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Transcription de la vidéo

on va continuer notre travail sur la loi normale alors je les ai déjà dit dans la précédente vidéo de la loi normale c'est vraiment un concept extrêmement important extrêmement centrale en statistique est en fait assez dommage que ce soit pas enseignée dans le tronc commun pour tout le monde parce que c'est vraiment une loi qui va intervenir dans énormément de cas de la vie quotidienne alors par exemple dans toutes les disciplines scientifiques on est on utilise fréquemment cette loi normale est en fait elles touchent vraiment très grand nombre d'aspects de la vie alors bon c'est une loi qu'on appelle heuer lannoy normal on l'appelle aussi la loi de gauss on appelle aussi la courbe en cloche parce qu'elle est représentée par une courbe qui est une forme de cloche alors c'est le mot grand mathématicien carl frédéric gosse qui a qui a découvert cette loi normale je pense que qu'il était et travailler sur des phénomènes avec d'étudier des phénomènes astronomiques quand il a découvert cette loi alors c'est une loi de probabilité particulière dans le cas d'une variable continu et comme toutes les lois concernent des variables des variables aléatoires continue elle est définit par une densité de probabilité on a vu le cas de la loi de poisson qui est définie par une densité de probabilités aussi est en fait on a vu qu'elle dépend d'un certain nombre de paramètres c'était le cas aussi pour la loi binomiale qui dépend du nombre d'essai et de la probabilité de succès de chaque essai là aussi on va avoir à une densité de probabilité qui va définir cette loi normale on l'a déjà vu dans la précédente vidéo donc c'est une bonne densité de probabilité qui dépend de deux paramètres qui sont le la variance enfin l'écart type ou la variance d2 comme on veut et la moyenne delà de la distribution alors je verrai écrire ici la densité de probabilité donc elle est définie comme ça c'est la densité de probabilités delà de la valeur x ça va être un sur sigma donc qui est l'écart type x racines de 2 pi x l'exponentielle de alors ça j'aime bien l'écrire de cette manière là - 1/2 facteur 2 x - mu sur sigma voilà et tout ça s'est élevée au carré ça c'est une expression qu'on avait déjà vue dans la vidéo précédente alors ce qui est intéressant ce qu'on peut remarquer tout de suite avait déjà on a déjà parlé dans la précédente vidéo 7 ce qui est dans la parenthèse ici c'est ce qu'on appelle la variable la variable centrée réduite alors bon il ya beaucoup de mots et de définition en statistiques qui ont l'air un petit peu barbare un peu compliqué mais en fait celui ci c'est vraiment quelque chose de très simple mathématiquement c'est un concept très simple sa mesure tout simplement l'écart de la valeur x par rapport à la moyenne en terme d'écart type donc sa mesure de combien d'écart type cette valeur il s'écarte de la moyenne donc par exemple si on a une valeur hic c'est qu'on mesure son écart par rapport à la moyenne en terme de 2 d'écart type on va pouvoir dire par exemple ben cette valeur x et cartes de 3,5 écart type de la moyenne est donc dans ce cas là bas tout simplement la variable centrée réduite associée à la valeur xl faudra croire et 3.513 et demi voilà donc c'est vraiment sous ce mot un peu compliqué c'est vraiment un concept simple qui se cache là alors ici on va pas faire un raisonnement pour arriver à cette densité de pros cette probabilité là ça s'est un peu au delà de notre objectif ce serait très intéressant parce que mathématiquement et beaucoup de choses intéressantes qui se cache là dedans par exemple la formule de stirling qui est vraiment une formule assez fascinante qui lit encore comme celle ci un le nombre pi et le nombreux donc cette formule de sterling s'est en quelque sorte une approximation par une fonction continue delà de la notion de la notion de factorielle donc c'est vraiment une formule très intéressante on va pas faire ça ici là ce qu'on va faire en fait c'est essayer de regarder ce qui se passe est de montrer que la loi normale est une bonne approximation de la distribution binomiale en fait que quand on prend une distribution d'une distribution binôme est allé quand on fait un nombre suffisant décès est bien enfin on va s'approcher d'une loi normale c'est ça qui va être très intéressant et d'ailleurs c'est ce qui fait que la loi normale est si importante on en a déjà parlé dans la vidéo précédente c'est que en fait il ya le fameux théorème de la limite centre et dont j'ai déjà parlé qui assure que quand on a un grand grand nombre de phénomènes donc là par exemple un grand nombre d'essai la loi binomiale par exemple eh bien en fait quand on a insuffisamment grand nombre d'essais et bien on va pouvoir approcher notre distribution par une loi normale par une distribution normale donc ça c'est très important parce que ça veut dire que dans de très très très nombreux cas on peut modéliser par une situation par un très grand nombre de facteurs on avait parlé de l'interaction par exemple entre deux parties autres des particules eh bien on pourrait voir