétés d'une fonction polynôme pour en déduire l'allure de sa courbe représentative.

Les prérequis

Les limites à l'infini d'une fonction polynôme, c'est-à-dire les réponses à ces deux questions :
  • Quelle est la limite de f(x) si x+ ?
  • Quelle est la limite de f(x) si x ?
Ce sujet est traité dans la leçon Limites à l'infini d'une fonction polynôme.
Les racines de la fonction polynôme f sont les abscisses des points communs à la courbe de f et à l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f coupe l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f est tangente à l'axe des x.

Le sujet traité

Ici, on se sert de ces propriétés pour donner l'allure de la courbe représentative de la fonction polynôme étudiée.

Un exemple

Que sait-on de la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=(3x2)(x+2)2 ?

Son point d'intersection avec l'axe des ordonnées

On calcule l'image de 0.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3×02)(0+2)2f(0)=2×4f(0)=8
L'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des y est 8.

Ses points communs avec l'axe des abscisses

On résout l'équation f(x)=0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2
3x2=0oux+2=0x=23oux=2
Les couples de coordonnées de ses points communs avec l'axe des x sont (23 ;0) et (2 ; 0).
23 est une racine simple et 2 est une racine double. Donc la courbe de la fonction f coupe l'axe des x au point de coordonnées (23 ; 0) et elle est tangente à l'axe des x au point de coordonnées (2 ; 0).

Son comportement à l'infini

La limite d'une fonction polynôme quand x tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
On développe f(x).
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8
Le terme de plus haut degré est 3x3, donc les limites de f(x) quand x tend vers ou vers + sont les même que celles de 3x3.
3x3 est de degré impair et 3 est positif, donc si x+, f(x)+ et si x, f(x).

L'allure de la courbe de la fonction f

On utilise les résultats précédents.
D'abord les limites de f à l'infini :
  • Si x+, f(x)+.
  • Si x, f(x).
Pour les très grandes valeurs de x en valeur absolue, la courbe de f se comporte comme la courbe de la fonction qui à x fait correspondre x3.
Le début et la fin de la courbe représentative d'une fonction polynomiale dans un repère cartésien. Le début est dans le troisième quadrant et croissant. Il est légendé si x tend vers moins l'infini, f de x tend vers moins l'infini. La fin est dans le premier quadrant et croissante. Elle est légendé si x tend vers plus l'infini, f de x tend vers plus l'infini.
Maintenant les point d'intersection avec l'axe des x :
  • 2 est une racine double donc la courbe de f est tangente à l'axe des x au point de coordonnées (2 ; 0).
  • 23 est une racine simple donc la courbe de f coupe l'axe des x au point de coordonnées (23 ; 0).
Des parties de la courbe représentative d'une fonction polynomiale dans un repère cartésien. Le début est dans le troisième quadrant et croissant. La fin est dans le premier quadrant et croissante. Deux points sont sur l'axe des abscisses, un de coordonnées (moins deux, zéro) l'autre (deux tiers, zéro). Une partie de la courbe est croissante et tangente à l'axe des x en (moins deux, zéro) avant de décroître. Une autre partie de la courbe est croissante et coupe l'axe des x au point de coordonnées (deux-tiers, zéro)
Enfin, on sait que le point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des y est le point de coordonnées (0 ; 8). On en déduit l'allure de la courbe de f.
Même si on ne sait pas quelle est exactement abscisse du minimum, on a une bonne idée de l'allure de la courbe de f !
Des parties de la courbe représentative d'une fonction polynomiale dans un repère cartésien. Le début est dans le troisième quadrant et croissant. La fin est dans le premier quadrant et croissante. Deux points sont sur l'axe des abscisses, un de coordonnées (moins deux, zéro) l'autre (deux tiers, zéro). Une partie de la courbe est croissante et tangente à l'axe des x en (moins deux, zéro) avant de décroître. Une autre partie de la courbe est croissante et coupe l'axe des x au point de coordonnées (deux-tiers, zéro) . Un point de coordonnées (zéro, moins huit) est légendé intersection avec l'axe des y. Les parties de la courbes sont reliées par les parties en pointillé du graphique, passant par l'ordonnée à l'origine.

Les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.

On peut répondre à la question de savoir sur quels intervalles la fonction est positive et sur quels intervalles elle est négative.
Une fonction polynomiale légendée y égal f de x est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la fonction est croîssante et passe par le point de coordonnées (moins deux, zéro). Elle décroît en passant par le point de coordonnées (deux tiers, zéro). Pour x inférieur à moins deux, le domaine sous l'axe des abscisses est colorié et légendé moins. Pour x compris entre moins deux et trois, le domaine sous l'axe des abscisses est colorié et légendé moins. Pour x supérieur à trois, le domaine au-dessus de l'axe des abscisses est colorié et légendé plus.
On lit que f est positive si x>23 et négative si x<2 ou si 2<x<23.

A vous !

1) La fonction f est définie par f(x)=(x+1)(x2)(x+5).
a) Quel est le couple de coordonnées du point d'intersection avec l'axe des y de la courbe de la fonction f?
(0,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)

b) Si f(x)=(x+1)(x2)(x+5), alors...
Choisissez une seule réponse :

c) Quels sont les couples de coordonnées des points communs à la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=(x+1)(x2)(x+5) et à l'axe des x?
Choisissez une seule réponse :

d) Laquelle de ces courbes peut être celle de la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Choisissez une seule réponse :

2) Laquelle de ces courbes peut être la courbe représentative de la fonction qui à tout x réel fait correspondre y=(2x)(x+1)2
Choisissez une seule réponse :

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