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Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 4 

Leçon 2: Limite à gauche, limite à droite, existence de limite

Donner une valeur approchée d'une limite en un point à partir d'un tableau de valeurs

Les tableaux de valeurs d'une fonction peuvent permettre d'estimer sa limite en un point, à condition toutefois de bien comprendre comment utiliser de tels tableaux. On apprend à créer des tableaux de valeurs pertinents pour estimer la limite d'une fonction en un point donné et à utiliser un tel tableau pour estimer cette limite.
La limite d'une fonction en un point correspond au comportement de la fonction au voisinage de ce point (vers quelle valeur tend la fonction). Lorsque la fonction n'est pas définie en ce point, les tableaux de valeurs prises par la fonction permettent d'étudier ce comportement. Il est alors parfois possible de donner une valeur approchée plus précise de la limite en ce point qu'avec l'étude de la représentation graphique de la fonction.
Si l'on veut utiliser un tableau de valeurs pour conjecturer une limite en un point, il est important de choisir des valeurs de x qui s'approchent de plus en plus de l'abscisse de ce point.

Exemple

On vous demande de donner une valeur approchée de cette limite :
limx2f(x)=x2x24
Remarque : La fonction f n'est pas définie en 2 car le dénominateur est nul pour x=2. Le fait que f ne soit pas définie en 2 ne signifie pas que la limite de la fonction en 2 n'existe pas.
Étape 1 : On calcule la valeur de f(x) lorsque x se rapproche de 2 par valeurs inférieures (ce sont les valeurs "à gauche" de 2). Commençons avec 1,9 par exemple :
x1,92
f(x)0,2564non définie
Étape 2 : On choisit des valeurs de x de plus en plus proches de 2 en restant à gauche de 2.
x1,91,991,99992
f(x)0,25640,25060,25001non définie
Les valeurs de x: {1,9,1,99,1,9999} sont de plus en plus proches de 2. Il n'est donc pas pertinent de choisir des valeurs de x qui varient d'un pas constant comme {1,0,1} car elles ne s'approchent pas assez de 2.
Étape 3 : De la même manière, on choisit des valeurs de x de plus en plus proches de 2, mais supérieures à 2 (valeurs à droite de 2).
x1,91,991,99992,00012,012,1
f(x)0,25640,25060,250010,249990,24940,2439
(Remarque : Nous avons supprimé la valeur 2 du tableau uniquement pour gagner de la place, et puis cette valeur n'est pas utile pour l'étude de la limite.)
D'après le tableau de valeurs de la fonction créé, on peut dire que lorsque x se rapproche de 2 par valeurs inférieures et par valeurs supérieures, les valeurs de f(x) se rapprochent de 0,25. On peut donc conjectuer que la limite de f en 2 est 0,25, mais ce n'est qu'une valeur approchée.
Exercice 1
On a donné une fonction f à trois élèves et on leur a demandé de donner une valeur approchée de limx2f(x). Chaque élève a créé un tableau (donné ci-dessous).
Les trois tableaux sont corrects, mais lequel permet de donner une valeur approchée de cette limite ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Erreurs fréquentes lors de la création de tableaux de valeurs pour conjectuer des limites

Voici les points à vérifier lorsque vous créez des tableaux de valeurs pour donner une valeur approchée d'une limite :
Supposer que la valeur de la limite est la valeur de la fonction : L'exemple ci-dessus illustre le cas où la fonction n'est pas définie en un point mais où la limite de la fonction en ce point existe. Évitez donc de tirer des conclusions hâtives sur la valeur de la limite en vous basant sur la valeur de la fonction.
Calculer les valeurs d'une fonction en des valeurs de x éloignées de la valeur en laquelle on veut calculer la limite : Il faut déterminer les valeurs de la fonction pour des valeurs de x qui s'approchent de plus en plus de la valeur souhaitée par valeurs inférieures et supérieures pour estimer la limite en ce point.
Évitez de choisir des valeur de x qui varient par pas constants comme {1,1} ou {1,91 ; 1,92 ; 1,93} car ces valeurs ne nous rapprochent pas de plus en plus de la valeur où l'on veut déterminer la limite. Il faut continuer à diminuer les pas en utilisant des valeurs de x comme {1,9 ; 1,99 ; 1,999}, ainsi la distance entre deux valeurs successives de x devient de plus en plus petite.
Ne pas approcher des deux côtés : N'oubliez pas d'approcher la valeur de x souhaitée à la fois à gauche et à droite. Rappelez-vous que pour que la limite existe, les limites à gauche et à droite doivent être égales. Évitez de tirer des conclusions sur la valeur de la limite après avoir approché la valeur de x uniquement par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures.
Croire que "à gauche" signifie "valeurs négatives" : Certains élèves croient à tort qu'ils doivent utiliser des nombres négatifs lorsqu'ils s'approchent à gauche d'une valeur. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons approché 2 à sa gauche en utilisant des valeurs positives inférieures à 2, comme 1,9 et 1,99. Ne partez pas du principe que vous devez utiliser des valeurs négatives de x lorsque vous vous en approchez par la gauche.
Exercice 2
La fonction g est définie sur . On donne ce tableau de valeurs de la fonction g.
xg(x)
43,37
4,93,5
4,993,66
4,9993,68
56,37
5,0013,68
5,013,7
5,13,84
63,97
On peut conjecturer que limx5g(x)=
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Les erreurs courantes lorsqu'on conjecture des limites à partir d'un tableau de valeurs

Confondre la valeur de la limite et la valeur de la fonction : Rappelez-vous que la limite d'une fonction en un point n'est pas forcément la valeur de la fonction en ce point. Par exemple, dans l'exercice 2, g(5)=6,37 mais limx5g(x) est approximativement égale à 3,68.
Penser que la limite est toujours un nombre entier : Certaines limites peuvent être un nombre entier. D'autres peuvent être un nombre décimal comme 0,25 dans le premier exercice. Enfin, les valeurs des limites peuvent être approximées, comme dans l'exercice 2 où la limite de la fonction se situe autour de 3,68.

Deux questions

Exercice 3
Un élève a créé ce tableau de valeurs pour conjecturer limx7g(x).
x66,996,999977,00017,018
g(x)3,411,941,9252non définie1,92481,910,46
D'après ces données, quelle conjecture peut-on faire sur la valeur de la limite en 7 de g ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
On donne ce tableau de valeurs de la fonction f. La fonction est croissante, sauf en 5 et limx5f(x) existe.
x2345678
f(x)3,74,34,94,85,66,26,9
Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur de limx5f(x) ?
Choisissez une seule réponse :

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