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Cours : 6e année secondaire - 2 h > Chapitre 2 

Leçon 5: Variable aléatoire continue : Loi normale
Mathématiques
6e année secondaire - 2 h
Variables aléatoires et lois de probabilités
Variable aléatoire continue : Loi normale
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La loi normale - Savoirs et savoir-faire

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Les lois normales ont une grande importance en statistiques. La courbe représentative de leur fonction de densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche du fait de sa forme. Elle possède un axe de symétrie en la moyenne ou la médiane (elles sont égales) et des intervalles remarquables (68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne.)

La loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Les premiers statisticiens ont constaté que de nombreuses distributions statistiques observées pouvaient être décrites et modélisées par une loi nommée par conséquent loi normale (cela ne signifie pas pour autant que les autres distributions soient anormales).
Une courbe de distribution normale est tracée le long d'un axe horizontal intitulé "Moyenne", qui va de moins 3 à 3 par pas de 1. La courbe monte de l'axe horizontal à moins 3 avec une pente croissante jusqu'à son pic à 0, avant de descendre avec une pente décroissante jusqu'à 3, puis semble plafonner le long de l'axe horizontal. Toutes les valeurs sont estimées. L'aire sous la courbe à gauche de la valeur moins 3 et à droite de la valeur 3 sont toutes deux notées 0,15 %. L'aire comprise entre la valeur moins 3 et la valeur moins 2, et entre la valeur moins 2 et la valeur moins 3, est indiquée par 2,35 %. L'aire comprise entre la valeur moins 2 et la valeur moins 1, ainsi qu'entre la valeur moins 1 et la valeur moins 2, est notée 13,5 %. L'aire entre la valeur moins 1 et 0, et 0 et 1, est notée 34%.
Les propriétés d'une distribution normale sont :
  • La fonction de densité de probabilités de la loi normale a la forme d'une courbe en cloche symétrique
  • la moyenne et la médiane sont égales ; la courbe est centrée sur la moyenne
  • L’axe des abscisses est une asymptote, σ représente la différence des abscisses entre le sommet de la courbe et le point d’inflexion. ≈68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne
  • ≈95% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- 2 fois l'écart-type autour de la moyenne
  • et ≈99,7% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- 3 fois l'écart-type autour de la moyenne.
La vidéo.

Tracer la courbe représentative d'une fonction de densité de la loi normale : exemple

Le diamètre du tronc d'une certaine variété de pin suit la loi normale de paramètres μ=150cm et σ=30cm.
Tracer la courbe représentative de la distribution "diamètre des troncs".
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ ; σ2).
2 : La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation x=150.
3 : On sait que l'intervalle 150+/- 30ext, c'est à dire [120;180] contient 69,48 % des observations. L'intervalle 150+/- 2×30 c'est à dire [90;210] contient 94,87 % des observations.
Une courbe de distribution normale est tracée le long d'un axe horizontal intitulé "Diamètre du tronc en centimètres", qui va de 60 à 240 par pas de 30. La courbe s'élève de l'axe horizontal à 60 avec une pente croissante jusqu'à son pic à 150, avant de descendre avec une pente décroissante jusqu'à 240, puis d'apparaître en plateau le long de l'axe horizontal. Toutes les valeurs sont estimées.
Exercice 1
La taille de cette même variété de pins suit aussi une loi normale. de paramètres μ=33m et σ=3m.
Quelle distribution normale résume le mieux les données ?
Choisissez une seule réponse :

Calcul de pourcentages d'observations : exemple

Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de μ=150cm et un écart-type de σ=30cm.
Quel est environ le pourcentage de pins dont le diamètre du tronc est supérieur à 210cm ?
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ ; σ2) avec μ=150cm et σ=30cm.
2 : Un diamètre de 210cm correspond au diamètre à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à P(X>210) .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
2,35 %+0,15 %=2,5 %
Environ 2,5% des pins ont un diamètre supérieur à 210cm.
la vidéo.
exercice 2
Quel est environ le pourcentage de pins dont le diamètre du tronc est compris entre 90 et 210 centimètres ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
%

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices sur la règle empirique.

Calcul d'un nombre d'observations : exemple

Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de μ=150cm et un écart-type de σ=30cm.
Une parcelle de la forêt contient 500 de ces pins.
Quel est environ le nombre de ces pins dont le diamètre du tronc est inférieur à 120cm ?
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ ; σ2) avec μ=150cm et σ=30cm.
2 : Un diamètre de 120cm correspond au diamètre à un écart -type en dessous de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à P(X<120) .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
Une courbe de distribution normale est tracée le long d'un axe horizontal intitulé "Diamètre du tronc" en centimètres, qui va de moins 60 à 240 par pas de 30. La courbe monte de l'axe horizontal à 60 avec une pente croissante jusqu'à son pic à 150, avant de descendre avec une pente décroissante jusqu'à 240, puis semble plafonner le long de l'axe horizontal. Toutes les valeurs sont estimées. L'aire sous la courbe à gauche de la valeur 60 et à droite de la valeur 240 sont toutes deux notées 0,15 %. L'aire comprise entre la valeur 60 et la valeur 90, et entre la valeur 210 et la valeur 240, est indiquée par 2,35 %. L'aire comprise entre la valeur 90 et la valeur 120, ainsi qu'entre la valeur 180 et la valeur 210, est notée 13,5 %. L'aire entre la valeur 120 et 150, et 150 et 180, est notée 34%. L'aire inférieure à 120 est coloriée.
0,15%+2,35%+13,5%=16%
Environ 16% des pins ont un diamètre inférieur à 120cm.
4 : On calcule le nombre de pins correspondant.
On calcule 16% de 500.
16% de 500=0,16×500=80
Environ 80 pins ont un diamètre inférieur à 120cm.
exercice 3
Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de μ=150cm et un écart-type de σ=30cm.
Une parcelle de la forêt contient 500 de ces pins.
Quel est environ le nombre de pins dont le diamètre du tronc est compris entre 120 et 180 centimètres ?
≈
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
pins

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