Problèmes sur le PPCM et le PGCD

guillaume et louis sont dans deux classes différentes le professeur de louis donne toujours des examens avec trente questions tandis que le professeur de guillaume donne toujours des examens avec 24 questions même si les deux classes ont un nombre différent d'examen leur professeur leur ont dit que le nombre total de questions d'examen par an est le même pour les deux classes quel est le nombre minimal de questions d'examen que louis guillaume doivent s'attendre à avoir par an il y a beaucoup d'informations dans ce problème mais on va décortiquer tout ça ensemble donc on nous dit que dans la classe de louis ils ont des examens avec toujours 30 questions par examen tandis que dans la classe de guillaume ils ont des examens avec 24 questions par examens et on nous dit que les deux classes peuvent avoir un nombre différent d'examen mais qu'à la fin de l'année ils seront tous répondu au même nombre de questions donc ça veut dire par exemple pour la classe de louis on va regarder ce qui se passe pour les classes de louis parent non pour la classe de louis au bout du premier examen ils auront répondu ou en tout cas elles ont travaillé sur combien de questions et bien trente questions puisqu'il ya trente questions par examen donc 6 0 ici c'est ici au bout du premier examen ils ont répondu à 30 questions au bout du deuxième examen ils auront répondu à combien de questions à ton avis eh bien oui deux fois trente questions c'est à dire 60 questions au bout du troisième examen ils auront répondu à trois fois trente questions 90 questions au bout du quatrième examen ils auront répondu à 120 questions au bout du cinquième examen s'il y en a cinq ils ont répondu à 150 questions mais on pourrait encore continuer à compter le nombre de questions l'ong va s'arrêter là pour l'instant et on va regarder ce qu'il se passe pour la classe de guillaume guillaume alors au bout du premier examen à combien de questions est ce qu'ils auront répondu eh bien ils auront répondu à 24 questions puisqu'il ya 24 questions par examen au bout du deuxième ils auront répondre u12 x 24 c'est à dire 48 question au bout du troisième examen ils auront répondu à 72 questions au bout du quatrième examen ils ont répondu à 4 x 24 questions c'est-à-dire 96 questions au bout du cinquième examen ils ont répondu à combien de questions à 5 x 24 questions c'est-à-dire 120 questions au bout du sixième examen ils ont répondu à combien de questions 144 au total etc on pourrait encore continuer ici on nous demande quel est le nombre minimal de questions d'examen que louis guillaume doivent s'attendre à avoir sachant qu'ils doivent avoir le même nombre de questions répondu à la fin de l'année donc en fait ce qu'on cherche c'est le plus petit nombre de questions pour lequel à la fin d'un examen la classe de louis et la classe de guillaume ont répondu au même nombre de questions et bien si on regarde notre dessein on a trouvé notre réponse c'est ici 120 au bout du 1 2 3 quatrième examen pour la classe de louis et au bout du cinquième examen pour la classe de guillaume les deux classes auront travaillé sur 120 questions donc on a notre réponse c'est cent vingt 120 questions mais en fait on peut trouver cette réponse d'une autre façon en fait répondre à cette question ça revient à calculer le ppc m le plus petit commun multiple 2,30 de 30 pains non je vais écrire 2 30 et 2 24 tu vois 120 ici c'est le plus petit des multiples commun 2,30 et de carrés de 24 pendant donc ici on a déjà la solution mais on peut trouver cette solution d'une autre façon sans avoir à faire ce dessin là on peut décomposer 30 et 24 ans facteur premier est calculé le pcm comme ça on va prendre une autre couleur et c'est ce qu'on va faire 36 jeu le décompose un facteur premier qu'est ce que ça donne et bien 30 on peut l'écrire comme deux fois 15 et 15 on peut l'écrire comme trois fois 5 3 x 5 donc 30 je peux dire que c'est égal à 2 x 3 x 5 on va faire la même chose pour 24 24 je peux écrire que c'est égal à 2 x 12 et 12 c'est égal à quoi douce est égal à 2 x 6 et 6 est égal à quoi si c'est égal à 2 x 