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Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo je vais faire une expérience je faire une expérience de probabilités je vais prendre un grand sac est dedans je vais mettre des objets alors je vais mettre par exemple des cubes vers les cubes vers lhassa je vais en mettre 10 ont 8 ensuite je vais mettre des boules des boules vertes ça c'est une boule et là ça déboule vers géants met 9 10 ont ensuite je vais mettre aussi des cubes jaune les mêmes cube que les autres mais de couleur jaune là je les dessine est plus petit mais c'est exactement les mêmes et là je vais en mettre 5 et ensuite je vais mettre des boules jaunes aussi voilà et des boules jaunes exactement les mêmes que les vertes mais jaune je vais en mettre cette voie là et puis je vais piocher au hasard un des objets dans le sac et je vais me poser des questions sur les probabilités de certains événements donc je me demandais pour commencer par exemple quelle est la probabilité d'obtenir un cube un cube un cube de n'importe quelle couleur donc ça peut être un cube verre ou un cube jaune alors une façon de voir ça c'est de commencer par se demander combien de résultats possibles il y a à cette expérience donc en fait c'est combien d'objets différents jeux peu pioché au hasard dans le sac donc là il suffit de compter les nombreux le nombre d'objets qui a donc 1 à 8 + 9 ça fait dix-sept +5 ça fait 22 plus est ça fait 29 donc en tout il ya 29 objet différent alors je vais je vais faire un petit dessin c'est toujours utile donc je vais commencer par dessiner les 29 résultat possible donc je vais représenter ça comme ça un rectangle vous imaginez tous les objets là dedans et y en a 29 ans tous voilà alors maintenant je vais regarder combien il ya de cuba parce que c'est ça que je cherche moi je veux qu'on et je veux que l'événement piocher un cube soit réalisé donc je vais compter le nombre de cubes il y en a ici 8,8 cubes verts et à cinq cubains jaune donc en tout il y à tresses cubes alors je vais représenter comme ça les cubes ici voilà donc un à treize et ça c'est donc l'ensemble des cubains il faut imaginer les objets répartis dans cet espace là ici aura tous les cubes voilà les tresses cube bon je fais pas du tout ça à l'échelle c'est juste pour se donner une idée hein alors voilà maintenant est comment est-ce qu'on peut exprimer la probabilité de pieux d'avoir pioché un cube est bien là tous les objets ont la même chance d'être d'être piochés au hasard donc tous les résultats possibles les 29 résultats possibles sont equi probable et tous les cubes aussi son ont la même chance d'être purgée donc ils sont écrits probable donc là dans ce cas là on peut dire que la probabilité d'obtenir un cube c'est le nombre de cas favorable donc le nombre de cubes divisé par le nombre de résultats possibles donc le nombre de résultats possibles on a dit que c'était 29 et le nombre de cas favorable c'est le nombre de cubes donc on a dit que c'était 13 voilà donc je trouve cette probabilité la probabilité de piocher un cube dans mons dans le sac c'est 13 sur 29 en supposant que tous les résultats sont equi probable alors maintenant je vais poser une autre question j'ai me demander par exemple quelle est la probabilité d'obtenir de de piocher un objet jaune un objet de couleur jaune donc je vais le noter comme ça on va chercher la probabilité d'obtenir un objet jaune de couleur jaune alors ça peut être un cube jaune ou bien une boule jaune vert jaune alors là je vais d'abord compter le nombre de résultats possibles c'est comme tout à l'heure ses 29 donc g29 résultat possible ici et maintenant il faut que je compte le nombre de restes de cas favorable c'est-à-dire le nombre d'objets de couleur jaune en fait alors ici j'en ai cinq et si j'en ai sept donc en tout dans les 5 plus est ça fait douze alors je vais les représenter sur mon sur mon dessin les objets de couleur jaune donc effectivement dans mes objets de couleur jaune il ya des cubes donc je vais avoir une partie de l'ensemble des cubis si ça va se chevauchent et je vais faire quelque chose bon c'est pas très joli mais bon voilà ici ça c'est l'ensemble des objets de couleur jaune voilà alors ici du coup j'en ai 12,1 j'ai dis donc ici je vais avoir 12 et la probabilité de piocher un objet de couleur jaune c'est 12 sur 29 alors maintenant je vais me poser une question un petit peu plus intéressante je trouve j'ai me demander quelle est la probabilité d'avoir pioché un cube jaune alors je vais de noter comme ça pour montrer que la cette fois ci la couleur compte donc c'est un cube jaune que je veux