aussi par exemple les principes actifs d'un médicament eh bien ça répondra un très très grand nombre de facteurs et du coup on va pouvoir approximer sa part approcher sa part une loi normale c'est ça qui est très important c'est que même si on a un phénomène où les chaque essai n'est pas où chaque élément ne suis pas une distribution normale en fait quand on additionne tout ça et bien on a une loi normale c'est ça qui fait qui rend cette loi normale si si importante alors donc là ce que je disais c'est que on va essayer de se rendre compte de voir que quand on part d'une distribution minoia les cantons fait suffisamment décès on va pouvoir on va s'approcher d'une loi normale alors ici ce que j'ai tracé là la courbe qui est en mauvais c'est la loi normale c'est une courbe en cloche typique de la loi normale ça c'est une loi normale qui a pour moyenne 0 donc elle est parfaitement symétrique par rapport à cette droite là qu'est représente la moyenne donc la moyenne c'est zéro ici et puis elle a cette distribution là elle a aussi un certain écart type donc pour l'instant c'est pas très important mais donc c'est donc la moyenne la loi normale de paramètres mu et sigma un donc ça on va noter comme ça en général avec un grand n comme ça en cursive comme on a fait pour la loi binomiale donc c'est la loi normale de paramètres muet sigma en général on note la variance plus tôt voilà alors ce qui est important je répète un c'est de bien comprendre ce qu'on appelle en fait le théorème de la limite centre et c'est que si on fait un grand nombre d'essai d'une variable binomiale par exemple plus le nombre de décès augmente plus on s'approche d'un nombre infini de décès plus on va s'approcher les noix normal ça c'est le théorème de la demie de centrer qu'on essaiera de démontrer peut-être vrai on fera peut-être une vidéo là dessus un peu plus tard mais bon c'est ça qui fait que cette loi est si importante c'est parce que en fait elle modèle peut elle permet de modéliser un tas de choses par exemple des phénomènes climatiques où il ya un très grand nombre de facteurs qui interviennent enfin bon vraiment c'est une loi qui est extrêmement extrêmement ancré dans la nature alors évidemment bon c'est pas toujours le cas donc très souvent on entend oui on suppose que la loi et que la distribution est normal on va on verra dans quelle me fasse important de comprendre que c'est pas toujours le cas quand même donc ce sera important d'arriver à déterminer si oui ou non on peut supposer que la loi est proche d'une noix normal donc on verra aussi ça dans d'autres vidéos pour l'instant on va pas s'attarder là dessus on va travailler avec ce tableur c'est un tableur que j'ai préparé alors tu peut le télécharger sur le site de la khan academy dans l'onglet téléchargement le fichier s'appelle distribution normale tout simplement distribution normale donc tu peut le télécharger je disais dans l'onglet téléchargement de la plateforme khan academy alors ce tableur il peut représenter par exemple un jeu on va imaginer qu'on ait j'ai pas dans la rue et que l'on jette une pièce de monnaie une pièce de monnaie non truquées un donc 50 chance 50% de chances d'avoir face et 50% d'avoir piles et puis alors on va imaginer que si on a face on va se déplacer à gauche ont affaire aux déplacés de 1 à gauche d'un mètre par exemple à gauche donc ça c'est si on à face donc on a 50 % de chances de se déplacer à gauche à chaque fois qu'on lance la pièce de monnaie et puis la ligne du dessous basse et des déplacements vers la droite donc ça c'est ce qu'on fait quand la pièce est tombée du côté pile donc on a aussi 50% de chances de se déplacer vers la droite voilà alors bon on connaît un peu cette situation là on sait que en gros si je fais plein décès il ya des chances que finalement j'ai eu à peu près autant de fask de piles donc que par exemple quand je fais un pas à gauche après je fais un pas à droite vous finalement je me retrouve sans avoir beaucoup bougé mais il est très possible aussi que j'ai tout d'un coup une suite de piles très longue donc j'ai eu plusieurs fois de suite pile donc à ce moment-là je me dis je vais les possibles que je me retrouve que ma position finale soit très déplacé vers la gauche et de même que vers la droite pardon j'ai toujours eu un peu de mal avec la droite et la gauche et puis on peut aussi imaginer qu'au contraire on a eu tout d'un coup une très longue suite de face donc on se retrouve en fait on une position finale qui soit très décalée vers la gauche voilà alors bon on connaît cette loi binomiale on sait que quand même grosso modo il ya beaucoup plus de chances d'avoir un nombre de piles et un nombre de faces qui s'équilibre donc on voit se situant va rester près de la position 0,1 près de la position initiale il n'y a plus beaucoup plus de chances de rester près de sa position initiale que d'avoir eu pratiquement que des piles par exemple ce qui est pas impossible mais avec une probabilité probabilité beaucoup plus faible donc la probabilité de 2 après avoir fait un très grand nombre de lancers de cette pièce de monnaie on se retrouve proche de la