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Aire d'un triangle équilatéral

Transcription de la vidéo

alors le triangle qui est dessiné ici c'est un triangle équilatéral le côté a pour mesure s s unités 1 et là ce qu'on va essayer de faire c'est d'exprimer l'air de ce triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté donc en fonction de s alors on va commencer par tracer la hauteur issus de ce sommet par exemple alors je vais la trace est ici voilà donc la hauteur je vous rappel c'est une droite qui part du sommet qui couple c'est le côté opposé à angle droit donc ici on a des angles droits voilà alors maintenant ce qu'on sait c'est que dans un triangle équilatéral tous les angles font 60 degrés donc ici cet angle là je vais changer de couleur cet angle qui est ici il mesure 60 degrés et on retrouve ici aussi voilà et on le retrouve aussi dans ce sommet là en haut mais si on regarde maintenant le les triangles rectangles qu'on combattra c'est ici avec la hauteur donc en fait on a 100 ans ce triangle rectangle là on a un angle de 90° un angle de 60° donc le deuxième angle troisième angle par dont celui qui est ici il fait nécessairement prendre degrés et on retrouve la même valeur de l'autre côté ici donc effectivement ça veut dire que la hauteur la hauteur dans le cas d'un triangle équilatéral c'est aussi la bissectrice du de l'angle qui est dans ce sommet la voilà alors il ya une autre chose qu'on avait vu dans des vidéos précédentes c'est que la hauteur qui est issue du sommet dans le cas d'un triangle isocèle est en tout cas d'un est donc aussi d'un triangle équilatéral comme celui ci est bien la hauteur elle coupe le côté opposé en son milieu c'est à dire que ce côté là et ce côté là ont la même mesure alors du coup de la longueur qui est ici longueur qui est là que je dessine en orange eh bien elle fait est sur deux elle mesurait sur deux c'est sa longueur puisque c'est la moitié du côté et le côté lui vaut est sunnite et donc la moitié du côté ça sera s s sur deux unités donc là on se retrouve avec un triangle rectangle ici et qui a un côté l'hypoténuse qui mesure est ce un côté qui mesurait sur deux est le côté qui est là alors quelle hauteur jeu à noter en bleu eh bien ils mesurent racines de trois fois s s fois racines de 3 sur deux alors ça pour qu'on se rafraîchisse la mémoire je vais faire un triangle ça faisait partie des résultats qu'on avait démontré sur les triangles qui avaient des triangles rectangles qui avait un angle de 30 degrés et un angle de 60 degrés comme ce comme celui qui est titien et on sait que dans ce cas là si on a un côté qui est un ce côté là le côté opposé à l'angle de 30° quéhen le côté opposé à l'angle de 60 degrés il est de racines de 3 est le côté opposé à l'angle droit c'est-à-dire l'hypoténuse du triangle et bien ces deux et ça on peut le voir aussi simplement en additionnant l'appliquant le théorème de pythagore si on additionne le carré de ce côté ça fait racines de trois quarts et plus le car est ce côté là donc au carré ça fait 3 +14 donc ça fait bien de au carré donc on se retrouve avec ce côté là donc là pour passer de cette configuration là celle ci on a multiplié paraissent sur deux donc on se retrouve avec un côté ici de s sur deux en fait ce triangle ici si on peut le voir de cette manière ce triangle que j'ai dessiné ici il est semblable à celui ci est en fait pour passer de l'un à l'autre on multiplie paraissent sur deux tous les côtés voilà alors maintenant bon pourquoi est ce que j'ai fait ça pourquoi est ce que j'ai cherché à exprimer la longueur de la hauteur et bien tout simplement parce qu'en général l'air d'un triangle c'est un demi de la base fois la hauteur donc ici la base bien c'est tout ça c'est le côté du triangle donc c est ce ici et la hauteur on vient de voir que ses racines de 3 sur deux fois est ce donc cs fois racines de 3 sur deux donc finalement je peux écrire que l'air de ce triangle c'est un demi fois s x s fois racines de 3 sur deux j'aurais pu le faire en couleur je vais respecter les couleurs donc un demi fois s x s fois racines de 3 sur deux est donc finalement on trouve que l'air de ce triangle équilatéral c'est alors un demi fois un demi ça fait un quart donc c'est un quart fois à leur espèce ça fait s au carré fois racines de 3 voilà et ça on peut écrire aussi plus simplement s au carré fois racines de 3 le tout divisé par quatre et ça c'est donc la formule générale de l'air d'un triangle équilatéral de co ts