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Définition d'un plan de R3 par un point et un vecteur normal

Transcription de la vidéo

dans les vidéos précédentes on a surtout cherché à construire un peu l'algèbre ulnaire on a défini des notions comme le produit scalaires la longueur où la norme d'un vecteur l'angle entre deux vecteurs et dans cette vidéo en fait que j'aimerais c'est qu'on voit un peu une application déjà de l'algèbre linéaire et on va en fait l'utiliser pour définir l'équation d'un plan d'un f3 donc je dis on va définir l'équation d'un plan dans r3 dans r3 alors pour ça donc pour commencer je vais dessiner mon plan donc j'ai mes trois axes comme ceux ci qui fit x ici y et z j'ai ces trois axes et j'ai un plan qui va être on va prendre par exemple un plan comme ceux ci comme ça voilà j'ai un plan quelconque dans ce dans cet espace de r3 et je vais chercher à donner une équation de ce plan donc par exemple si je prends un point sur sur ce plan qui est de coordonner x y z je sais que une équation de ce plan c'est à x + b y plus c'est aide égale d alors la question c'est comment est ce qu'on va pouvoir trouver cette équation comment démontrer que tout plan dans l'air froid suit une équation comme celle ci alors pour ça on va définir un point sur ce plan on va définir un point par exemple ici et on va dire que ce point précis c'est ses coordonnées sont x0 y 0 z06 on va dire quand ce point on va faire passer un vecteur un vecteur qui va du coup sortir en fait de ce plan qui qui va être ce qu'on appelle normal à ce plan je vais appeler le vecteur n donc j'ai pas défini ce que ça voulait dire normal mais en fait si on dit que n est un vecteur normal je vais mettre entre guillemets normal n est un vecteur normal ça veut dire en fait qu'il est il va être perpendiculaire à tous les vecteurs qui sont sur ce plan là tous les vecteurs qui sont inclus dans mon plan ici vont être perpendiculaire n donc n est perpendiculaire perpendiculaire à comment dire à tous là tous les vecteurs on va dire un tous les vecteurs à tous les vecteurs 2 du plan donc qu'est-ce que ça veut dire ça ça veut dire que si je prends maintenant un vecteur on va prendre un vecteur par exemple on va l'appeler à qui est dans le plan on prend un quelconque vecteur du plan ce qu'on a c'est que le produit colère de haine parra va être égal à zéro ça ça dit bien que si on prend à un vecteur à qui est dans le blanc quel que soit le vecteur à quai dans le plan le produit keller 2ème fois à va être égal à zéro donc ça veut bien dire que n est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan et maintenant le but c'est de montrer que si je définis non plan par ce vecteur haine qui est normal au plan et 1.160 y 0 z0 qui appartient au plan le couple de ces deux de ces deux grandeurs ce vecteur et ses coordonnées me permettre de donc cette définition définition par ces deux éléments me permet d'obtenir une équation du plan de la forme comme on a vu à x + b y plus c'est aide égale des sacs on va essayer de montrer alors pour ça on va définir quelques vecteurs on va définir un premier vecteur x 0 avec x 0 dont les coordonnées sont x0 y 0 z0 parce ce vecteur lasser c'est pas un vecteur du plan c'est le vecteur qui relie l'origine de mon repère au point de coordonnées x 0 y 0-0 et de la même façon je peux définir un vecteur x qui va être égale dont les coordonnées vont être x y z donc avec x y z qui forment un point du plan donc ici ce vecteur ça va être le vecteur qui va relier l'origine à ce point qui est sur mon plan ces deux vecteurs la x 0 x ne sont pas des vecteurs qui sont compris dans le plan mais ce sont des vecteurs qui relie l'origine à des points du plan donc en fait on peut le voir si on tourne un peu le point de vue qu'on a ici si on dit que notre plan il est comme ceux ci ça c'est notre plan le plan violet en fait le point x 0 il est ici est le vecteur du coup x 0 ça être ici on à l'origine ça va être ce vecteur là ça c'est mon facteur x 0 est le vecteur y pendant x le vecteur x il va rejoindre la même origine à mon point x sur le