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Espérance mathématique dans le cas de la loi binomiale

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va faire le lien entre deux choses très importantes qu'on a vu dans les vidéos précédentes la première c'est on va parler d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale et puis la deuxième chose c'est que l'on va parler de l'espérance mathématique on avait introduit déjà 7 nous sur la l'espérance mathématique et on avait dit que c'était en quelque sorte une moyenne de la population 1 alors la différence avec la moyenne c'est que la moyenne on peut la calculer quand on a un terme un nombre de termes fini mais dans le cas d'une variable aléatoire puisque c'est en général une expérience qu'on peut renouveler une infinité de formes autant de fois qu'on veut on risque d'avoir une infinité terme donc on peut pas calculer la moyenne de la manière normale et donc ce qu'on faisait c'était calculé au lieu de calculer une somme de termes pondérée par leur effectif est divisé par le nombre de termes total on faisait on faisait une somme des valeurs possibles de la variable pondérée par leur probabilité voilà c'était comme ça qu'on avait défini la bla l'espérance mathématique d'une variable aléatoire alors là ce qu'on va faire c'est prendre une variable aléatoire qui suit une loi binomiale donc nous variable aléatoire grand x qui suit une loi binomiale donc deux paramètres n ep voilà alors la modélisation classique pour ça et général c'est de se dire que en main une expérience qu'on va renouveler n fois et que à chaque essai on a une probabilité paix de réussir cette expérience est donc une probabilité de 1 - p dollar à terre alors plus pour parler plus précisément la variable x en fait c'est le nombre de succès de succès de probabilités paix de probabilités paie donc ça c'est la probabilité d'un succès en essai un antenne et ces voix là donc c'est exactement ça on avait vu ça avec la pièce de monnaie par exemple on peut lancer une pièce de monnaie une fois est considéré que le succès c'est d'obtenir face donc on peut regarder le nombre de succès qu'on a eu non c'est à dire le nombre de fois on a eu face dans nos haines et c'est la probabilité dans ce cas là si la pièce est pas truqué ça sera de 0,5 alors je vais donner tout de suite la réponse à notre vidéo c'est à dire je vais tout de suite donné la l'espérance mathématique d'une variable x qui suit une loi binomiale de paramètres n épais et bien cette espérance mathématiques c'est assez intuitif en fait c n x p voilà c'est le nombre le nombre d'essais totale avec la probabilité de chaque succès alors bon pour fixer les idées je vais quand même donner un petit exemple on va se dire que on as déjà fait cet exemple la siic c'est le nombre de penalty marqué de penalty marqué en 10 essais en 10 essais avec une probabilité de dison 40 % de succès à chaque fois un et bien dans ce cas là la preuve l espérance de cette variable la l'espérance de la barre est variable x que je viens de définir et bien ça va être le nombre d'essai c'est à dire dix fois la probabilité de chaque succès donc fois 0.4 ici 40 % c'est-à-dire 4 ça veut dire que en moyenne sur mes 10 essais je peux espérer en marque marqué quatre buts alors bon maintenant on va rentrer dans quelque chose d'un peu plus technique c'est pas très sains ce qui ce dont il faut se souvenir c'est sain c'est l'espérance de la variable aléatoire x qui suit une loi binomiale de paramètres n est pas c'est tout simplement une fois p 1 c c'est ça qu'il faut que tu re tiennent maintenant on va travailler un peu pour arriver seuil est de démontrer pourquoi c'est effectivement comme ça donc on ça va être un peu plus technique et en particulier ce qui est intéressant c'est que on va manipuler pas mal les symboles de sommation avec la lettre sigma là qu'on a déjà vu plusieurs fois alors bon je vais commencer par ce que je sais c'est à dire que on a déjà fait dans les autres vidéos on avait calculé la probabilité que la variable x prennent une valeur 40 c'est à dire en fait mon cas ici est plus petit que n ont fait notre notre expérience n fois et on va regarder la probabilité que d'avoir obtenu qu'à fois un succès dans nos haines et c'est alors cette probabilité on l'avait calculé on va le refaire ici assez rapidement on avait dit que d'abord il fallait regarder de combien de manière différente on pouvait réaliser qu à succès parmi les haines et c'est donc ça on avait vu que c'était le nombre de combinaisons de cas éléments parmi haine et ensuite