position initiale est plus grande que celle de s'écarter fortement à gauche ou à droite delà de la position initiale alors on va regarder un petit peu stabler alors ce que j'ai fait ici là j'ai marqué le nombre des c'est donc c'est rempli ici il ya crédit ça tu peux changer ça je m'engage à travailler donc les les cellules qui sont jaunes sont des celi que tu peux changer de toutes les autres en fait sont définies par des formule 1 donc ici on a le nombre d'essai ça c'est dit on a donc ici dix essais tu peux changer voir ce que ça donne là on a en fait la moyenne la moyenne des succès alors j'ai défini ici un succès comme étant l de placement à gauche quand on a face mais on pourrait très bien définir le succès comme étant un déplacement à droite ayant pile quand on a fait quand on a eu un fils donc ça a c'est la moyenne de nos succès et la moyenne dans le cas d'une distribution binomiale c'est tout simplement ça on l'avait vu dans une autre vidéo c'est tout simplement le la probabilité du succès multiplié par le nombre d'essais donc c'est ici 0.5 puisque ça c'est la probabilité du succès on a une chance sur deux d'avoir face et puis x 10 qui nombreux décès donc effectivement on trouve bien 5 ca c ce qui est marqué ici alors la variance ça on l'a pas fait dans d'autres vidéos j'espère qu'on le fera plus tard on verra mais en tout cas je peux te le donner ici il faut que tu me crois sur parole la variance en l'obtient en faisant le nombre des ses x la probabilité de succès qui est 0.5 et x la probabilité de rater d'un succès disons qui est ici 0.5 aussi donc là on obtient 1 0530 5 ça fait 0.25 x 10 on obtient bien 2,5 voilà donc là on a appliqué une formule qui est le plus général qui donne la variance d'une loi binomiale c'est le nombre d'essai fois la probabilité de succès fois la probabilité d'un succès donc le complémentaire ici ce serait un moins p6 paix la probabilité de succès ici c'est un mois p voilà et puis alors on à l'écart type ici ben ça c'est tout simplement la racine carrée de la variance ça c'est formule classique alors tu peux tu peux regarder quand tu cliques dans cette cellule a par exemple de la moyenne tu vas retrouver effectivement cette expression l'a écrite en langage tableur et de la même manière ici tu vas trouver cette formule-là écrite en qu'en langage tableur voilà donc tu peux je t'engage allez regardez un peu comment sont faites toutes les formules tu verras que c'est exactement ça alors en dessous qu'est ce que j'ai fait là j'ai marqué les déplacements donc cette ligne là par exemple donc j'irai pour clarifier ici on a pris dix essais on a fait dix essais de lancer de la pièce de monnaie et là je suis dans la ligne où j'ai fait sur les dix essais j'ai eu aucune foi face j'ai eu que des piles puisque je fais 0 déplacement à gauche et que des déplacements à droite donc ça c'est important là j'ai zéro déplacement à gauche et 10 déplacements à droite donc sur les dix lancers j'ai obtenu dix fois pire c'est sa quête qui est qu'il faut comprendre là du coup la position finale va puisque je me suis déplacé sans arrêt vers la droite et donc dix fois de suite mais j'arrive à la position 10 1 alors maintenant ce qu'on va voir c'est comment est-ce que j'ai calculé ça cette probabilité qui est ici je l' ai calculé à partir de la loi binomiale donc en utilisant la formule qu'on connaît sur la loi binomiale donc ça je larmes noter ici un alors tout simplement ce que j'ai fait c'est calculé le nombre de façons de réaliser 10 déplacements à droite donc en fait il faut il faut avoir 10 x 10 x pile donc ça y'a qu'une façon de le faire mais la formule générale ces dix factorielle sur 0 factorielle fois dix mois 0 factorielle et après il faut multiplier sa part alors j'ai la probabilité de réussir donc c'est 0.5 puissance 0 puisque j'ai aucun aucune réussite x la probabilité de rater ce qui est de 0.5 aussi puissance 10 cette fois ci puisque j'ai j'ai raté dix fois de suite en fait je me suis déplacé à droite dix fois de suite pour être dire plutôt qu'en disant raté réussir la jeune et je me suis déplacé 0 fois vers la gauche donc 0.5 puissance 0 et je me suis déplacé dix fois vers la droite donc j'ai 0.5 puissance 10 voilà donc ça ça me donne ce nombre qui est de noter ici et puis après j'ai fait exactement la même chose avec les lignes suivantes donc ici j'ai un déplacement à gauche une fois donc j'ai réussi une fois face et neuf fois pile donc j'ai calculé ça avec cette probabilité l'a donc la probabilité d'avoir une fois face sur les dix lancers c'est bien on peut le calculer exactement de la même manière ce sera 10 factorielle sur un factorielle x 10 - 1 factorielle x 0.5 puissance 1 cette fois ci puisque j'ai un déplacement vers la gauche et puis multiplier encore par 0.5 puissance neuf puisque j'ai neuf déplacements à droite 1 donc ça ça va me donner ce nombre qui hélas ici et puis la position finale va tout simplement je me suis déplacé neuf fois à droite donc j'arrive à la position 9 et puis une fois à gauche donc finalement j'arrive à imposition huit ans c'est ce qui est à noter ici j'ai la position finale qui est 8 donc