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Défi trigonométrique : un problème avec plusieurs contraintes

On résout un problème algébrique compliqué : problème 47 extrait de  2010 JEE papier I Examen. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors on nous donne un angle tu es tu as compris entre - pis sur deux épis sur deux et on nous demande pas de résoudre ce système là mais de simplement de déterminer le nombre de solutions de ce système là avec une contrainte supplémentaire qui est que tu état ne doit pas être un multiple de pi sur cinq dans cet intervalle alors ici on a donc un système d'équations et dans lequel interviennent des fonctions trigonométriques sinus tangente caussinus mêmes qu'au tangente alors en général pour résoudre une équation trigonométriques dans laquelle il ya des fonctions trigonométriques ce qui va falloir réussir à faire s'est exprimée les deux membres de l'équation avec la même fonctions trigonométriques donc si on arrive ici à exprimer qu tangente de cinq états comme la tangente d'un autre angle eh bien on pourra résoudre cette équation là alors pour faire ce genre de conversion de transformation on a en fait deux outils fondamentaux le premier c'est le triangle rectangle et le deuxième c'est le cercle trigonométriques alors dans le triangle rectangle pour revenir à la définition des fonctions trigonométriques on a ce critère-là saut k toa que tu connais bien certainement et en fait ça veut dire que dans un triangle rectangle je vais en dessiner ici voilà ça c'est un triangle rectangle je vais nommer ses sommets a b c ici on a donc un angle droit et disons que là on à l'angle teta alors le cosinus de l'angle d'état c'est le côté adjacent / l'hypoténuse donc le cosinus de teta ici c'est le côté adjacents qui es ab / l'hypoténuse qui est assez intéressant de remarquer c'est que dans ce triangle rectangle l'angle qui est ici on peut facilement déterminer sa mesure en fonction de l'état en fait c'est pis sur deux - t'es tu as ça c'est parce que la somme des angles de ce triangle doit être égale api alors ce qui est intéressant c'est qu'en fait le sinus de cet angle là donc le sinus de pi sur deux moins d'état et bien c'est le cosinus de teta puisque le sinus de pi sur deux - keita c'est donc le côté opposé à l'angle donc c à b / l'hypoténuse qui est toujours assez donc finalement tu vois qu'on a eu une première relation qui va être très importante qui va nous être utile c'est que alors je les balles écrite ou à l'écrire comme ça plutôt le cosinus de teta c'est le sinus de pi sur deux - keita ça c'est valable pour n'importe quel angle le cosinus d'un angle c'est le sinus de pi sur deux mois cet angle ça c'est une première chose et ça va nous servir probablement pour cette équation ici pour la 2eme du système et pour la première équation évidemment il faut se souvenir de ce qu'on appelle la côte en jantes l'aco tangente d'un angle teta est bien celle inverse de la tangente de landes lot et a donc c'est le cosinus de teta sur le sinus de teta alors caussinus de teta on a vu que c'était sinus de pi sur deux - keita et puis de la même manière en fait on aurait très bien pu voir que le sinus de teta c'est le cosinus de l'angle puis sur deux - et a effectivement ici le sinus de teta cbc sur ac et donc c'est en fait le cosinus de cet angle là donc finalement la côte en jantes de teta c'est le sinus de pi sur deux mouettes et assure le cosinus de pi sur deux moins d'état et ça en fait c'est la tangente de l'angle pis sur deux - et a donc on a une deuxième relation qui est celle là qui va nous être utile c'est que l'aco tangente d'un angle teta c'est la tangente de pi sur deux moins d'état alors maintenant que tu es rappelé à mes la vidéo sur pause et essayent de résoudre ce problème tout seul et puis ensuite