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Modéliser par une fonction exponentielle - demi-vie du carbone 14

Modèles de croissance

Transcription de la vidéo

un atome de carbone 14 père exactement la moitié de sa masse tous les cinq mille sept cent trente ans cette durée la salle mille sept cent trente ans c'est ce qu'on appelle la demi vie de l'atome de carbone 14 il faut faire attention à ce terme 2010 ne veut pas dire qu'au bout de deux ans il a perdu complètement toute sa masse c'est pas du tout ça on va voir justement pourquoi un peu plus tard je continue à lire la masse d'un échantillon de carbone 14 peut être modélisée par une fonction m qui dépend de son âge tu es en année on dispose d'un échantillon de carbone 14 dont la masse initiale et 7 141 g 7 141 g donc au départ on a un échantillon de carbone 14 dont la masse est de 7 141 g déterminé l'expression de la fonction n qui modélise la masse de carbone 14 restants tes années après la mesure initiale alors mais la vidéo sur pause et essaye de voir si tu arrives à faire quelque chose pour répondre à cette question donc maintenant que tu as réfléchir on va le faire ensemble alors je pense que pour visualiser un petit peu ce qui se passe c'est pas mal de faire un tableau de valeur donc je vais le faire ici je vais prendre quelques valeurs de la variable tu es donc la variable t en année donc alors ce que je sais c'est que à la date thé égal zéro donc tu égal zéro c'est la date initiale et bien la masse de l'échantillon c'est la masse initiale donc ses 7 141 g 6 et n 2 t1 donc m20 c'est la masse initiale c'est 741 gras alors maintenant je vais essayer de trouver une autre valeur de tai chi est intéressante et finalement ce que je sais c'est que ce qu'on nous dit ici c'est que la tonne de carbone 14 père exactement la moitié de sa masse tous les cinq mille sept cent trente ans donc cinq mille sept cent trente ans après la date initiale eh bien il aura perdu la moitié de sa masse donc la deuxième valeur intéressante que je peux mettre c'est la demi vie 5730 en cinq mille sept cent trente ans et je peux calculer la masse puisque je sais que ça va être la moitié de la masse initiale donc je vais prendre la masse initiale je vais là x 1 2 alors évidemment on peut calculer la moitié de 741 mais là je vais pas le faire je vais juste écrire ça comme ça c'est de 741 fois un demi ensuite ce que je sais c'est que cinq mille sept cent trente ans plus tard je vais avoir encore perdu la moitié de la masse donc j'ai cette masse là maintenant mais cinq mille sept cent trente ans plus tard je vais avoir la moitié de cette masse l'a donc ce que je vais faire c'est considérer la date deux fois la demi vie en fait donc deux fois 5500 730 en deux fois cinq mille sept cent trente ans deux fois 5730 ça fait dix mille 11060 11060 mais bon je vais laisser comme ça c'est toujours assez intéressant de laisser les calculs ça fait parfois apparaître un motif intéressant donc pour tes galles deux fois 5730 je vais avoir perdu encore la moitié de la masse donc je vais encore multiplier ici par un demi et donc ce que je vais avoir ces 741 fois 1/2 fois un demi et donc ça je peux l'écrire comme ça plutôt c'est 5 741 pardon x 1/2 élevée au carré je vais l'écrire comme ça voilà alors je peux continuer à raisonner de cette manière là tu vas voir que les choses deviennent de plus en plus clair si je laisse s'écouler encore cinq mille sept cent trente ans eh bien je vais arriver à la date trois fois 5730 en trois fois la demi vie est ce qui va se passer c'est que je vais avoir encore perdu la moitié de la masse donc je vais me retrouver avec une masse de 741 fois 1/2 élevée au carré fois un demi c'est cette masse là que j'ai divisé par 2 donc multiplié par 1 2 me alors ça je peux l'écrire un peu plus clairement comme tout à l'heure en fait c'est 741 fois 1/2 élevé à la puissance 3 1/2 au cube voilà alors là tu vois peut-être un petit peu ce qui se passe tu vas peut-être un motif que tu as déjà vu c'est celui d'une fonction exponentielle et du coup l'expression de la fonction m qu on cherche on va pouvoir l'écrire comme ça c'est m2t qui va être égal à la masse initiale 741 x ici on voit bien la base de la fonction exponentielle c'est un demi donc 741 fois 1/2 élevé à la puissance quelque chose alors maintenant il faut qu'on détermine ce quelque chose est ce qu'on peut remarquer ici c'est que si je prends une fois la demi vie une fois 5730 et bien la base elle est élevée à la puissance 1 1/2 élevé à la puissance 1 si je prends deux fois la demi vie est bien j'ai la base élevé à la puissance 2 si je prends trois fois la demi vie est bien la base va être élevé à la puissance 3 donc en fait ce qu'on peut dire c'est que l'exposant ici eh bien ça va être t'es sur cinq mille sept cent trente ans 5730 en t / la demi vie tu peux vérifier que ça marche si tu prends tes égal zéro et bien tu obtiens 741 x 1,2 me lever la puissance 0 c'est-à-dire 741 si tu prends tes égale à deux fois 5730 et bien en fait tu obtiens m22 égale 741 fois 1/2 élevée au carré ce qui est bien ce qu on avait écrit ici tu peux vérifier que ça marche aussi pour d'autres exposants alors on retombe bien sur nos pattes quand on prend t est un multiple de la demi vie mais en fait ça marche aussi avec n'importe quel autre valeur si on prend une valeur qui est une fraction de l'aide de la demi vie est bien ici on aura un exposant qui sera pas un nombre entier ce sera une fraction mais on peut quand même effectuer ce calcul est trouvé la masse restante de carbone 14 dans l'échantillon après ce temps écoulé donc ça c'est l'expression de la fonction n qui modélise la masse de carbone 14 restent hantées année après la mesure initiale