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Nombre de penaltys réussis sur 6 essais

Transcription de la vidéo

alors on va continuer notre travail sur la loi binomiale et on va prendre un exemple un petit peu différent de celui qu'on a vu jusqu'à présent le cas de la pièce de monnaie qu'on lance plusieurs fois de suite là on va jouer au foot et on va se dire qu'on va qu'on doit lens qu'on doit tirer 6 penaltys de suite si penalty voilà et puis on pourrait supposer que c'est moi qui tire le penalty donc je suis pas très très fort et je réussis mon mais penalty dans 30% des cas donc je vais noter la probabilité du succès je vais la notte paix et ça va être 30% voilà donc ça ça veut dire aussi que j'ai soit dans 70% des cas je rate je rate le penalty donc ça je vais noter comme ça q c'est un - p et c'est donc 70 % c'est la probabilité de rater un tir alors maintenant quand je fais mes penalty jeu chaque penalty et indépendant de l'autre c'est pas parce que j'ai réussi un penalty que je vais rater le suivant ou que je vais le réussir les touts les penalties sont indépendants les uns des autres alors là je vais définir une variable aléatoire grand x qui va être le nombre de buts le nombre de buts marqués le nombre de buts marqués alors on va étudier un petit peu cette cette variable et on va commencer par exemple par calculer la probabilité que cette variable soit égal à zéro que la variable xo est égal à zéro donc x égal à zéro ça veut dire que je ne marque aucun butin j'ai raté les six penalty donc il n'y a qu'une seule façon de le faire il faut que je rate le premier jarrett le deuxième je rate le troisième le quatrième aussi le cinquième et le sixième est comme chacun des tirs et est indépendant des autres l'a finalement la probabilité que x ou est égal à zéro ça va être 0,7 fois 0,7 fois 0.7 donc assez le premier tir le deuxième tir le troisième tir fois 0,7 pour le quatrième tir fois 0,27 pour le 5e et fois 0,7 pour le 6e j'ai une probabilité de 0,7 de rater le premier une probabilité de 0,7 de rater le deuxième et ainsi de suite pour chaque lancer c'est pareil donc finalement ça la probabilité que x ou est égal à zéro on peut le noter comme ça c'est zéro cette puissance 6 alors maintenant on va continuer on va calculer la probabilité que grand x soit égal à 1 alors là j'ai plusieurs façons de le faire je dois réussir un et en rater cinq donc je peux avoir une issue de ce genre laruns un succès un échec un échec un échec un échec un échec un deux trois quatre cinq ans ont touché les biens mais si mais si penalty j'ai réussi le premier raté tous les cinq autres pourraient aussi avoir d'abord un échec et puis un succès et puis un échec et puis un échec et puis un échec et puis un échec en fait on voit bien qu'il ya il ya six façons de le faire il ya six façons d'avoir un seul succès c'est soit je rage et réussit le premier soit je réussi le 2e saut je réussis le troisième soit j'ai réussi le 5e soit je réussi le 6e donc j'ai six façons de le faire et puis chacune de ces façons on peut calculer facilement sa probabilité puisque là la probabilité de 7,2 cette issue là ça va être alors je rage réussi le premier don classe et 0.3 et ensuite je rate les cinq autres donc c'est 0,7 pour le deuxième 0,7 pour le troisième 07 pour le 4ème 0,7 pour le 5e et 0.7 pour le dernier donc ça je vais pouvoir l'écrire comme 0,3 fois 0,7 puissance 5 voilà et 7,7 issue là et toutes les autres sont exactement la même probabilité puisque les l'ordre ne compte pas là dedans puisque en fait on a raté cinq penaltys et réussit un donc on a six façons d'obtenir ce nombre la ddt de marquer un seul but parmi les six donc la probabilité ici ça va être six fois ce que ce nombre là la probabilité d'une de chacune des occurrences donc si soit 0,3 fois 0,7 puissance 5 voilà alors à ce stade ce qu'on va faire c'est essayer de retrouver ce qu'on a vu avant sur les loi binomiale donc essayer de faire apparaître les coefficients binôme you 1 ici quand on veut que la grippe soit égal à zéro on pourrait se demander qu'est ce que c'est que choisir 0 éléments parmi n donc on peut ici ça va être 0 par messi ce qu'est ce que c'est que ce terme là alors c'est si factorielle sur aisne alors 6 - 0 donc ça fait 6 factorielle x 0 factorielle alors l'a6 factorielle sur cire 