If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :10:02

Transcription de la vidéo

alors dans les vidéos précédentes on avait parlé des variables aléatoires en particulier en avait parlé des variables aléatoires quantitative donc y en a qui prennent des valeurs numériques puis on avait vu qu'il y avait deux types de variables aléatoires quantitative y avait les valeurs et les variables discrète qui prennent un certain nombre précis de valeur donc ça peut être peut y avoir une infinité de valeur mais ce sont des valeurs précises distinctes et séparées et puis on avait vu aussi qu'il y avait certaines valent variables qui pouvaient être continu continu donc celle là elles prennent des valeurs dans un intervalle de valeur c'est à dire qu'elles peuvent prendre une infinité de valeur mais que en plus entre deux valeurs possibles il ya encore une infinité de valeur voilà alors on avait vu des exemples de variables aléatoires discrète et continue par exemple là je vais donner un exemple de variables aléatoires continue bon je vais l'appeler y parce que très souvent on l'appelle x mais on n'est pas obligé de l'appeler x en tout cas je l'appelle y majuscule en général les variables aléatoires on les représente par des majuscules et ça va être la hauteur précise la hauteur exacte on va dire de pluie qui va tomber demain de pluie demain alors voilà comment on va travailler avec une variable aléatoire continue dans le cas d'une variable aléatoire discrète on avait vu que on pouvait donner la loi de probabilité simplement en calculant la probabilité de chaque valeur de chaque valeur de la variable là c'est pas la même chose en fait ce qu'on va faire c'est qu'on va utiliser les ce qu'on appelle une fonction de densité de probabilités densité de probabilité alors je vais tracer un graphique donc je traçais déjà un repère alors voilà j'ai tracé lax désordonnée et puis l'axé des abscisses et là je vais tracé la fonction de densité de probabilités de la hauteur exacte puis demain bon je ne connais pas exact je la connais pas exactement mais bon on va dire qu'elle est elle ressemble à quelque chose comme ça voilà et puis bon en abscisse j'ai représenté c'est la hauteur c'est les valeurs de y donc c'est la hauteur de pluie en mm donc par exemple ici j'ai 0 mm là j'ai un millimètre l'âge et 2 mm là j'ai 3 mm 4 mm voilà et ainsi de suite donc ça c'est la hauteur de pluie c'est la hauteur de pluie en mm voilà et puis là le sommet bon je fais pas exactement quelle est sa valeur mais on va dire que sa valeur la valeur du maximum de cette courbe c'est 0,5 voilà alors maintenant si par exemple je te demande quelle est la probabilité que la variable y soit égale à 2,5 à 2,25 bon la variable aléatoire y c'est donc la hauteur exacte de plus donc ça ça revient à se demander quelle est la probabilité que demain il pleuve exactement une hauteur de 2 5 mm alors si tu penses à ce qu'on a fait avec les variables aléatoires discrète doit être tentés de prendre la valeur 2,5 ici et puis de de trouver l'image de ce nombre donc ce sera ici 0.5 donc tu va me répondre la probabilité que y soit égale exactement à 2,5 donc qui pleuvent exactement 2 5 mm de pluie c'est 0,5 voilà alors est-ce que ça c'est vrai et bien non c'est pas vrai c'est pas du tout comme ça que ça se passe et pour le comprendre et bien il faut bien penser à ce qu'on cherche ici ce qu'on cherche c'est la hauteur exacte de pluie la hauteur exacte de plus donc ça je vais le mettre au vert la hauteur exacte de pluie ça change beaucoup de choses le fait qu'on cherche une valeur exacte parce que finalement nous ce qu'on veut c'est qu'il pleuve exactement 2,5 on veut pas qu'il pleuve par exemple 2,51 ou 2 513 par exemple ça c'est pas pas quelque chose qu'on veut on veut pas non plus qu'il pleuve 2,499 9 9 9 9 ça ça ne nous va pas non plus nous on veut ce soit exactement 2,5 peut même pousser un peu plus loin on veut pas que l'on cherche pas à voir 2.500 000 1 on veut pas non plus qu'il y ait deux points 4 9 9 9 9 9 9 