Distance entre les plans

dans la vidéo précédente on a vu comment calculer une distance qui sépare un point à un plan et l'idée de cette vidéo maintenant ça va être d'utiliser cet énoncé ici qui nous est donnée pour apprendre comment calculer les distances entre deux plants donc l'énoncé nous dit que si la distance entre un premier plan qui est défini comme ceci est un deuxième plan qui contient de droite donc bien sur le fait que ce blanc contiennent de droite suffit à le définir donc si j'ai la distance entre ces deux blancs qui est égal à 2 la question c'est alors que vos des qui est ce paramètre ici donc pour commencer je vais essayer de dessiner mes plans donc je veux dire que j'ai un premier plan comme ses filles donc ça je vais dire que c'est mon plan d'équations ax -2 y plus z égal à des dons qui je ne connais pas et je ne connais pas d et g un deuxième plan que je vais dessiner en dessous comme ceci j'ai un deuxième plan et ce plan il est défini par le fait qu'ils aient de droite qui sont compris dans ce plan donc je vais avoir j'avais une droite qui va être par exemple comme ceux-ci comprise dans le plan et je vais avoir une deuxième droite comme ceux-ci comprise dans le plan bonds est la première chose à faire c'est d'arriver à trouver une équation de ce deuxième plan qui est définie par la présence de droite donc pour ça on va on va chercher des points qu'ils sont contenues sur ces droite parce que si des points sont contenues sur ces droite ça veut dire qu'ils sont compris dans le plan en fait il suffit d'avoir trois points de ce plan bleu ici pour pouvoir le définir donc si je prends par exemple dans cette premier droite je prendre que tout est égal à zéro donc ça veut dire que x - est égal à zéro dans ce fief x égal à 1 donc je définis avec le premier point donc c'est un y moins de égal à zéro donc ça veut dire y égale à 2 et z -3 égal à zéro donc ça veut dire z égale à 3 donc ce point 1 2 et 3 il est compris sur cette première droite je pourrais prendre aussi un deuxième point sur cette droite par exemple tel que chaque chaque élément ici est égal à 1 donc x moins d'un sur deux est égale 1 ça veut dire heat - 20 égale à deux donc x égale à 3 mon deuxième point c'est 3 y moins 2 sur 3 égal à 1 donc ça veut dire que y -2 égale à 3 donc ça veut dire que y égale 5 3 5 et z - 3 sur 4 égal à 1 ça veut dire que z - 3 est égal à 4 donc ça aide égale à 7 ça c'est deux points qu'ils sont sur ma première droite j maintenant je peux prendre un point qui est sur la deuxième droite donc ici aussi je peux dire que tout est égal à zéro donc ça veut dire que x égale à deux queues y légale à 3 et que z égal à quatre ça c'est bien un point qui se situe sur ma droite ici et à partir de ces trois points maintenant je peux définir deux vecteurs qui seront compris dans le plan trois points ne me suffisent pour définir de vecteurs donc j'ai un premier vecteur qui va relier ces deux points qui va être un vecteur du coup sur ma droite ici jaune je vais avoir un vecteur comme ça et du coup ses coordonnées je vais l'appeler le vecteur à ses coordonnées je veux dire que le vecteur à s'est du coup 3 - 1 donc 2 i + 5 mois de donc 3 j + 7 ou moins trois donc 4 k4 cas donc ça c'est un premier vecteur qui est sur ma ligne sur ma droite jaune je peux prendre un deuxième vecteur en fait je prendre un deuxième vecteur par exemple qui relie ce point là à ce point là donc je prends un vecteur qui relie ces deux points là je l'appelais le vecteur b est le vecteur b donc ses composantes ces coefficients ces 2 - 1 donc un ton qui y 3 - 2 donc un j ai 4 - 3 donc un cas alors maintenant du coup j'ai ces deux vecteurs qui sont compris dans mon plan est du coup à partir de ces deux vecteurs je peux calculer le vecteur normal à ce plan tout simplement en faisant le produit vectorielle de ces deux vecteurs le produit vectorielle de ces deux vecteurs sera perpendiculaire à chacun de ces vecteurs donc ce sera bien un vecteur qui sera normale au plan et donc ça le produit scolaire le produit vectorielle maintenant on sait faire je suis je calcule le produit vectorielle de à barbe et donc pour le pour réussir à calculer je vais prendre la méthode du déterminant je prends de la matrice y j et k et je vais prendre les coefficients de mes deux vecteurs donc 2 3 4 et 1 1 1 donc maintenant je calcule le coefficient de cette matrice donc c'est égal à quoi c'est égal par rapport à j j'ai du coup le déterminant de cette matrice de ici donc ça fait trois fois moins une fois 4 donc ça fait moins y par rapport à j du coup je mets en moins déjà et le coefficient ces deux fois 1 - une fois qu'a donc ça fait moins deux du coup avec le plus se fait plus 2 + 2 j et par rapport à cas maintenant j'ai deux fois 1 - une fois 3 donc ça fait - k donc très simplement là j'ai été capable de trouver un vecteur qui est un vecteur normal à mon plan bleu je vais écrire c'est un