voilà donc ça c'est jona voilà alors bon j'ai toujours les mêmes nombre de résultats est plus probable c'est 29 et puis maintenant il faut que je compte le nombre de cubes jaune qu'il y a alors le cube jaune c'est cela il y en a cinq donc finalement la probabilité que je cherche c'est 5 sur 29 il ya cinq chances sur 29 de piocher un cube jaune alors où est ce qu'on peut voir sur le diagramme de venn que j'aidais ce que j'ai tracé tout à l'heure j'ai dessiné ici ça c'est un diagramme de venn s'appelle comme ça où est ce qu'on peut voir sept cet événement la pioche et un cube jaune ici en fait quand on dit je pioche un cube jaune je dois chercher un élément qui est jaune et qui est un cube donc finalement joue à chercher un élément qui est dans cet ensemble l'a donc jaune et puis qui est aussi dans cet ensemble là parce que c'est un cube alors cela il y en a cinq qui sont ici et ici en fait donc ses l'intersection des deux l'ensemble des cubes et de l'ensemble des objets jaune ça c'est donc l'ensemble cette intersection là c'est donc l'ensemble des objets qui sont des cubes et jaune voilà très important de bien comprendre que luce comment est-ce qu'on peut utiliser les diagramme de venn et notamment de bien voir quels sont les ensembles qui ont des intersections des dons des éléments en commun ou au contraire qu'ils n'en n'ont pas voilà donc là c'est ce qu'on a fait ici alors une fois qu'on sait poser toutes ces questions qu'on a calculé tout ces probabilités là il ya une autre question qu'on a envie de se poser assez naturellement par cette question c'est quelle est la probabilité de piocher un objet qui est jaune ou un cube note comme ça donc il faut un objet de couleur jaune ou bien un cube ça qui est différente tout à l'heure c'est qu'ici on a un coût alors que tout à l'heure on avait un et alors comment est-ce qu'on peut aborder ce problème là d'abord on peut déjà se dire bon baisse il ya toujours 29 résultats equi probable donc j'ai mené 29 résultat possible alors maintenant on va céder de ce diagramme de venn que j'ai dessiné là alors je vais déjà compté le nombre d'objets jaune puisque moi je dois avoir soit des objets jaune soit des cubes donc ici ça là c'est le nombre d'objets jaune et puis là le réflexe ensuite c'est d'ajouter tous les cubes mais il faut faire attention parce que si on ajoute directement tous les cubains on ajoute en fait encore une fois les cinq cubes jaune qu'on a déjà compté dans les objets jaunin qu'en fait on peut voir ça comme ça les objets jaune y en a cinq qui sont des cubes et sept autres qui sont des sphères et puis les cubes y en a huit qui sont verts et y en a cinq qui sont jaunes donc je peux l'écrire comme ça et finalement donc si j'ajoute les 13 cube ce que je vais faire ici si je fais plus 13 ça c'est le nombre de cubes de pub donc en fait si j'écris les douze objets jaune plus les traits les 13 cube il faut pour avoir le bon résultat il faut que je retranche les cubes jaune c'est à dire les cinq cubes jaune ça cinq c'est le nombre de cubes jaune voilà et donc là j'ai effectivement le bon résultat bon je peux calculer le jeu peut le calculer un ça ça donne 12 +13 ça fait vingt-cinq moins de cinq ça fait vingt douze plus 13 25 - 5 ça fait 28 donc c'est bien sa fin sur 25 sur 29 pardon voilà donc ça c'est la probabilité d'avoir pioché un objet jaune ou bien un cube voilà alors c'est intéressant de calculer la probabilité 1 mais ce qui va être encore plus intéressant c'est de relier ce résultat aux probabilités des événements qu'on a calculé tout à l'heure alors là on va le faire je vais faire je vais remonter un petit peu tout ça voilà en fait cette expression là que j'ai obtenu tout à l'heure je vais la réécrire en séparant les fractions alors ici j'ai douze je peux écrire ça comme 12 j'ai gardé les couleurs donc 12 sur 29 tout sur 29 ensuite je peux ajouter les regarder le dénominateur 29 ici j'ai donc plus 13h29 ça c'est le nombre de cubes ici j'ai noté le nombre d'objets jaune plus le nombre de cubes et puis ensuite il faut que je fasse moins 5 sur 29 alors cinq c'est le nombre de cubes jaune - évidemment je l'écris en rouge donc c'est dommage mais bon voilà c'est c'est pas grave c'est quand même le nombre de cubes jaune ici alors maintenant ce qu'il faut ce qu'on peut remarquer ce qui est assez intéressant de remarquer c'est que 12 sur 29 sisi cette fraction la 12 sur 29 en fait c'est la probabilité donc c'est ce qu'on a calculé tout à l'heure c'est la probabilité d'obtenir un objet de couleur jaune je vais l'écrire comme ça je vais garder trace des couleurs ça sera plus pratique donc ça c'est la probabilité