on avait calculé la probabilité de chacune 10 de ces issues où on n'avait qu'à succès alors avoir qu'un succès c'est si on a un succès c'est une probabilité paix si on a deux succès comme tous les essais sont indépendants les uns des autres si on a deux succès on a une probabilité de paix pour le premier x p pour le deuxième donc peu au carré sur la trois succès on a une probabilité de paix au cube et ainsi de suite donc si on n'a qu'à succès on a une probabilité de paix fois capé puissance qu'a pardon et puis ensuite il faut compléter c'est à dire complété par la probabilité de rater les tous les autres et c'est donc la probabilité de rater déjà c'est le contraire rater l'événement j'ai raté mon expérience c'est le contraire de l'événement j'ai réussi mon expérience donc la probabilité de raté c'est un - p voilà et puis donc ça on a raté tous les autres et c'est si on a ces cas être cas et c'est parmi les haines en fait il en reste n - k donc il faut élever la probabilité de rater à la puissance n - k voilà alors ça c'est la probabilité on l'avait vu dans les autres dans d'autres vidéos c'est la probabilité de réussir quatre succès d'avoir quatre succès en essais chaque succès ayant une probabilité paix voilà alors maintenant on va revenir à la définition de l'espérance mathématique l'espérance mathématique on avait dit que c'était gelé dit tout à l'heure c'est la somme des valeurs de la variable pondérée par la probabilité de chaque valeur donc c'est en fait une somme alors je vais l'écrire comme ça la somme qui va pour k qui va de zéro jusqu'à toutes les variables pose toutes les valeurs possibles de notre variable c'est soit je rêve je rate tous les to les unes tous les essais donc j'ai zéro succès soit je peux avoir un succès soit deux succès trois succès quatre succès cinq succès jusqu'à n succès puisque je fais est née c'est donc j'ai une va j'ai une somme finalement qui va avoir rennes plus un terme ça va partir de zéro et ça va aller jusqu'à n et puis ensuite je vais me prendre la valeur de la variable donc qu'à x la probabilité de cette valve de cette variable donc la probabilité que x soit égal à cas alors ça je vais pouvoir le réécrire remplaçant cet élément là la probabilité de quelques hics soit égale accapare ça son expression ici donc c'est la somme qui pour k qui va de zéro jusqu'à n 2 cas fois alors le nombre de combinaisons de cas éléments parmi l x p puissance qu'a x 1 - p puissance n - k voilà alors bon on va manipuler cette expression la première chose qu'on peut voir c'est que pour qu'un gala 0 en fait on a ici 0 fois quelque chose donc ça le premier terme en fait pour qu à égal à zéro va être nue donc finalement on peut l'ignorer alors je vais réécrire quand même pour que ce soit plus clair 7 sept cette note à cette écriture là ça veut dire que je prends d'abord qu'à égal à zéro alors j'ai zéro fois le nombre de combinaisons 2-0 éléments parmi n x p puissance 0 fois un mois p puissance n - 0 + ensuite j'ajoute le terme le ce terme là mais avec à égal à 1 donc un fois le nom le nombre de combinaisons de un élément parmi n x p puissance 1 x 1 - p puissance n - un plus le terme de rang 2 c'est-à-dire pour pas égale à deux donc c'est deux fois le nombre de combinaisons de deux éléments parmi elles fois paix au carré x 1 - p puissance n - de plus et ainsi de suite en fait j'ajoute tous les termes à chaque fois je change j'augmente la valeur de cas de 1 et le dernier terme c'est pourquoi égal à haisnes donc cn fois le nombre de combinaisons de haine éléments parmi n x p puissance n x 1 - p puissance n moins zen voilà cher un peu de place du coup ce que je disais tout à l'heure c'est que ce terme si si on a zéro fois quelque chose alors quelle que soit la valeur de ces deux se produit ici de ces trois termes finalement le produit total sera nulle puisque on multiplie par zéro donc ça ce terme là on peut l'ignorer et du coup je vais pouvoir réécrire mon espérance mathématiques en ignorant ce terme là c'est que je vais leur écrire comme ça mais en commençant par le terme pour k est égal à 1 donc je vais avoir une somme pour k qui va cette fois-ci de 1 jusqu'à n puisqu'on a supprimé ignorer ce terme là qu'est nul de cas fois le nombre de combinaisons de cas éléments parmi n x p puissance qu'a x 1 - p puissance n - k voilà alors bon là la seule chose qui me vient l'idée c'est d'aller exprimer ce nombre de combinaisons de cas éléments parmi n avec la formule qu'on connaît alors je vais le faire donc ça va être la somme pour k qui va de 1 jusqu'à n 2 k alors ici multiplier