Loi de Bernoulli, moyenne et variance

alors dans la dernière vidéo on avait étudié un cas particulier d'une loi de bernoulli donc avec des valeurs précises 60% et 40% donc là on avait codé l'avis favorable par la valeur 1 et l'avis défavorable par la valeur 0 on avait calculé la moyenne et puis et la variance et puis les cartes y voilà alors ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est exactement la même chose mais dans le cas complètement général on va avoir un succès ce qu'on peut ici on aurait pu appeler l'avis favorable succès et l'avis défavorable un échec donc là on va se mettre dans le cas complètement général où on a un succès de probabilités paix est un échec de probabilités 1 - p alors du coup je vais représenter ça comme on l'a fait dans la vidéo précédente donc j'ai une variable aléatoire alors je vais représenter ça comme ça qui peut prendre les valeurs 0 ça c'est le cas d'un échec et la valeur 1 ça c'est le cas d'un succès donc on code un succès par la valeur 1 est un échec par la valeur zéro alors dans le cas général on a une proportion de succès qu'on appelle p voilà donc ça c'est la proportion p2 de succès et puis on a une proportion des chèques qui sera représentée comme ça et qui nécessairement vaut 1 - p puisque dans notre expérience la ja et que deux résultats possibles soit un succès soit un échec donc quand on additionne les deux possibilités bien forcément on doit retrouver l'ensemble des résultats possibles c'est à dire 100 % donc la somme de ces deux valeurs là doit faire 100 % ici si c'est 60% ben là ça va être sans moins 60 c'est à dire 40 % et ici c'est 70% là ça sera 30% forcément un est donc une autre manière de voir c'est que quand on fait p + 1 - p barça doit donner 1 c'est à dire 100 % voilà donc ça c'est vraiment le cas le plus général de ce qu'on appelle la loi de bernoulli la loi de bernoulli c'est le cas vraiment le plus général là on va faire exactement ce qu'on a fait dans la vidéo précédente c'est à dire que maintenant on va essayer de calculer la moyenne de cette distribution qui suit une loi de bernoulli alors ici pour né dans le cas discret et donc la moyenne bon c'est l'espérance mathématique était donc on peut la calculer comme la somme des valeurs possibles de la variable pondérée par leur probabilité donc ici on a d'abord la valeur zéro je vais écrire en blanc 0 pondérée par sa probabilité donc c'est zéro x 1 - p plus la valeur 1 ça c'est la deuxième valeur possible fois la probabilité pondérée par sa probabilité qui donc est p donc là on trouve ce qu'on avait vu dans la vidéo précédente exactement mais là dans le cas général ce terme la zéro x 1 - pesaro 0 donc il me reste simplement une fois p c'est à dire p donc finalement la moyenne de la loi de permis pas c'est tout simplement la proportion paix de succès donc là on à la moyenne qui est qui vaut paix que je peux placer quelque part ici entre 0 et 1 et c'est pas une des valeurs delà de la distribution par contre c'est effectivement la moyenne de la distribution alors maintenant je vais calculer la variance la variance donc sigma au carré alors cette variance c'est les les écarts par rapport à la moyenne élevée au carré pondéré par leur probabilité donc on va prendre d'abord l'écart de la valeur zéro par rapport à la moyenne donc ça c'est zéro - de paix qui est la moyenne ça c'est l'écart par rapport à la moyenne de la première valeur zéro doit élever sa au carré et ensuite je dois x la probabilité de la valeur zéro qu'est un mois p qui un mois p ensuite je fais la même chose avec la valeur 1 donc je vais commencer par calculer l'écart de la valeur 1 par rapport à la moyenne ça c'est un moins ppc la moyenne donc un mois pc l'écart de la valeur 1 par rapport à la moyenne en fait c'est cette distance qui est là hein je lève sa au carré et puis je dois multiplié sa part la probabilité de la valeur inquiets pe multiplie sa part p voilà alors là je vais faire quelques simplifications on va faire de l'algèbre - ici j'ai moins paix au carré 0 - p ça fait moins paie donc les mois p o car est ce qui fait p o car est donc je dois multiplié sa part 1 - p plus alors là j'ai un mois paie au carré fois paie donc ça le fait de réécrire un mois paie au carré x p alors là qu'est ce qu'on peut faire eh ben on peut remarquer qu'il ya des facteurs communs en fait ici ici gp x 1 - p x péage pourrait voir comme ça et ici j'ai un - p x p x 1 - paix en fait il ya un facteur commun qui serait payée x 1 - paie donc je vais factoriser p x 1 - p p soit 1 - p et il me reste alors je vais mettre des crochets ici me reste paix est ici va me rester un mois p + 1 - p voilà je ferme le crochet est donc là je peux faire le calcul qui attendent entre les crochets donc cp + 1 - p ça fait 1 en fait tous eu toute cette partie là ça c'est un donc finalement gp x 1 - p x 1 donc la variance c'est tout simplement p x 1 - p p x 1 - p donc finalement c'est on obtient quand même une formule assez simple pour la variance de la distribution de bernoulli pays fois un mois p la probabilité de succès fois la probabilité d'échec alors à partir de ça on peut évidemment très facilement calculer l'écart type l'écart type sigma et bien c'est tout simplement la racine carrée de la variance donc c'est la racine car ed p x 1 - p voilà et là on a calculé les trois paramètres essentiels de la principaux delà de la loi de bernoulli la moyenne qui est tout simplement la proportion de succès la variance qui est la proportion de succès fois la proportion des chèques et les cartes id qui est la racine carrée de la variance voilà alors on va quand même contrôlé que ses résultats fin ces formules là nous donne les mêmes résultats que ce qu'on avait trouvé dans le cas dans la vidéo précédente donc on avait pki est égal à 60 % ici est un - paie donc à 40 pour ça on avait trouvé que la moyenne c'était 60 % donc effectivement là première chose la première expression de la moyenne c'est bon on trouve le même résultat on trouve que c'est la probabilité de succès et puis la variance pas si je calcule donc il faut que je fasse le produit de la probabilité de succès par la probabilité d'échec donc ça serait 60 % x 40 % ce qui ferait exactement tu peux le faire la calculatrice a fait exactement 24 % 1 donc 0,24 donc c'est bien ce qu'on trouve ici et du coup évidemment on trouvera la même chose pour les quarts type puisque c'est la racine carrée de la variance tout simplement voilà j'espère que cette vidéo tout a semblé assez clair et puis on va continuer dans les prochaines à travailler avec cette loi de bernoulli