d'obtenir un objet de couleur jaune ensuite le deuxième 13 sur 20 heures on l'a calculé aussi tout à l'heure c'est la probabilité de 2,2 d'avoir pioché un objet qui est un cube donc je vais l'écrire comme sa probabilité d'avoir pioché un cube un cube de n'importe quelle couleur jaune ou vert et puis le dernier terme ici la dernière fraction 5 sur 29 on l'a calculé ici c'est la probabilité d'obtenir un cube jaune c'est à dire d'obtenir un objet qui est un cube et de couleur jaune donc ça je vais l'écrire comme ça - je gardais les les mêmes couleurs que d'habitude - la probabilité d'obtenir un objet de couleur jaune et à cette fois ci je l'écris en majuscules et un cube et ça c'est intéressant parce que ça relie l'événement la probabilité de l'événement tirer un objet de couleur jaune ou un cube aux probabilités des événements tirer un objet jaune tirer un cube et tirer un objet jaune et un cube voilà alors là on l'a fait avec des nombres avec des valeurs particulières mais c'est une formule complètement général qu'on peut utiliser dans tous les cas à chaque fois qu'on a qu'on cherche la preuve à chaque fois qu'on cherche la probabilité d'un événement ou d'un autre alors là je vais leur écrire d'une manière complètement général cette formule on monte un peu ça si je prends par exemple la probabilité d'avoir un événement un événement que j'appelle à ou un événement que j'appelle b voilà et bien dans le cas complètement général cette probabilité de a ou b c'est aussi on l'appelle aussi la probabilité de à union b parce que a ou b c'est en fait c'est l'ensemble à union b que tu verras de temps en temps noté comme ça à union b et bien cette probabilité c'est la probabilité de a plus la probabilité de b - la probabilité de l'événement a et b voilà et cet événement-là a et b souvent tu on le note comme ça à intersection b effectivement en fait a et b c l'intersection de l'ensemble à et lapins et de l'ensemble b donc c'est l'ensemble des éléments communs à et ab pourquoi est ce que cette formule marche et qu'elle est complètement général finalement si on regarde le diagramme je vais le reprendre regarder un petit peu ici mettons que ça soit l'ensemble a et ça soit l'ensemble b en fait si je fais p2 à la probabilité de a plus la probabilité de b je vais compter deux fois les résultats qui sont favorables à aa et ab donc je remonte un petit peu donc c'est pour ça qu'il faut enlever une copie de la probabilité de a et b parce que si parce que sinon on l'a compte deux fois voilà donc ça c'est vraiment une probable une formule complètement général on appelle ça la probabilité de l'union deux événements alors à partir de cette formule là on a quand même envie et tout de suite d'examiner un autre cas c'est celui où les événements a et b ne peuvent pas être réalisés en même temps donc je vais faire un dessin pour qu'on comprenne un petit peu mieux donc je vais dessiner ici ça a c'est l'ensemble de tous mes résultats possibles et puis je vais dessiner par exemple là ça c'est les résultats qui constitue l'événement à voilà et puis je vais dessiner à côté un autre ensemble et ça c'est l'événement b sont le résultat qui constitue l'événement b donc finalement c'est pas possible d'avoir un résultat qui vérifie a et b en même temps c'est ça qui est important alors des événements comme ceux là qui ne peuvent pas être réalisés en même temps donc qui ne se chevauchent pas un là quand on fait un diagramme un diagramme de venn et bien ces événements on les appelle des événements incompatibles incompatibles le mot est bien trouvée parce que ça veut dire qu'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps le résultat d'une expérience ne peut pas être un élément de à est un élément de b alors dans ce cas là effectivement il l'événement a et b à une probabilité nul donc cette ce terme là il s'en va il devient les nuls donc finalement dans le cas où les événements sont incompatibles la probabilité de l'union a ou b eh bien c'est la probabilité de a plus la probabilité de b tout simplement parce que effectivement les il n'ya pas il n'y a pas de d'éléments communs a et b donc il n'ya pas besoin d'enlever une copie de l'intersection a et b de l'événement a et b je pense que quand même la manière la plus la plus simple de fonctionner avec cette formule c'est de se souvenir de celle là du cas général de bien se rappeler qu'il faut supprimer une copie de l'intersection de l'événement a et b pardon et puis ensuite si les événements sont incompatibles ce terme là ça nul donc on retrouve tout de suite la bonne formule p de a ou b et galp et de a+ p2p si les événements sont incompatibles