ce nombre là c'est in fact auriel / k factorielle fois n moins qu'à factorielle ça on en a parlé dans de nombreuses vidéos ensuite je vais x p puissance 4 x 1 - p puissance n - k voilà alors maintenant ce que je peux faire c'est simplifier ce terme là hein parce que ici gk / qu'un factorielle est en fait si j'ai qu'un factorielle si je regarde ce que c'est ces cas fois cas moins 1 fois cas moins deux fois et ainsi de suite jusqu'à x 2 x 1 est en fait cette partie là ici qu'à moins 1 fois cac -2 jusqu'à x 2 x 1 ça c'est qu'à moins un factorielle donc finalement quand je fais qu'à / k factorielle en fait je peux simplifiée par car donc je vais réécrire alors je vais un petit peu vite si tu si tu as des doutes tu peux mettre la vidéo sur pause et reprendre les choses un peu plus lentement par toi même en tout cas là je vais réécrire cette somme là mais en faisant cette simplification en disant que cas / qu'un factorielle ben c'est un sûr qu'à moins un factorielle donc vous devrez écrire c'est la somme pour k qui va de 1 jusqu'à n 2 alors du coup j'ai au numérateur gn factorielle fois ici cassure cas factorielle il va me rester cac -1 factorielle d'après ce que je viens de voir ici fois n moins qu'à factorielle et ensuite je vais x p puissance qu'a x 1 - p puissance n - k voilà alors bon comme ce qu'on veut montrer nous c'est que cette espérance mathématiques c'est égal à n x p en fait on va ici dans cette expression là je vais essayer de factoriser n p le produit npa donc je vais réécrire ici ce qu'on est en train de faire pour pas se tromper alors donc je vais j'ai dit que j'allais factoriser n x p alors je vais le mettre en facteur ici n x p et puis ici je verrai écrire mon symbole de sommation pour la somme qui va de cas égal à 1 jusqu'à n alors ici j'ai pas n factorielle puisque j'ai factoriser end au coeur en fait il va me rester n -1 factorielle ici donc écrit rennes - st factorielle or ça si tu veux t'en convaincre c'est exactement la même chose que tout à l'heure quand j'écris n factorielle c'est en fait c n x n moins 1 fois n moins deux fois ainsi de suite jusqu'à foix ii x 1 donc ça cette partie là cn - 1 factorielle donc finalement n factorielle c'est égal à n x n -1 factorielle du coup quand le factories n le reste est de -1 factorielle ensuite donc je veux diviser sa part qu à -1 factorielle là rien ne change et puis ici n moins qu'à factorielle ensuite je verrai écrire ça mais simplement j'ai factoriser paie donc là j'avais puissance cas ici il me reste peu puissants ce cas - 1 puisque pays x p puissance cac -1 ça fait bien p puissance cas et ensuite je multiplie pas 1 - p puissance n - k voilà alors là on a avancé un petit peu le truc c'est que ça a l'air quand même très compliqué puisque nous ce qu'on voulait c'était montrer que eux 2 x était égal à npa n est une fois paie donc il faut maintenant qu'on arrive à montrer que toute cette somme qui est ici cette somme là elle est égale à 1 et ça ça a pas l'air si simple que ça alors pour ça on aille à des techniques plusieurs types de techniques qu'on utilise de temps en temps et là on va en utiliser une qui est assez fréquente et qui va être là qu'il va bien marcher on va faire des changements de variables en fait on va noter différemment nos variable alors je vais commencer par dire que je à part prendre donner un nom à une variable que je vais appeler à et qui va être en fête et gala cac -1 donc ça va être égal à ce terme si ce qui est ici et puis je vais prendre une autre variable qui va être b je vais dire que ce bcm - 1 donc c'est ce terme qui est là voilà alors du coup je peux exprimer ici donc je vais arriver à exprimer ce terme là et ce terme là en fonction d'eux a et b et puis maintenant je vais essayer d'exprimer ce terme là aussi en fonction d'eux a et b ça sera assez pratique parce que là du coup si j'exprime ça en fonction d'eux a et b ça aussi en fonction d'eux a et b et ça en fonction de là est bel et bien j'aurai toute ma somme va être exprimée en fonction de ces deux nouvelles variables a et b alors comment est ce que je peux faire pour exprimer ce - cas en fonction d'eux a hébergé finalement je peux le sida est égal à camoin je peux dire que cas ces gars-là à +1 et puis là de la même manière je peux dire que n c'est égal à b + 1 donc finalement je peux écrire que n - kbc b + 1 - k donc moins à + 1 dhr - à - 1 quand j'enlève les parenthèses voilà donc il ya + 1 - 1 qui simplifie et donc finalement je trouve que l moins casse et b - ah voilà alors maintenant la tâche ça va être de réécrire cette somme là en