Contenu principal
Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 7
Leçon 4: Déterminer les points d'inflexion de f, grâce aux zéros de f''- Points d'inflexion
- Points d'inflexion 1
- Points d'inflexion et courbes de la fonction et de la dérivée
- Erreurs dans la recherche de points d'inflexion - Oubli de l'examen du signe de la dérivée seconde
- Erreurs dans la recherche de points d'inflexion - Points où la dérivée seconde n'est pas définie
- Dérivée seconde et points d'inflexion
- Points d'inflexion 2
- Justifier à l'aide de la dérivée seconde - Point d'inflexion
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée seconde
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée seconde
- Points d'inflexion - Savoirs et savoir-faire
- Déduire des dérivées d'une fonction polynôme l'allure de sa courbe représentative
- Convexité d'une fonction et points d'inflexion
Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée seconde
Démontrer en utilisant la dérivée seconde
Le sens de variation d'une fonction et les abscisses de ses extremums sont liés aux propriétés de sa fonction dérivée .
La concavité d'une fonction et les abscisses des points d'inflexion de sa courbe représentative sont liés aux propriétés de sa fonction dérivée seconde .
Qu'est-ce qu'une fonction convexe/concave ?
La fonction est convexe sur l'intervalle si et seulement si sa fonction dérivée est croissante sur . Ce qui signifie que si , et , alors la pente de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est supérieure à celle de la tangente à la courbe de au point d'abscisse . Si une fonction est convexe, elle a cette allure : .
La fonction est concave sur l'intervalle si et seulement si sa fonction dérivée est décroissante sur . Ce qui signifie que si , et , alors la pente de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est inférieure à celle de la tangente à la courbe de au point d'abscisse . Si une fonction est concave, elle a cette allure : .
La courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion si la fonction change de convexité en ce point.
La relation entre la dérivée seconde et la concavité de la fonction
positive | croissante | convexe |
négative | decroissante | concave |
change de signe | change de sens de variation | point d'inflexion ( |
Voici un exemple :
Attention à bien distinguer les propriétés de la fonction , celles de la fonction et celles de la fonction
Par exemple, dans l'Exercice , est convexe sur l'intervalle , mais on ne peut pas en déduire que est convexe sur cet intervalle.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Attention aux lectures graphiques
Par exemple, dans l'exercice précédent, si par inadvertance on considère que la courbe donnée est celle de la dérivée et non celle de sa dérivée seconde alors on en déduit que les points d'inflexion de la courbe de sont et .
Attention à rester vigilant si l'exercice demande une lecture graphique. Toujours bien vérifier si la courbe en question est celle de la fonction, celle de sa dérivée ou celle de sa dérivée seconde.
On peut utiliser la dérivée seconde pour déterminer si un extremum est un maximum ou un minimum
Si on sait que la fonction a un extremum en et qu'elle est convexe sur l'intervalle , peut-on en déduire si cet extremum est un maximum ou un minimum ?
La réponse est "Oui" ! est convexe sur l'intervalle , donc sa courbe a cette allure : . Le point d'abscisse ne peut être qu'un minimum.
De même si une fonction a un extremum sur un intervalle sur lequel elle est concave, cet extremum ne peut être qu'un maximum.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Pas encore de posts.