on verra ensemble comment est ce qu'on peut faire alors je vais déjà m'occuper de la première équation tangente et à égal qu'autant jantes de 50 états et pour m'occuper de cette équation là en fait je vais transformer qu'autant jantes de 5 keita en me servant de cette équation là donc j'ai tangente de teta qui doit être égale à côte en jantes de 50 états et qu'autant jambes de cinq étages peut me servir de ça je peux l'écrire comme tangente de pi sur deux - 5 d'état alors évidemment ça ce sera vrai site et à st gall api sur deux - cinq étapes certainement mais c'est pas la seule solution en fait il peut y en avoir d'autres et pour te rappeler de ça en fait ce que tu peux faire c'est rapidement reprendre le cercle trigonométriques donc voilà c'est un cercle de rayon 1 et si je dessine ici un angle d'état voilà teta est ici on peut facilement se rappeler de ce que c'est que le sinus et le cosinus de cet angle mais ce qui est important aussi c'est que la tangente de cet angle et bien en fait c'est la pente de cette droite là ce qui fait que tu vois si tu ajoutes un multiple de pi par exemple si tu ajoutes upi ton angles en fête sera celui ci et on retombe sur la même droite là j'ai fait état plus pi et je tombe sur la même droite donc la tangente de teta et la tangente de teta plus pis son égal sont les mêmes ce serait la même chose avec la tangente de teta - pie ou bien la tangente de teta plus un multiple de pin n'importe lequel donc ce qu'on a c'est que la tangente de teta est égale à la tangente de teta plus un multiple de pi alors ça c'est important alors ici n est un nombre relatif donc ça veut dire que ici cette équation sera vérifiée cité-etat est égal à pi sur deux - 5 teta module opi donc plus un multiple de pi donc ici n est un nombre relatif alors ce qu'on peut faire ici c'est travailler un petit peu sur cette équation là je vais faire passer de l'est moins cinq états ici de l'autre côté donc je vais à voir si cet état en fait j'ajoute cinq états de chaque côté donc si cet état sera égale appuyé sur deux plus n fois pis et ça bon je peux le simplifier je peux écrire que seppi sur 2 + 2 n fois pis sur deux donc finalement on n'obtient que cité-etat doit être égale à 2 n + 1 x pis sur deux là j'ai tout simplement factories épissures de ici est donc maintenant je vais divisé par 6 des deux côtés et j'obtiens que d'état doit être égale à 2 n + 1 fois pis sur 12 voilà donc ça c'est en fait les solutions de ma première équation de la première équation du système d'équations maintenant il faut que je m'occupe de la deuxième alors la deuxième c'est sinus deux têtes à égal caussinus quatre états alors je vais écrire caussinus quatre états comme le sinus d'un angle en me servant de cette relation qu'on a trouvé ici en remplaçant évidemment teta par quatre états donc ma deuxième équation elle devient sinus 2 tu es tu as égale sinus de pi sur deux - 4 d'état alors ici cette équation l'asra vérifier si cet angle là est égal à celui ci modulo 2 pi donc plus ou moins un multiple de 2 pi donc ce que je peux écrire c'est que du coup deux teta doit être égale appuyé sur deux - 4 d'état plus un multiple m2 2 pi donc je l'écris comme ça et ici m c'est un nombre relatif aussi donc comme tout à l'heure je vais travailler un petit peu sur cette relation là et donc je vais ajouter 4 teta des deux côtés j'obtiens que cité-etat est égal appuyé sur deux plus 2ème fois pis alors deuxième fois puis je vais l'écrire en fait comme 4 m woippy sur deux et donc je l'obtiens que cité-etat est égale à la gelée factories épi sur deux comme ce que j'ai fait tout à l'heure donc ça me donne 4ème plus un foua bi sur deux et donc là je vais divisé par 6 des deux côtés et j'obtiens que tu état doit être égal à 4 m plus un woippy sur 12 voilà ça c'est ma deuxième équation enfin