fonction de nos variable a et b de nouvelles variables a et b donc je vais le faire je vais écrire eux 2 x alors c'est égal np np et puis maintenant je vais prendre alors la somme alors sicav commence à un camp cas est égal à 1 à est égal à 1 - 1 donc à est égal à zéro donc je vais prendre la somme qui va pourra qui va de zéro jusqu'à n alors qu'en cas est égal à n a va être égal à n - 1 mais 2 - 1 on a vu que c'était bon et on l'a appelée b donc en fait la somme pour kai qui va de 1 jusqu'à n maintenant ça devient la somme qui pourra qui va de zéro jusqu'à b voilà et puis ensuite je vais réécrire à l'intérieur de tous les tous les termes en fonction de nos de nos variable a et b dont ken -1 factorielle cb factorielle / cac -1 factorielle cac -1 factorielle ca factorielle un factorielle et puis on s'épuise ce terme la haine - cas factorielle cb - à b - à factorielle ensuite j'ai paix puisse en ce cas - 1 p puissance qu à moins-12 c'est tout simplement des puissances à puisque cannoise est égal à 1 x 1 - p puissance elle - k n - car n'a dit que c'était b - a donc finalement j'ai je multiplie pas un moins des puissances b - ah ben voilà alors on a pas mal avancé je vais continuer un petit peu encore une fois si je vais la jouer un petit peu vite parce que c'est long et j'ai pas beaucoup de temps mais tu peux t'arrêter à n'importe quel moment en reprendre les choses plus doucement et puis de remettre en route après alors donc là j'ai toujours ce n x p et puis ici je vais réécrire la somme mais ce que je peux voir tout de suite c'est que ce terme là je vais donc entouré en orange ce terme l'abbé factorielle sur un factorielle x b - 1 factorielle mais en fait c'est le nombre de combinaisons de à éléments parmi b ça c'est déjà pas mal et puis j'ai ensuite paix puissance à x 1 - p puissance des moins ça voilà on a quand même là beaucoup simplifié notre expression et ce qui est très intéressant c'est que l'add on peut voir ça de plusieurs manières mais on peut déjà se dire que ça c'est la probabilité alors je peux l'écrire comme ça np fois la somme ici pourra qui va de zéro jusqu'à b ce qui est là à l'intérieur c'est la probabilité qu'une variable y qui suit une loi binomiale soit égal ah ah voilà oui y/y c'est une loi binomiale une loi binomiale de paramètres b et p1 puisque dans ce cas là on a vu que la probabilité de delaval que la variable y soit égal à aa et bien ça va être le nombre de combinaisons de l iman parmi b et x p puissance à cl après la probabilité d'un succès cp x 1 - p puissance b - on a vu que c'était sa l'expression de la probabilité que la variable y soit égal à a donc si on si on regarde ça tel que c'est en fait cette partie là c'est la somme de toutes les possibilités en fait puisque la variable y elle peut prendre la valeur zéro elle peut prendre la valeur un peu prendre la valeur de l peut prendre la valeur 3 et peut prendre à leurs quatre jusqu'à la valeur b donc finalement là on fait la somme de les probabilités donc on en a on a en fait l'événement certains donc cette somme là elle est égale à 1 je peux voir ça en faisant un petit graphique ici si je fais ce graphique là pour la valeur zéro je vais avoir un gros bâton comme ça pour la valeur 1 je vais avoir un bâton comme ça pour la valeur 2 je vais avoir un bateau comme ça pour la valeur 3 je vais avoir un bâton comme ça et ainsi de suite en fait je vais avoir une sorte de courbe en cloche comme ça est ce que je fais quand je fais cette somme là et bien je fais je j'additionne tous les to les rectangles et en fait je recouvre toutes les possibilités donc finalement cette surface là la surface que je calcule en additionnant l'air de tous ces rectangles bien ça fait forcément un donc ça cette partie là c'est égal à alors une autre façon de voir c'est que à partir de salles à cette expression là on peut reconnaître la formule du binôme de newton et en fait ça c'est rien d'autre que alors je vais mettre décroché plus tôt p + 1 - paie à l'appui élevé à la puissance b si on développe cette expression là on peut l'exprimer comme ça avec la formule du binôme de newton et donc bassa cp + 1 - paie donc c'est un puissance b donc c'est un voilà est donc finalement voilà serge peu crpc l'on est un petit peu laborieux peut-être sur le plan du calcul mais finalement on arrive effectivement à démontrer ce qu'on voulait c'est à dire que l'espérance d'une variable aléatoire x qui suit une loi binomiale de paramètres n épais et bien cm x p voilà je t'engage à reprendre cette démonstration à tête reposée plus calmement que je les fais ici