je pars de zéro et j'arrive à cette position-là 8 qui sera à peu près ici alors évidemment là qu'on a fait dix essais on pourrait on peut s'arrêter ici en fait parce qu'à partir de cette ligne à c j'ai rajouté toutes les lignes qui suivent pour pouvoir faire un plus grand nombre d'essai si je veux j'ai me disais c'est donc on va voir ce qui se passe mais là comme il ya dix essais de toute façon il n'y a qu'une il ya que ces dix possibilités là en fait un sujet je peux avoir zéro succès un succès de succès trois succès quatre succès jusqu'à dix succès de l'ag tous les cas de figure alors si je reprends mon le tableur voilà si par exemple je vais modifier la ce nombre d'essai donc je vais mettre par exemple 20 alors évidemment tout change la moyenne change avec la variance change évidemment toute la courbe change et en particulier ce qu'on voit c'est que ici bas évidemment les cas de figure change maintenant il y en a beaucoup plus et on s'arrête par exemple ici un là à partir de là il ya vingt ans et c'est donc à partir d'ici les choses vont se répéter à je te laisse réfléchir un petit peu là dessus sur le pourquoi j'ai j'ai fait en ligne parce qu'elle a beaucoup plus derrière voilà il ya encore plein plein de ligne c'est je laisse réfléchir là dessus le l'idée c'est que je quand je vais augmenter le nombre d c'est le nombre de cas de figure va augmenter au cir le nombre de résultats possibles va augmenter aussi voilà alors bon en tout cas ça ça n'affecte pas du tout la courbe thiélin la cour pieds là va être tracé de la même manière il y aura juste plus de point c'est tout alors justement là ce que j'ai tracé c'est alors on jettera ses deux courts en rose c'est la courbe de la loi normale comme en cloche de gosse et puis j'ai tracé une autre courbe qu'on voit pas ici pratiquement c'est une courbe en bleu qui représente la loi binomiale alors là on la voit pas pour la bonne raison c'est que justement c'est le but de cette vidéo c'est de montrer que quand on fait un grand nombre d'essais la loi binomiale s'approche très forte plus on fait des ses plus elle s'approche de la loi normale alors là ici j'ai mis 20 20 tc c'est quand même assez grand et donc on voit que la courbe de la loi binomiale les pratiquement elle est pratiquement identique à la courbe de la loi normale je vais voir ce qui se passe quand je met par exemple 10 et ses dix essais on voit déjà un peu de différence ici hein la courbe se démarque un peu la courbe bleue commence à se voir ici au sommet donc elle se démarque un petit peu de la courbe de la loi normale alors si je diminue le nombre de décès par exemple je vais mettre quatre là mais voilà là on voit quand même très fortement que c'est une forme proche à la courbe bleue et quand même proche de la courbe rose mais on voit nettement qu'elle ce qu elle s'en distingue surtout ici au sommaire alors justement on va voir ce que ça représente donc je vais prendre l'outil crayon et on va voir ce qui se passe alors là quand je le fais quand je suis dans cette ligne là donc on bosse ici on n'a que quatre essais donc les possibilités c'est soit 0 déplacement à gauche soit un déplacement à gauche de déplacement à bourges trois déplacements à gauche ou quatre déplacements à gauche donc en fait ça va s'arrêter ici pour nous c'est ce qui va nous intéresser c'est jusque là après c'est ce que je disais tout à l'heure ça se répète alors quand on a fait zéro déplacement à gauche et quatre déplacements à droite la position finale c'est 4 alors on est en fait ici un c'est ce qui est noté ici donc en fait ce cas de figure là le premier cas de figure quand on est en position finale 4 on a fait zéro déplacement à gauche et 4 à droite c'est ce point qui est ici un c'est celui qui est là après quand on regarde par exemple celui ci où on a fait quatre déplacements à gauche et 0 à droite finalement on est en position finale - 4 puisqu'on s'est déplacé de quatre unités à gauche donc on est c'est cette situation ici c'est ce point là voilà alors ensuite on peut regarder par exemple le cas où on a fait deux déplacements à gauche et deux déplacements à droite donc ce serait celui-ci ici là et donc on est on arrive à une position au final de zéro donc puisqu'on a fait deux déplacements à gauche puis deux places déplacement à droite ou alors dans un ordre différent en tout cas on a fait autant de déplacements à gauche qu'à droite donc ça correspond à ce point qui hélas ici donc voilà ça la courbe bleue qu'on voit ici c'est la courbe de la loi normale via la loi binomiale pardon pour un nombre de décès de quatre essais 1 alors bon normalement ce qu'on voit là j'ai placé ces points-là ce point le point de position finale 4 loi probabilité 0,0625 c'est celui ci la position enfin j'ai placé ces points là avec l'ordonné qui est la position l'abc ce qui est la position finale elle ordonnait qui est la probabilité calculé ici bon et avons ensuite j'ai connecté c'est relier ces points par par des segments de droite deux segments courbe approximatif bon évidemment c'est pas comme ça qu'on visualise d'habitude la loi binomiale puisque c'est pas une variable