les solutions de ma deuxième équation donc maintenant il faut trouver des valeurs de teta qui sont ici et ici en même temps et puis qui sont aussi dans l'intervalle - pis sur 2 pi sur deux peut déjà remarquer qu en fait une solution de cette équation là est aussi une solution de cette équation là puisque ici si on prend un certain nombre m là on pourra le remplacer par le double ici et on aura la bonne valeur mais bon ça c'est une remarque que tu pourrais très bien faire mais sinon tu peux déjà regarder quelles valeurs de teta ici sont dans l'intervalle - pis sur 2 pi sur deux donc c'est ce que je vais faire alors j'ai pour n égale zéro je vais avoir pris sur 12 ça c'est une première cellule solution pour un égal 1 j'aurai deux fois un plus un ça fait 3 donc 3 pi sur 12 donc c'est puis sur quatre mais bon je laisse comme ça pour l'instant et puis ici pourrait nega 2 j'aurai deux fois 2 4 + 1 donc 5 pi sur 12 5 pi sur 12 ensuite si je remplace m par 3 je vais avoir deux fois 3 6 +17 piste sur 12 cette piste sur 12 s'est plus grande piste sur doute donc déjà en sort de notre intervalle - puis sur deux pistes sur deux donc on peut pas prendre n égale 3 donc on fera pas prendre non plus un égale 4 et ainsi de suite donc on s'arrête là par contre on peut aussi regarder des valeurs négatives alors si je prends un égal - 1 et bien j'aurai ici - 2 + 1 ça fait moins 1 donc moins pis sur 12 c'est une solution de notre première équation et puis pour n égale moins 2 j'aurais deux fois moins deux ça fait moins quatre plus un ça fait moins 3 donc je réussis - 3 pi sur 12 ensuite je prends un égal moins 3 je vais avoir en fait - 7 pi sur 12 et ça ça sort de mon intervalle - puis sur 2 pi sur deux donc les seules solutions de ma première équation qui sont dans l'intervalle mois puis sur deux puits sur deux ce sont ces solutions là alors maintenant je vais faire la même chose avec les solutions de notre équation de la deuxième équation donc si je remplace m par 0 j'aurais 4 x 0 + 1 ça fait 1 donc j'aurais pu surtout ça c'est aussi une solution de la deuxième équation si je remplace m par un je vais avoir quatre plus un ça fait 5 5 pi sur 12 alors là je me suis trompé c'est pas 5 pi sur deux c'est 5 pi sur 12 c'est bien ce que j'avais dit tout à l'heure donc pardon est donc ici je reviens là on as pour m égal 1 j'aurais 5 pi sur 12 donc ça c'est aussi une solution de ma deuxième équation si je prends m égal 2 obtient 9 pi sur 12 qui sort de mon intervalle - puis sur 2 pi sur deux donc c'est pas une solution qui nous intéresse donc c'est pas la peine que j'aille chercher pour des valeurs n supérieure ou égale à 2 alors je vais regarder quand même pour les valeurs négatives si je prends m égal moins 1m égal moins un jeu avec -4 plus un ça fait moins trois donc j'obtiens -3 puis sur 12 qui est ici donc moins trois puits sur douce est une solution de ma première équation et c'est aussi une solution de la deuxième alors si je prends m égal moins deux bien là comme tout à l'heure je vais sortir de l'intervalle mois puis sur deux puits sur deux donc finalement j'ai répondu à la question en fait j'ai trois solutions de mon système d'équations qui sont celles l'api sur 12 5 pi sur 12 et -3 puis sur 12 alors tu vois que là en fait on a fait un peu plus que ce qui était demandé parce qu'on a explicitement déterminer les solutions alors qu'on nous demandait juste le nombre de solutions donc la réponse c 3 alors il y avait quand même une bonne chose à vérifier c'était cette contrainte la dta différent de haine fois puis sur cinq donc d'état n'est pas un multiple de pi sur cinq et c'est le cas de ces trois solutions qu'on l'a trouvé ici donc ça il y en a terminé on m'a répondu à notre problème il y a trois solutions à ce système d'équations avec cette contrainte supplémentaire