vecteur comme ceux ci un vecteur qui est normal à mon plan bleu et du coup maintenant à partir de ça je vais être capable de déterminer l'équation de mon plan donc si je prends par exemple un point ici je vais prendre un point x y z donc ce point qui peut aller n'importe où sur mon plan mais qui est qui est compris dans le plan et du coup je vais pouvoir définir un vecteur je vais l'appeler le vecteur vais je dire que le vecteur vais je vais appeler le vecteur veille le vecteur qui relie ce point x y z au point un deux trois je veux dire par exemple qu'il est comme ça ça je dirais que c'est mon vecteur v et du coup je peux je connais ses coordonnées ses coordonnées c'est x - un i plus il y moins 2 j plus z - trois cas ça c'est un vecteur est maintenant pour avoir l'équation de mon plan je sais que le point x y z sera sur mon plan si le produit vectorielle devait pas rennes est égal à zéro sylvaine sont perpendiculaires donc ça je peux faire le calcul si je fais le calcul qu'est ce que j'obtiens ça assez égal à x - au moins vingt ans donc ça fait moins x + 1 y deux fois y -2 donc plus 2 y - 4 - z - 3 donc moins z +3 et donc ça je veux dire que c'est égal à zéro donc est ce que j'obtiens j'obtiens - x + 2 y - z plus + 1 - 4 + 3 donc ça fait plus 0 donc ça fait rien ça c'est égal à zéro donc mon équation l'équation de mon plan c'est ça c'est moins x + 2 y - z est égal à zéro alors maintenant il ya une chose que j'ai pas dit c'est que si on veut définir une distance entre ces deux plans ça veut dire que les deux plans doivent être parallèle parce que s'ils sont pas exactement parallèle il va y avoir un moment où ils vont toucher donc la distance serait nul donc si la distance qui sépare ce plan n'est pas nul ça veut dire qu'ils sont parallèles et s'ils sont parallèles ça veut dire que les coefficients ici devant x y et z doivent être proportionnelles et du coup on fait ce qu'on voit c'est que là on a moins deux y ici on a plus 2 y ici on a plus a dit si on a moins z du coup ce qu'on va faire c'est qu'on va juste modifié cette équation en fait ça va pas changer notre plan si je dis que c'est l'équation de mon plan c'est x -2 y plus z égal à zéro ça c'est une équation tout aussi valable de mon plan bleu ici et du coup à partir de ça maintenant je suis capable de déterminer à l'âge est bien moins 2 y - 2 y possède plus aide et du coup il faut que le à il soit égal à 1 donc je sais que le ac1 je vais enlever comme ça donc l'équation de ce plan vert cx moins deux grecs plus z aygalades et est maintenant une fois que j'ai les équations pour mes deux plantes je vais être capable de définir la distance qui les sépare alors pour s' assez simple en fait la distance qui les sépare ça va être la distance qui sépare n'importe quel point de mon plan bleu du plan vert donc si je prends par exemple ce point ici le point 1 2 3 la distance entre le plan bleu et le plan vert ça va être la distance entre ce point 1 2 3 et le plan vert du coup ça va être cette distance ici donc maintenant je peux la calculer parce que d'après la dernière vidéo je sais maintenant calculer la distance entre un point et un plan et cette distance donc je dire la distance j'ai appelé de distance pour pas confondre avec le d de cette équation ici cette distance ségala quoi c'est égal à la valeur absolue ou en fait on va remplacer x y z ici par les coordonnées de mon points donc ça fait mon point c'était un deux trois ça fait 1 - 2 x 2 donc moins 4 plus 3 il me reste moins d - d dès que je connais pas et c'est ça ma distance et sa / la norme de mon vecteur normal donc c'est à dire la racine carrée deux monts vecteur normal c'est 1 - 2 1 donc ça fait un an calais 1 - 2 au carré ça fait 4 donc plus 4 et 1 en quart et un donc si je continue mon calcul ça me donne ici un -4 +3 ça fait zéro donc au numérateur j'ai moins d g la valeur de celui de moins d donc c'est égal à la valeur absolue 2d aussi c'est la même chose c'est la valeur absolue donnée sur racine 2 j'ai fait une bêtise la c4 c'est pas 4 carrés 1 c2 au carré qui me donne quatre parce que c'était ceux - 2 o car est classée 4 donc c'est un plus racine carrée 2 1 + 4 plus simple donc racine carrée 2,6 et moi ce que je voulais obtenir dans son énoncé c'est la distance et des le paramètre dès maintenant je suis capable de le calculer d'après ce que j'ai dit ici j'ai la distance en fonction de d d'après ce que j'ai ici donc je sais que ma valeur absolue deux des six jeux multiplient de chaque côté par racine carrée ça va être égal à racine carrée 2,6 fois ma distance et dans mon énoncé je disais que la distance elle était égal à 2 j donc je sais que la valeur absolue 2d est égal à race à distance frenchies donc deux racines de 6 donc en utilisant ce que je savais sur la distance entre un point et un plan est ce que je sais sur comment construire un plan à partir du vecteur normal j'ai été capable de calculer ce paramètre d