continu en général on la voit plutôt sous forme d'histogramme ou de diagrammes en bâton ce qui se crée plus justes donc cette trace et un bâton ici pour cette valeur qui est là la deuxième bâton voilà je le fais très très mal avec l'outil crayon du tableur donc qui serait ici à - 2 avec une probabilité donc moins deux positions de mythes finale - 2 probabilité 0.25 c'est bien ça ensuite un bâton ici voilà je le fêterai balle c'est pas ça fait joli bâton voilà comme ça ça c'est pour la position 2 probabilité 0.25 aussi et puis position au final 4 on aurait un bâton de ce genre là donc on a là l'histogramme le diagramme en bâton de la loi binomiale avec quatre essais donc effectivement cinq bars qui correspondent aux cinq éventualité de donc de l'expérience des binomiale répété quatre fois alors maintenant on va regarder ce que j'ai fait dans cette colonne la colonne probabilité de la loi normale ici alors effectivement là il ya quelque chose qui est un peu un peu piège d'un peu bizarre quand même c'est que quand on à elle quand on a une loi binomiale effectivement ce sont des valeurs discrète ce qu'est ce ce qui veut dire que si je veux calculer la probabilité que notre main variable binomiale prennent une certaine valeur et bien je peux le calcul et je peux dire bon bain quelle est la probabilité que la variable que la variable aléatoire prennent la valeur 2 je suis ici de sessa donc ensuite je regarde la hauteur du bâton qui correspond à la valeur 2es jeux on peut mesurer ici la probabilité sur le graphique donc c'est ce que j'ai la probabilité que j'ai calculé l'a1 finalement pour la valeur de cet exemple là et donc je lis sur l' axe désordonnée la probabilité de cette valeur là donc je peux calculer la probabilité d'une valeur donnée quand je suis une loi binomiale par contre qu'en tant dans le cas d'une loi normale c'est pas du tout la même chose puisque c'est une variable continue alors ça va être quelque chose de ce genre là je vais faire donc là je peut tracer un axe horizontal et la courbe de la loi normale c'est une courbe en cloche comme ça plus ou moins plus ou moins larges plus ou moins haut de plus ou moins resserré ça ça dépend des paramètres mais bon ce qui est important c'est que elle se continue indéfiniment des deux côtés de lax donc sans jamais le croiser un donc il ya toujours une probabilité non nul de d'obtenir quelque chose d'obtenir une valeur n'importe laquelle même si ce jeu prend ici une valeur de moins un million et bien je vais avoir une probabilité peut-être un film que la variable prennent cette valeur-là de 1,8 de moins un million mais il y aura quand même une probabilité ça c'est une première particularité puis une autre chose c'est que contrairement à ce que je viens de dire sur le cas de la loi binomiale si je veux ici calculer la probabilité d'avoir la valeur 2 est bien ici en fait ça je suis dans le cas d'une variable continue donc si je veux que la variable soit égale à deux là je vais parler un niveau de précision absolue c'est à dire que je vais demander que la variable de soit égal à 2 vraiment extrêmement précisément je veux pas de valeur arrondi donc par exemple l'adci je mesure mes déplacements à gauche à droite eh bien je vais mesurer ses déplacements à l'atome prennent donc en fait la probabilité d'avoir cette valeur là si je la considère à l'atome près balle est pratiquement nul hein donc ici on va pas pouvoir calculer la probabilité que la variable près la valeur 2 ça sera pas possible ce sera une venue valeur nulle et donc ce qu'on fait c'est que on prend une fourchette on dit qu'elle est la probabilité que la valeur que la variable prennent une valeur proche de 2 alors ici ce que j'ai fait c'est que j'ai pris un intervalle de 2 une unité autour de la valeur de la valeur que je calcule ici donc ici par exemple au lieu de calculer la probabilité de la valeur 2 je vais calculer la probabilité que la variable prennent une valeur entre moins 1,5 et 2,5 donc un intervalle centré sur la valeur 2 d'amplitude 1 est en fait ce que j'ai fait ici c'est que j'ai calculé j'ai pas calculé l'air qui est là j'ai tout simplement calculé l'air de ce rectangle donc l'ère du rectangle qui a pour auteur cette distance là et pour largeur 1 voilà ça c'est une quelque chose que je peux calcul heures jeux pour être montré comment j'ai fait dans le tableur ici en fait là cette hauteur là bas c'est pour la calcul et jeckel j'ai évalué la densité de probabilités au point 2 donc j'ai évalué l'expression p22 avec l'aval l'expression que j'ai donné tout à l'heure et ensuite pour calculer l'air de ce rectangle j'ai j'ai multiplié cette hauteur par voilà ça me donne cette valeur qui est ces valeurs qui sont là alors en fait pour être vraiment très précis il faudrait calculer l'intégrale de la densité de probabilités entre les valeurs 1,5 et 2,5 il faudrait calculer sa l'intégrale entre 1,5 et 2,5 de la fonction de densité de probabilités donc p 2 x dx voilà bon c'est pas ce que j'ai fait ici là j'ai fait j'ai utilisé cette approximation qui consiste à remplacer l'air qui est larmes l'air qui est ici sous la courbe donc cette