plan est donc ce que je vois déjà apparaître c'est que ni mon facteur x 0 nîmes au vecteur x ne sont compris dans le plan par contre si je prends le vecteur x moyenne 0 le vectrix - x 0 c'est ce vecteur la envers sa sé on a 10 x - x 0 celui-là c'est bien un vecteur qui est compris dans mon plan vue qui relie deux points du plan et donc qu'est ce que ça veut dire si j'écris ici mon vecteur haine non vecteur n il est comme ceux ci et on voit bien ici que les deux les deux vecteurs le vecteur 6 - 0 est le vecteur haine vont être perpendiculaire si je prends mon vecteur x - x 0 ce vecteur là il va être perpendiculaire perpendiculaire à m hamon vecteur n donc si maintenant je considère mon vecteur n je dis que mon vecteurs n c'est le vecteur ses coordonnées sont n1 n2 et n3 vu que j'ai dit ici que le vecteur xfx mois x 0 est perpendiculaire à veut dire directement d'après ce qu'on a dit dans la dernière vidéo est par définition ça veut dire que le produit scolaire de haine par le vecteur x - x 0 se produisent qu'à l'air est égal à zéro maintenant si je remplace si j'écris ces vecteurs sous forme de vecteurs colonnes donc j'ai haine qui est n 1 n 2 n 3 scalaires le vecteur x - x 0 donc les coordonnées se va être x - x 0 x - x0 y moins y 0 et z - z 0 du coup je dit que leproux discale r2n par x men 0 est égal à zéro donc maintenant je peux développer ses expressions si je développe la première ligne donc si si si je calcule le produit scalaires de haine parix x 0 g n 1 x x - x0 plus n 2 x y j'ai fait une erreur et chichi nature c'est y 0 y moi y zéro + + pardon n3 z - 0 et ça on a dit c'est égal à zéro et en fait ce qu'on voit apparaître déjà ici c'est une équation de de cette forme là si une équation de la forme ax plus big rich plus et z égal à d ici cette équation donc il faudrait la retravailler un peu pour voir apparaître cette forme exactement mais ces deux là forment à x + b y plus c'est aide égale à zéro donc si on prend un vecteur haine qui est normal à un plan n on va dire qu'il est égal aux vecteurs colonnes 1 3 - 2 et on va prendre un vecteur x10 x10 et on va dire que ce vecteur x0 illégal est le vecteur colonnes 1 2 3 donc si on prend un maintenant on pourra prendre un vecteur x qui est le vecteur coordonnées x y et z tels que en fait le point x y z tels que le point x le point de coordonnées x y z appartient à mon plan le plan que je veux que je veux définir et le plan dont la normale et n donc ça ça me dit que le vecteur x - x 0 il est égal à donc ça fait x - 1 y -2 et z - 3 donc ce vecteur là est un vecteur qui lui aussi est ou plutôt donc ce vecteur là est un vecteur qui est aussi qui est compris dans le plan il est compris dans le plan dans le plan et vu que ce vecteur x90 il est compris dans le plan comme avant on a que le produit scolaire de haine par le vecteur x wings 0 est égal à zéro donc ce qu'on a c'est que le produit qu'elle r2n donc nc 1 3 - 2 le produit scanner de haine par le vecteur x - x10 le vecteur x - x 0 on a 10 x - 1 y -2 et z - 3 se produisent qu'à l'air est égal à zéro donc si on développe le calcul on a une fois x - 1 + 3 x y - 2 - 2 fois z - 3 qui est égal à zéro donc si je développe j'ai ici x - un plus 3 y - 6 - deux aides - - pas moins donc ça fait plus fait + 6 est égal à zéro donc je vais simplifiée ici - 6 + 6 il reste 1 du coup je vais le faire passer l'un de l'autre côté donc ça me fait x + 3 y moins deux aides qui est égal à 1 là j'ai bien une équation de mon plan de la forme à x + b y plus sévère est égal à zéro en fait au lieu de faire tous calculs ici j'aurais pu directement reprendre ici en disant que n 1 c'est un n 2 et 3 et n 3 c'est moins deux et en disant que x 0 c'est un cognac 072 et que 0 c 3 si j'avais remplacé dans ce calcul par ses valeurs numériques je serais tombé sur la même chose je serais tombé sur cette équation pour mon plan donc j'espère que tu as compris que l'algèbre linéaire ici nous aident à définir une équation du plan à obtenir une équation du plan et donc c'est une des premières et donc c'est une des premières applications de l'algèbre linéaire