3 donc si je décompose 24 ans facteurs premiers ça donne 2 x 2 x 2 x 3 et le ppc m le ppc m 2 30 et 2 24 c'est le nombre qui est à la fois divisible par 30 et par 24 pour que le ppc m soit divisé par 30 il faut que j'aie 1,2 1,3 et 1,5 donc je vais les écrire il faut avoir un 2 x 3 x 5 ça ça fait en sorte que le pcm est divisible par 30 pour que le ppm soit divisible par 24 il faut que j'aie un deux un autre 2 1 3e 2 et 1 3 là j'ai déjà 1,2 et j'ai déjà 1,3 donc il me manque plus que 2 2 je vais les ajouter ici on ajoute les 2 2 mon camp nou tout ça est ce que ça fait bien 120 on va vérifier ça ensemble 2 x 3 ça fait combien ça fait 6 6 x 5 ça fait trente 30 x 2 ça fait soixante et soixante fois deux ça fait bien 120 on retrouve notre résultat le ppc m 2 30 et 2 24 ses cent vingt 120 c'est le nombre minimal de questions d'examen que louis guillaume doivent s'attendre à avoir par an on va voir un deuxième problème pour cela je vais effacer tout ça pour faire de la place et on va étudier un deuxième problème donc mais non ces deux du deuxième problème c'est celui ci on nous dit irène acheter un paquet de 21 cahier ainsi que 30 crayon elle veut utiliser tous les cahiers et tous les crayons pour composer des paquets identique de fournitures pour ses camarades de classe quel est le plus grand nombre de paquets identique qu'elle peut faire avec toutes ces fournitures en fait ce problème là ça revient à calculer le pg céder le plus grand commun diviseur de 21 et de 30 ce qu'on cherche à faire c'est diviser s'est trouvée le plus grand nombre par lequel on peut diviser 21 et 30 parce qu'il règne veut utiliser toutes ses fournitures là pour faire des paquets identique qu'elle va distribuer à ses camarades donc on va calculer le pg cédé 2,21 et de 30 pour cela on va des composés 21 et 30 ans facteur premier donc 21 je vais par exemple l'écrire en bleu 21 est-ce que c'est divisible par deux non ce n'est pas divisible par deux mais c'est divisible par trois 21 c'est égal à 3 x 7 et nous avons ici notre décomposition en facteur premier 21,7 égale à 3 x 7 on va chercher la décomposition en facteur premier de 30 ou l'a déjà fait plusieurs fois donc ça devrait être assez facile 37 égale à 2 x 15 et 15 ct yala trois fois 5 donc on peut écrire que 37 égale à 2 x 3 x 5 maintenant on va chercher le plus grand commun diviseur de 21 et de 30 mais le plus grand commun diviseur c'est le facteur c'est le produit de tous les facteurs que 21 et 30 ont en commun ici 21 et 30 qu'est ce qu'ils ont en commun ils ont 3 et c'est tout 3 c'est le seul facteur en commun que 21 et 30 ont donc on a trouvé notre pgcd c3 irene va pouvoir faire trois paquets identique avec ses 21 cahiers et ses trente crayon on va essayer de faire un dessin pour représenter tout ça donc si on dit que on dessine les cahiers en bleu je vais dessiner 20-21 cahier donc 1 2 3 4 5 6 et 7 et non pas copier coller tout ça donc là j'en ai sept je copie et je colle donc je vais coller cette partie là juste en dessous si l'ordinateur veut bien donc non ça ne marche pas on va recommencer on va copier voilà on va déplacer cette partie là ici ça nous en fait quatorze au total on continue cette fois ci on en a 21 on va les mettre les aligner ici voilà donc on a 21 cahiers et je vais dessiner 30 crayon donc un crayon 2 3 4 5 6 7 8 9 10 on va pareil les copier coller donc ici j'en ai dix l'assam en fait vingt et là ça m'en fais 30 nous nous dit ici que le pg cédé 2,21 et de 37,3 ça veut dire que la seule façon d'utiliser toutes ces fournitures et de faire des paquets égal c'est de diviser les cahiers et les crayons en groupes de trois regarde là ça fait un premier groupe de trois un deuxième groupe pardon un premier groupe un deuxième groupe et un troisième groupe ici pareil je peux faire trois groupes un premier un deuxième et un troisième est donc par exemple quand elle réunira ce groupe là est celui ci ça fera un paquet celui ci est celui ci ça fera un deuxième paquet et celui ci est celui ci se fera un troisième paquet chacun des trois paquets et bien identique et c'est le nombre maximal de paquets qu'on peut faire