partie là je vais assurer ici par l'air du rectangle dont je parlais tout à l'heure en fait c'est une bonne approximation quand même parce que on a ce petit bout de deux courbes la de ce petit bout de planque en oublie ici mais on en rajoute ce petit bout qui est ici donc grosso modo ça correspond à une approximation qui est assez bonne donc voilà c'est ce que j'ai fait ici alors on va regarder ça plus précisément donc en fait ici le nombre qui est ici finalement c'est l'air de l'air de ce rectangle je répète c'est donc finalement comme c'est un rectangle de base 1 c'est finalement le nombre qui est ici ça va être l'évaluation de la densité de probabilités pour la valeur de la si je me mets ici celui là celui qui est ici alors là je vais pour qu'on voit mieux je vais je vais prendre redresser un peu plus grands alors par exemple je vais remettre 10 mètres 10 essais et puis alors ici donc je vais prendre par exemple je vais pas prendre je vais pas regarder le premier cas parce qu'un zéro donc c'est un peu particulier je vais regarder par exemple le cas où on a fait deux déplacements que ce cas si cette ligne là donc on a fait deux déplacements à gauche trois des huit déplacements à droite et donc on arrive à la position finale 6 ces huit mois de 1 donc c'est si c'est en fait ça correspond à ce poids là sa c6 alors ce que j'ai fait ici pour trouver l'ordonné parce que c'est ce qui c'est ce qu'on va chercher celle ordonnée de ce point là que j'ai graf et qui essayent de valeur si cette valeur si alors pour trouver cette valeur là ce que j'ai fait c'est tout simplement évaluer la densité de probabilités de la loi normale au point x et cassis donc en fait j'ai calculé cette quantité la la ça cp petit pailhas et la densité de probabilités calculé en 6 donc j'ai utilisé la formule que j'avais donnée tout à l'heure là je vais la réécrire mais en remplaçant par les paramètres qui sont ici donc j'ai d'abord un sur l'écart type qui 1,581 x la racine de 2 pi x l'exponentielle de -1 2 me et puis à l'intérieur de la parenthèse g la valeur de la variable donc qui est ici 6 correspond à la position finale 6 - la moyenne qui est ici 5 c'est la moyenne des déplacements à gauche donc six mois 5 / l'écart type 1,581 voilà et ça je l'élève au carré alors là bon je peux pas je peux pas m'empêcher je sais que j'ai déjà dit peut-être plusieurs fois même mais je peux pas m'empêcher de de répéter ça cette densité de probabilité c'est une autre formule qui est très importante et qui est dans laquelle on retrouve les deux nombre pi est eux qui sont deux nombres fondamentaux sains de nombre très important c'est vraiment intriguant de retrouver encore une fois c'est de nombre très important dans une formule si importante elle aussi et c'est probablement quelque chose de très profondément inscrit dans dans l'univers donc voilà je peux pas m'empêcher de le répéter mais bon revenons à ce qu'on est en train de faire ici donc cette valeur là c'est ce nombre là qu'on peut calculer donc si tu vas cliquer dans la dans la formule tu verras que en fait j'ai vraiment saisi cette formule là en faisant bien sûr référence à ces paramètres qui sont ici à la moyenne donc j'ai utilisé des adresses absolue un pur notées ccc paramètre-là la moyenne et l'écart type donc alors il ya quelque chose de vraiment important qu'il faut pas perdre de vue c'est ce que je disais tout à l'heure c'est que là ce nombre là que je vais prendre comme étant la probabilité de la loi normale de la valeur 6 cetc c'est une approximation il faut pas perdre ça de vue parce que calculer la probabilité d'avoir une valeur de 6 dans le cadre d'une loi normale qui est une loi continue bien ça n'a pas de sens puisque fait si je veux calculer la probabilité de voir la valeur 6 il faudrait que je calcule l'air de 7,7 droite l'un d'eux ce segment de droite là or un segment de droite ça n'a pas d'air ça ne s'est pas une surface donc ça une aire nul donc ce que je fais en fait ici c'est remplacer cette valeur là par l'air d'un rectangle qui sera celui ci a un peu plus avec une base de 1 là j'ai pris des rectangles qui ont une base de 1 c'est pour ça que en fait normalement si je prends un rectangle qui a une autre base je vais ici je vais devoir prendre ce nombre-là x la base du rectangle comme ici la base est un bien je je prend directement cède cette hauteur là comme étant l'approximation de la probabilité d'avoir une valeur de 6 ça c'est parce que je suis en train d'essayer de faire un lien entre la loi binomiale qui est discrète qui traite d'un cas discret et la loi normale qui traite d'un cas continue donc voilà ce que j'ai fait pour pour faire ce parallèle entre la loi binomiale et la loi normale et donc là on a dix essais simplement seulement dix essais c'est pas c'est pas énorme et on voit ce qu'on disait tout à l'heure c'est que les deux courbes sont déjà presque superposés on voit une petite différence ici au sommet mais pratiquement partout ailleurs les deux courbes sont super pro et on a fait des essais tout à l'heure on a regardé ce qui se passait quand on avait prôné un plus grand nombre d'essai et puis