9 et ainsi de suite on veut qu'il y ait exactement 2 5 mm de pluie donc on veut pas qu'ils aient une molécule même supplémentaires d'eau ou bien une molécule en moins de 1 donc ça c'est c'est très important à comprendre parce que du coup si tu comprends ça tu vas tu as réalisé que finalement la probabilité que la hauteur et de pluie soit exactement de 2,5 et bien c'est une probabilité nul hein je pense que tu comprends ça maintenant donc la probabilité que y soit égale à 2,5 c zéro c'est une probabilité nul même si au départ si on réfléchit pas bien et si on ne fait pas attention à ce terme exact eh bien on n'a pas tendance à répondre cette valeur là c'est parce qu'on entend très souvent des choses comme ailleurs il ya plus de 2,5 millimètres de pluie mais en fait ce qu on quand on dit ça on ne donne pas la valeur exacte on donne une valeur approcher parce que toute façon il n'y a aucun moyen on ne possède aucun moyen de mesurer la valeur exacte de la hauteur de pluie qui a eu dans un jour donné c'est absolument impossible on n'est pas capable non plus de mesurer très précisément exactement n'importe quelle longueur ou n'importe quelle masse en fait nos notre capacité de mesurer elle est forcément approximative donc effectivement de toute façon la probabilité de mesurer quelque chose avec une exactitude parfaite c est une probabilité nul parce qu'on peut pas le faire on peut pas on est incapable de le faire alors bon ça peut être un peu gênant parce que du coup on sait pas très bien comment faire puisque si la probabilité de chaque valeur nuls baisse est un peu embêtant alors en fait ce qu'on va faire c'est quelque chose qui colle up assez bien la réalité c'est qu'on va calculer la probabilité que y soit à peu près égale à 2,5 alors ça on va à l'exprimer de cette manière là on va écrire par exemple que on peut chercher la probabilité que la valeur absolue de y moins 2,5 soit plus petit qu'un certain nombre on va dire zéro virgule voilà alors ça je sais pas si tu est familier avec cette écriture là mais c'était une inégalité la valeur absolue de y moins de 25 inférieur à 0,1 c'est exactement la même chose que de dire que la valeur absolue de y doit être inférieur à 2,6 est supérieur à 2004 voilà c'est exactement ces deux procès deux inégalités là sont équivalentes alors ça ça change beaucoup de choses parce que finalement ce qu'on cherche maintenant alors on va on va le dessiner ici hein ici on est on va bon je fais ça à pas tout à fait à l'échelle 2,4 c'est là et 2,6 c'est là donc finalement ce qu'on va essayer de représenter maintenance et de calcul est maintenant plus tôt c'est la probabilité de cet intervalle là c'est à dire la probabilité c'est ça qu'on cherche que la variable aléatoire y soient comprises entre 2,4 et 2,6 correspond à tout ce qui est là donc maintenant on peut interpréter ça d'une manière assez claire cherchez la probabilité qu'ils y soient comprises entre 2,4 et 2,6 ça revient à calculer l'air de la surface que j'ai assuré ici donc la partie du planquer sous la courbe située sous la densité de probabilités et puis comprise entre les valeurs 2.4 ici et 2,6 voilà alors si tu as déjà entendu parler du calcul du calcul intégral de l'intégration tu vas pouvoir tout de suite te dire que que ça c'est finalement l'intégrale de la fonction de densité de probabilités entre les valeurs 2,4 et 2,6 ans une intégrale défini qu'on va calculer entre entre ces deux valeurs 2,4 et 2,6 alors par exemple si j'appelle fdx la fonction de densité de probabilités donc ça veut dire que cette courbe l'a1 cette courbe la gela redessiné envers cette courbe là c'est la courbe d'équations y égale f 2 x alors dans ce cas là la probabilité que hig que la valeur absolue de y en a 2 5 soit inférieure à 0,1 eh bien on va pouvoir l'écrire de cette manière là ça va être l'intégrale entre 2,4 pardon et 2.56 pardon de la fonction de densité de probabilité de f 2 x dx voilà si tu as vu tu connais l'intégration normalement tu devrais pouvoir comprendre cette