If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :9:58

Transcription de la vidéo

le but de cette vidéo en fait ça va être de s'assurer qu'on est capable à partir de l'équation d'un plan en trois dimensions qu'on est capable à partir de cette équation de retrouver en fait le vecteur normal à ce plan donc on avait déjà parlé un peu de d'équations plan à trois dimensions et on avait vu comment à partir du d'un vecteur normale et d'un point sur ce plan comment est-ce qu'on pouvait retrouver l'équation du plan et maintenant on va faire un peu le chemin inverse et pour commencer on va définir un plan donc je vais dessiner un plan ici je vais te définit un plan comme ceux ci le plan bien sûr il va y va à l'infini dans les deux directions ici et on va définir un vecteur normal à ce plan donc on va dire que ce vecteur là le vecteur on va l'appeler haine et on va dire que end c'est à i + b j plus ces cas et du coup on a dit que ce vecteur était normale aux plans de cool il est normal en fait à tous les vecteurs du plan et on va maintenant définir un point sur ce plan on va définir un point ici qui est sur le plan et dont les coordonnées sont xp y une grecque paix et z p du coup en fait l'oeuvre avant de faire ça il faudrait que je définis mais axe donc je vais définir les axes ici il fit j'ai mon axe z ici je vais avoir mon axe y ait ici comme ceci je vais avoir mon axe x et du coup je peux déjà définir un vecteur position pour ce point ici xp y possède paie donc le vecteur hiver partir de l'origine et il va aller jusqu'à mon point ici et ce vecteur ici ce vecteur position on va l'appeler p p 1 c'est est un donc c'est le point 1 sur mon plan et puis on peut définir également de la même façon un point à un autre point qui est sur le plan et ce point là on va dire que ses coordonnées sont x y et z en fait ce point je prends ici mais on va dire que c'est un point qui peut se déplacer sur le plan x y z peuvent prendre toutes les valeurs possibles tels que ce point là soit sur mon plan qui est vert et du coup il fut aussi je peux définir un deuxième vecteur position tu veux être comme ceux ci et ce vecteur position on va l'appeler paie donc bien sûr on a que paie un vecteur p1 il est égal à x p x pays plus y p j + ztk et de la même façon peu dire que mon secteur amont vecteur paie mon vecteur p il est de la forme x y plus plus y j + z qu'à la gg deux vecteurs ces deux vecteurs ne font pas partie du plan aucun des deux n'est n'ai compris dans le plan mais par contre à partir de ces deux vecteurs je suis capable de définir un vecteur qui lui est compris dans le plan et ça on l'a fait dans la vidéo la première vidéo où on parlait des plans ça va être le vecteur paix - p1 ce vecteur paix - p1 va relier mes points xp y psb à x y z et du coup il va être bien être compris dans le plan donc ce point ce vecteur là on a dit que c'était le vecteur qui est relié xp a enfin le point explique guy pzp à x y z donc c'est ce vecteur là j'ai dit je vais car là c'est le vecteur paix - et un et du coup maintenant on a vu dans la vidéo de la première vidéo sur le plan on sait que ce vecteur haine qui est normal au plan et est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan donc il est aussi perpendiculaires aux vecteurs peu moins bien et donc ça veut dire que le produit scalaires de haine par le vecteur paiements t1 va être égal à zéro donc je peux marquer ça on a dit que n scalaires le vecteur est moins p1 paix - p1 est égal à zéro alors du coup juste avant de faire ce calcul le vecteur paix - p1 ses coordonnées on peut les calculs et assez facilement mais moins p1 illégal à x - xp selon i plus y moins y paie moins y paie selon j + z moins épais selon k donc maintenant je peux faire le calcul du produit ce cas là sans aucun problème et j'ai du coup donc ça c'est le produit scolaire est égal à zéro et illégale à quoi il est égal donc on va voir à x - à xp donc ici jeudi à x - à xp plus b y moimbé y paie plus b y moimbé y paie plus ses aides - cnp ça c'est ce qu'on a fait dans la première vidéo est maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va séparer les termes en x y et z donc on a ce terme ici on a ce terme ici et on a ce terme ici donc on va ces trois termes on va l'essayer de ce côté là et les trois termes on va les additionner de chaque côté pour pouvoir les faire passer de l'autre côté en fait donc si je regarde ce que ça donne donc d'un côté il me reste à x + b y plus c'est z et de l'autre côté donc j'avais zéro et j'additionne ax b y met pendant à xp begag p&c et paie donc ça me fait à xp plus b y paie plus ses aides p donc ça c'est ce qu'on avait obtenu dans la dans la première vidéo et en avaient dit que c'était bien de la forme de l'équation d'un plan qui est la forme générale ces grands ax plus grand baie y plus commencer z égal à grande et alors si on regarde un peu plus en détails en fait on est tout à fait capable maintenant de déterminer à partir de cette équation quel sera le vecteur normal parce que il si on a un terme à ax donc comme ceux qui ici un terme en bout y c'est même chose ici un terme à ces aides est ici en fait on a un terme qui ne dépend pas de x y z donc est juste à un nombre qui est qui fixe et du coup qui va correspondre à mon grand des et ici à b et c on a vu que c'était les coordonnées de mon vecteur normal donc si j'ai cette équation là pour mon plan je suis capable maintenant de dire que le vecteur est normal à ce plan d'équations grand ax plus grand baie y plus grands 6 et décale des le vecteur normal à ce plan il est égal grand a selon i plus grand baie selon oggi plus commencer selon k donc j'étais capable de façon très très simple à partir de cette équation de trouver le vecteur normal à ce plan donc je vais faire la même chose maintenant sur un exemple si on prend maintenant une équation pour un plan on va dire que c'est un plan - 3x plus racine de deux y plus cette aide égale api donc quand on va s'en tenir là là ça va être compliqué trouver le vecteur normal en fait non d'après ce qu'on a vu c'est extrêmement simple mon vecteur normal à ce plan ça va être le vecteur npn jeu pour à le calculer comme en fait ça va être ici le premier la première le premier coefficient ça va être moins trois d'entre eux rejettent moins trois selon ea plus le 2ème confiance à cette racine de 2 selon le gie +7 selon k donc en fait j'ai été capable de façon très simple de trouver le vecteur normal à ce plan juste en identifiant les coefficients de vent mais x y et z là je peux ajouter que ici on voit que le le pi n'a aucune influence sur mon vecteur normal en fait le pis ça va juste me dire ça va pas changer l'orientation de mon plan l'orientation ne dépend pas de ceux de ce terme par contre c'est juste la hauteur entre guillemets de ce plan qui va changer quand je change pis du coup si je remplace pis par exemple par sans mon vecteur normale va rester le même mais c'est juste que mon plan va être transplantés et du coup dans la vidéo suivante on pourra utiliser le fait qu'on est capable de retrouver le vecteur normal à un plan pour estimer la distance qui existe entre un point et un plan dans la croix