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Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 3

Leçon 1: Radians, longueur d'arc, aire de secteur

Deux exercices sur l'angle inscrit

Exercice 1

L'angle

A \hat{B} C

est inscrit dans le cercle de centre

P

P C = 12

et la longueur du petit arc

\overset{⌢}{A C}

est égale à

\frac{68}{15} π

Calculer la mesure en degrés de l'angle $A \hat{B} C$ ‍.

^{\circ}

Pour trouver la mesure de l'angle au centre qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{A C}

, on doit calculer la circonférence du cercle.

$\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 12 \\ = 24 π \end{aligned}$ ‍

On connaît la longueur de l'arc

\overset{⌢}{A C}

et on sait qu'elle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte, donc :

$\begin{aligned} \frac{longeur de l’arc}{circonférence} & = \frac{mesure de l’angle au centre qui l’intercepte}{mesure de l’angle plein} \\ \frac{(\frac{68}{15} π)}{24 π} & = \frac{mesure de l’angle au centre qui l’intercepte}{360^{\circ}} \\ mesure de l’angle au centre qui l’intercepte & = \frac{68}{15} π \times \frac{360^{\circ}}{24 π} \\ = 68^{\circ} \end{aligned}$ ‍

L'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Si l'angle au centre qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{A C}

est égal à

68^{\circ}

, alors l'angle inscrit

A \hat{B} C

est égal à

34^{\circ}

$A \hat{B} C$ ‍ mesure $34^{\circ}$ ‍.

Exercice 2

L'angle

A \hat{B} C

est inscrit dans le cercle de centre

P

P C = 4

Calculer la longueur de l'arc $\overset{⌢}{A C}$ ‍.
On demande soit sa valeur exacte en fonction de $π$ ‍, soit sa valeur approchée au centième obtenue en remplaçant $π$ ‍ par $3, 14$ ‍.

On cherche la longueur du petit arc de cercle dont les extrémités sont

A

C

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte. On calcule donc d'abord la circonférence du cercle.

[P C]

est un rayon donc le rayon du cercle est égal à 4.

$\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 4 \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

L'angle au centre qui intercepte un arc est égal au double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Donc si l'angle inscrit

A \hat{B} C

est égal à

\frac{2}{5} π

alors l'angle au centre qui intercepte l'arc

\overset{⌢}{A C}

est égal à

\frac{4}{5} π

radians.

On en déduit que :

$\begin{aligned} \frac{longueur de l’arc}{circonférence} & = \frac{angle au centre qui l’intercepte en radians}{angle plein en radians} \\ \frac{longueur de l’arc}{8 π} & = \frac{(\frac{4}{5} π)}{2 π} \\ longueur de l’arc & = \frac{4 π}{5} \times \frac{8 π}{2 π} \\ = \frac{16}{5} π \end{aligned}$ ‍

La longueur de l'arc $\overset{⌢}{A C}$ ‍ est égale à $\frac{16}{5} π$ ‍.

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