expression la voilà ça c'est très important à comprendre en fait le la probabilité d'avoir une valeur exactement enfin très très très très exactement précise d'avoir par exemple cette valeur là 2,499 9 9 9 9 exactement cette valeur là bas c'est une probabilité nul parce que ça reviendrait en fait à calculer l'air sous la courbe de cette ligne est bon ou alors encore plus généralement ça reviendrait à calculer l'air de toute façon d'une ligne sous la courbe donc c'est forcément quelque chose de nul si je te demande de calculer l'air d'une droite d'une d'un segment par exemple tu vas tu vas me dire que normalement l'air d'une figure c'est la hauteur x la base ici est une auteure bien sûr mais ya pas de base la base elle et elle a une longueur 0 en fait elle vaut zéro il n'y a pas de base c'est comme ça qu'on définit un segment de droite c'est une objets qui a une certaine longueur et qui n'a pas d'autre cas qu'une seule dimension donc ya pas de base donc c'est une figure qui naquit à une ère nul 1 et donc ça ça correspond au fait que c'est absolument impossible de mesurer ici d'un autre cas par exemple de mesurer avec exactitude avec une exacte précision la hauteur de pluie et qu'il est tombé à un certain moment et en fait du coup la seule façon qu'on a de faire c'est de calculer la valeur la probabilité que notre variables y soit environ égal à une telle valeur et du coup on peut calculer l'air de qui est de la partie qui est situé sous la courbe et des limites par cet intervalle donc on pourrait calculer d'autres probabilité on pourrait par exemple calculer la probabilité que la valeur que la variable y sont comprises entre 1 et 3 donc ça serait la probabilité de cet événement là y est plus grand que 1 est plus petit que trois donc là l'air qui est représenté par cette probabilité enfin qui représente cette probabilité ça va être la partie du plan qui est délimité par les les droites y égal 1 et puis cette valeur là trois pour qu ensuite on va devoir calculer l'air compris sous la courbe entre ces deux valeurs là entre la valeur 1 et 3 donc la partie que je vais à fuir ici voilà ça c'est donc la probabilité une fois qu'on a calculé cette l'air de cette surface là bien ça ça représente la probabilité que la variable y soit comprise entre 1 et 3 on peut aussi se demander par exemple quelle est la probabilité que la hauteur de pluie soit inférieur à 0 5 mm donc ce serait cet événement là la probabilité qu'ils y soient inférieures à 0.5 donc là pour trouver ça bah on place le point 0,25 et puis en fait les cette probabilité là et bien c'est l'air qui est soutien guen qui est situé sous la courbe entre les valeurs zéro et 0,25 donc ça c'est la probabilité qu'ils y soient inférieures à 0.5 qu'on peut calculer en intégrant la fonction de densité de probabilités entre les valeurs zéro et 0,25 on peut aussi se demander quelle est la probabilité que la qui pleuvent plus de 5 mm donc ça serait l'événement alors je vais le faire dans une autre couleur ce sera plus clair on violait quelle est la probabilité que y soit supérieure à 5 donc ça ça veut dire que la hauteur exacte de pluie sera supérieure à 5 mm donc on place 5 est en fait là on va calculer l'impôt va calculer l'air de toute la courbe donc elle se prolonge à l'infini comme ça et donc on va calculer l'ère de la partie du plan qui est compliqué comprise entre ce cette valeur 5 et la courbe de la densité de probabilité alors bon ce qui est important c'est que quand on calcule cet air là eh bien on obtient un nombre fini on n'obtient pas une valeur infinie ce qui est heureusement parce que sinon ça serait un peu plus problématique on aura une probabilité qui serait un fini donc ça n'aurait pas de sens et donc ça c'est très important c'est une propriété importante des fonctions densité de probabilité quand on calcule l'air de cette surface là qui se prolonge à l'infini ça serait ça se prolonge à l'infini eh bien on obtient de toute façon une valeur fini alors il ya une manière d'expliquer ça qui est vraiment