on voyait que les deux courbes devenait de plus en plus superposés on a vu que si on faisait quatre essais les kobe théâtre un peu différente là on a dix essais health commence à être vraiment très proches les unes des lunes de l'autre et puis si on fait 20 et c'est bon on va le faire là bas alors voilà je vais jouer un petit peur je t'encourage à le faire de ton côté 1 téléchargez le fichier a joué avec avec ce fichier là je vais voir ce qui se passe quand je fais par exemple 20 pc on l'a déjà fait et là bas je vois un tout petit peu la courbe bleue mais très très peu donc tu peux faire d'autre et ces [ __ ] on l'a déjà fait un petit peu tout à l'heure la ce que je voulais te montrer c'est dans le classeur dans ce classeur il ya un autre une autre feuille de calcul donc notre onglet qui s'appelle convergence que tu peux auquel tu peux accéder en bas par le lait petit onglet du bas alors voilà je vais je vais te le montrer c'est celui ci alors ici ce que j'ai fait alors je vais prendre l'outil crayon ici ce que j'ai fait c'est tout simplement lors j'ai repris les paramètres de mon expérience binomiale donc j'ai une probabilité de 0 5% d'aller à gauche une probabilité de 0 5% d'aller à droite à chaque fois à chaque lancer deux pièces et puis ici j'ai noté la position finale et donc en fait ce que j'ai fait ici donc on peut on peut changer cette valeur là est ce que j'ai fait ici c'est que j'ai fait différents types de déplacements différents nombre de déplacements donc finalement différents nombre d'essais ici pour dix essais j'ai regarder de quelle de combien de manière je pouvais avoir obtenu une position finale de 10 donc pour en dix essais être arrivé à la position finale 10 il faut que je fasse dix déplacements à droite et 0 à gauche si je veux par exemple si je fais 80 et c'est donc c'est ici si je fais 80 et c est que je veux terminer quand même à la position finale dit c'est bien il faut que j'aie fait 45 déplacement à droite et 35 à gauche donc ça c'est ce que j'ai fait ici ça c'est pour expliquer cette partie ci du tableur alors ce que je veux essayer de te montrer avec ce tableur là cette feuille de calcul là c'est que si je fais un très grand nombre d'essai ici j'ai pris un maximum d'essais à 170 donc on pourrait imaginer ça encore plus on pourrait faire encore plus décès donc ça serait plus de colonne en fait mais l'idée c'est ça c'est de te montrer que quand on plus on fait de déplacement plus les la probabilité binomiale enfin plus la probabilité calculé avec la loi normale donc c'est ce qu'on a fait ce que je t'ai expliqué dans l'autre feuilles de calcul et bien cette plus cette probabilité lave va être une bonne approximation de la probabilité binomiale qui est en moi donc je vais préciser un petit peu ça ici la probabilité binomiale cette valeur là par exemple on la calcule alors on est on est dans le cas où on a fait dix déplacements dits déplacement à droite et 0 à gauche donc ça c'est de calcul cette valeur là j'ai calculé tu peux aller regarder dans la la cellule elle même pour voir la formule mais c'est 01/10 factorielle / 0 factorielle fois dix mois 0 factorielle x alors j'ai zéro déplacer un 10 déplacements à droite chacun ayant une probabilité de 0.5 donc 0.5 puissance 10 x 0 déplacement à gauche est en chacun de zéro mais ils ont une probabilité de 0.5 donc 0.5 puissance 0 ça c'est cette valeur si on a déjà fait ce travail là dans l'autre feuilles de calcul mais c'est exactement ça hein alors je peux peut-être l'écrire comme ça pour faire apparaître les coefficients binôme you donc ça c'est le nombre de choix de 0 éléments parmi 10 x la probabilité d'un déplacement à droite x la probabilité d'un déplacement à gauche voilà et les autres cellules ici sont calculés exactement avec cette même formule de la loi binomiale donc si tu veux je peux en faire un par exemple si je prends celui qui est là celui ci donc qui correspond à 80 et c'est donc ça pour calculer ça je vais utiliser la formule alors je vais calculer le nombre de jets 80 essais en tout il faut que j'en ai réussi 35 donc je vais calculer le nombre de combinaisons de 35 éléments parmi 80 x le nombre de succès qui est 35 10.5 puissance 35 x 0 cinq puissances 45 qui est le nombre d'échecs du coup c'est ici ça ce sont les déplacements à gauche et ça ce sont les déplacements à droite voilà donc avec évidemment le coefficient binomiale qui est qui sera ici 80 factorielle sur 35 factorielle fois 81 - 35 sectorielle donc voilà exactement de la même manière dont coq tu peux aller regarder chaque cellule un tu verras c'est toujours cette formule là qui est celle de la loi binomiale alors la ligne du dessous c'est la moyenne des déplacements à gauche donc ici tu peux regarder la formule aussi mais pour calculer ça j'ai fait que tout simplement le nombre de décès fois la probabilité de déplacement à gauche que j'avais une pensée comme étant le succès et puis alors l'âge de la ligne du dessous j'ai calculé la variance donc c'est tu peux regarder la formule aussi ici en cliquant dans la cellule c'est le nombre de dépassements à gauche fois le nombre de déplacements à droite fois le nombre des c1 c'est ce qu'on avait vu déjà dans la feuille de calcul tout à l'heure donc tu peux aller regarder un c'est toujours cette formule là que j'ai utilisée ici évidemment à chaque fois en remplaçant par le nombre d'essai le nombre d'essai qui étaient notées ici un sas et de nombreux décès chaque fois alors la dernière ligne ici la probabilité nord de la par la loi normale je les calculs exactement comme tout à l'heure c'est à dire que j'ai utilisé la densité de probabilités comme approximations x 1 pour avoir l'air d'un rectangle donc par exemple cette valeur qui est ici prend celle là c'est assez j'ai donné une approximation qui est calculé de cette manière là c'est tu peux aller regarder la formule 1 toujours pareil en cliquant tu vas voir alors effectivement le tableur possède une fonction loi normale on aurait pu utiliser les mais là j'ai préféré taper la fonction de densité de probabilité on va utiliser la fonction densité de probabilités puisque c'est là une approximation que j'ai fait que j'ai choisi de faire ici et puis comme ça je me disais que ça te permettrai de toi d'aller regarder comment est saisi cette formule dans dans le tableur alors ici ce que j'ai fait c'est calculer la probabilité d'avoir alors j'ai fait ici des déplacements 45 déplacement à gauche donc c'est la probabilité d'avoir fait 45 déplacement à gauche et cette probabilité là j'ai calculé à partir de la densité de probabilités donc partir de l'expression que j'ai donné au départ donc c'est un / l'écart type l'écart type c'est la racine carrée de la variance donc ici ses racines carrées de 25 c'est à dire 5 x racines de 2 pi x l'exponentielle de alors moins un demi est ici j'avais une parenthèse avec la valeur x donc ici c'est 45 - la moyenne la moyenne notre moyenne ici c'est 50 c'est ce nombre qui est là un ca / l'écart type qu'on a on a dit que c'était 5 et tout ça je l'élève au carré voilà alors évidemment j'ai moi j'ai inscrit sa dent comme formule dans la cellule qui est là mais en fait il faut penser ça comme étant cette valeur là x 1 pour avoir pourri magique pour avoir un rectangle parce que c'est exactement ça que j'ai fait j'ai pris un rectangle de base 1 et 2 auteurs paix de 45 ici voilà alors le 1 je n'ai pas mis dans la formule mais il faut quand même penser qu'il est là parce que justement on est dans le cas d'une variable continue alors ce que montre ce graphe c'est que bon on est là on s'occupe de la probabilité d'avoir une position finale 10 est en fait ce que montre ce graphe là alors j'ai ici j'ai calculé j'ai pas expliqué cette dernière ligne ça c'est la différence probabilité normal - probabilité binomiale donc c'est la différence entre cette valeur là et cette valeur cette valeur la moins cette valeur là et là j'ai tracé ce graphique donc qui concerne toujours la probabilité david de finir en position finale 10 et puis j'avais ici gras fait la différence cette différence là ici donc on voit que plus on fait d'essais plus les cette différence va diminuer mais en fait s'approcher de zéro ce qui veut dire que plus on fait des c plus la probabilité d'avoir une position finale calculé avec la loi binomiale est proche de la probabilité d'avoir une position finale calculé avec la probabilité normal donc ça montre c'est une autre façon de voir que la loi binomiale fête avait un très grand nombre d'essai convergent vraiment vers la loi normale alors bon là je les fais avec une position finale de 10,1 mais tu peux changer ça on va le faire ici par exemple si on met ici une valeur beaucoup plus grande à mettre fin par exemple donc ça ça va être la probabilité de finir en position 20 avec selon le nombre d'essai et on va voir ici la différence entre la probabilité calculé avec la loi normale et la probabilité calculé avec la loi binomiale on voit que bon c'est un peu bizarre ce qui se passe ici je sais pas très bien comment ça se fait c'est probable que la ici on a des des approximations qui perturbe un petit peu les choses je sais pas très bien j'ai il faudrait que je regarde ça d'un peu plus près et en tout cas on voit que à partir de 180 alors là c'est probablement six le fait que ce soit complètement plat c'est parce que lequel le tableur n'arrive pas à faire la distinction justement c'est tellement proches de zéro que lui il calcule que c'est zéro le tableur calcul ça comme la différence comme étant nulle mais ça montre encore une fois que plus on augmente les essais plus la loi va converger la loi binomiale va converger vers une loi normale si je mets 30 ça va être pareil voilà à partir d'un certain seuil le tableur la différence est tellement faible que le tableur ne peut même plus là l'a remarqué voilà donc on a une courbe qui est devient complètement plate donc voilà ce tableur je t'engage a joué avec autant que tu peux télécharge le joue avec voit ce qui se passe regarde ce qui se passe et expérimentent et en tout cas voilà tu as plusieurs ici on a vu deux façons différentes de deux graphiques différents qui montrait que plus on faisait des c'est plus la loi binomiale pouvait être remplacé approché par une loi normale