fondamental qu'en fait si on prend toute la surface qui est situé sous la courbe ici donc je vais là je peux la faire par exemple en jaune si je prends toute cette surface là que je dessine en jaune donc c'est l'air qui est situé sous la courbe entre les valeurs 0 et plus l'infini on obtient en fait toutes les valeurs possible que peut prendre la variable donc le canton calcul est en fait on obtient une probabilité qui est égal à 1 puisque ça représente tous les cas possibles donc c'est une probabilité de 100 % c'est-à-dire 2 1 donc si ce que ce que je veux dire c'est que si on calcule alors je le fais en violet si on calcule l'intégrale de 0 à + l'infini de la fonction de densité de probabilités f 2 x eh bien ça ça doit être égal à 1 ici forcément c'est toujours comme ça pour une densité de probabilité quand on calcule l'intégrale de la fonction de probabilités surtout l'intervalle des valeurs que peut prendre la pole à la variable eh bien on obtient forcément un alors si tu est familier avec le calcul intégral tu peux voir ça de cette manière là avec cette formule qui fait intervenir une intégrale sinon tu peux voir ça très bien en parlant d'herbe d'air qui est situé sous la courbe alors c'est exactement la même chose qu'on a eu dans le cas d'une probable une variable aléatoire discret peindre je vais faire un peu de place donc par exemple si on prend je ne sais pas une expérience on lance un des dons va faire avec une pièce ça sera plus simple donc quand on lance une pièce on a une variable aléatoire par exemple qu'on peut définir comme ça x qui vaut 1 si on tombe surface si la pièce tombe surface et 0 si elle tombe sur pile alors à ce moment là on avait vu qu'on pouvait tracer un diagramme un diagramme en bâton comme ça et alors la probabilité d'avoir la valeur un bon on sait que c'est 0.56 la pièce n'est pas truquée 10.5 je vais le mettre ici et puis du coup si cette probabilité est là et 0,5 c'est pas forcément vers et 0,25 mais si la pièce n'est pas truqué c'est 0.5 et du coup dans ce cas là bas la valeur zéro elle sera forcément aussi elle aura forcément aussi une probabilité de 0.5 parce que effectivement quand on fait la somme des 2 probabilité bien on doit trouver un donc si par exemple on a une pièce truquées et que la probabilité d'obtenir phase 6 est par exemple 07 70 % eh bien ça veut dire que on peut tout de suite savoir la probabilité d'avoir obtenu un pile c'est à dire la probabilité que la variable aléatoire soit égal à zéro et bien à ce moment là ça sera 0,3 voilà parce que la somme des deux doit faire un effectivement ça n'aurait pas de sens que la somme des deux soit tu sois supérieur à 1 parce que ça voudrait dire qu'il ya une probabilité supérieure à 1 d'avoir une dinde et deux résultats possibles alors que la probabilité d'avoir un des deux résultats possibles c'est forcément 100% c'est à dire donc si on avait par exemple la probabilité que x ou égal à 1 fixé à 0,7 et la probabilité de faillite soit égal à zéro fixé à 0,5 on aurait une probabilité que x soit égal à 1 ou égal à zéro qui serait égal à zéro virgule qu'est-ce que j'ai dit 0.7 +0 5 donc ça serait un ou deux ça serait 120 % de chances d'avoir un des deux résultat possible ce qui est absolument absurde à 100% de chances d'avoir un des résultats possibles et ça s'applique n'importe quel autre cas d'une variable aléatoire discrète quand on fait la somme des probabilités de toutes les valeurs possibles de de la variable x et bien on doit obtenir et c'est exactement la même chose quand on a une variable aléatoire continue comme celle de tout à l'heure quand on fait la somme des probabilités de tous les événements de toutes les valeurs possibles de la variable c'est ce qu'on fait quand on calcule l'air ici eh bien on doit trouver forcément un puisque c'est représente la probabilité d'obtenir un des résultats possibles qui est de 100 % c'est-à-dire 2 1 voilà on va s'arrêter là parce que ça a été un petit peu long quand même j'espère que cette cathédrale à bientôt