6 factorielle ça fait 1 et il faudrait qu'on sache ce que c'est que 0 factorielle or ça on l'a pas beaucoup vu dans les vidéos précédentes mais c'est une convention 0 factorielle on le définit par convention comme étant égal à 1 voilà ça c'est une convention qu'on choisit de prendre pour avoir une continuité dans l'écriture de ces nombres de ses coefficients me know you donc ici nombre de combinaisons 2-0 éléments parmi 6 et bien il s'éteint dès qu'une seule façon donc là on a effectivement la probabilité de iconique soit égal à zéro c'est bien les combinaisons 2-0 éléments parmi 6 x 0 cette puissance 6 ici on va le faire aussi quand on va choisir un élément parmi six ans va regarder le nombre de combinaisons de nm1 éléments parmi 6 et bien on a 6 factorielle sur 6 - 1 factorielle donc 5 factorielle fois un factorielle alors un factorielle ça fait un don qui si on a 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 5 x 4 x 3 x 2 x inquiets 5 factorielle donc là on voit bien que tout ça se simplifient et donc il reste six donc là aussi on arrive à exprimer la probabilité que x soit égal à 1 avec les coefficients binôme you alors tout à l'heure on l'avait fait différemment en résonance et même mieux je pense de faire comme ça il vaut mieux raisonner que d'appliquer des formules sans réfléchir donc ce qu'on avait vu ce qu'il y avait six façons d'avoir x égal à 1 donc c'était de ça que venez ceci ce qui en fait et 7 ce coefficient binomiale ici et puis ensuite on avait multiplié par 0 3 parce que c'était la probabilité d'avoir un succès et puis par 07 puissante cinq parce que c'était la probabilité d'avoir cinq échecs donc c'était pour ça qu'on avait finalement obtenu cette expression la six fois 0,3 fois 0.7 puissante 5 mais voilà ce que je voulais faire apparaître c'était que ce 6 c'était effectivement un coefficient binomiale de même que le 1 qui était que j'ai pas noté ici mais qui est ici qui est également un coefficient binomiale alors on continue on va calculer maintenant la probabilité que grant x soit égal à 2 tu vas voir que petit à petit c'est ça c'est sûr que tu vas finir par apparaître complètement à l'aise avec ça alors là x égal 2 ça veut dire que j'ai réussi deux penaltys parmi les six donc là il ya plusieurs façons de le faire comme tout à l'heure j'ai je vais essayer d'or je vais essayé de calculer la probabilité d'une manière d'avoir réussi deux penaltys parmi les 6 alors que d'abord raté le premier at-elle deuxième raté le troisième raté le quatrième et puis réussir les deux derniers voilà ça c'est une manière de faire je peux calculer la probabilité de cette issue là alors la probabilité de cette issue l'a donc le premier échec c'est 0.7 le deuxième échec c'est 0.7 aussi le troisième échec c'est 0.7 aussi le quatrième échec ce 07 et puis le premier succès donc c'est le cinquième aux cinq qui apparaît au cinquième tir et bien c'est 0.3 et puis 0,3 aussi pour le dernier tir que j'ai réussi voilà donc ça c'est la probabilité d'une issue de ce genre là je vais écrire un peu mieux c'est du coup 0,7 puissance 1 2 3 4 puisqu'il ya quatre échecs x 0,3 au carré puisque il y a deux succès 2 buts marqués alors ça c'est la probabilité d'une issue de ce genre là maintenant il faut qu'on arrive à déterminer le nombre d'issues où on a effectivement deux succès de deux buts marqués parmi les 6 penaltys en fait ce qu'il ya c'est que j'ai six emplacements il faut que l'on choisisse deux parmi ces 6 je peux avoir les deux premiers par exemple et puis quatre échecs ensuite ou alors je peux marquer un but au premier penalty et puis au troisième et raté tous les autres enfin voila je dois essentiellement choisir deux emplacements parmi les six donc ça on va l'écrire de cette manière là c'est le coefficient binomiale le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 6 et on sait le calcul et c'est 6 factorielle sur 6 - 2 factorielle ça fait 4 factorielle x 2 factorielle alors ça je vais faire 6 factorielle donc ces 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x alors / pardon en dessous g4 factorielle ses 4 x 3 x 2 x 1 et puis multiplier encore par deux factorielle qui est 2 fois 1 voilà alors là je peut diviser jeu peut simplifier tout ça déjà 4 x 3 x 2 x 1 se simplifier avec ça et du coup il me reste six fois 5 / 2 6 x 5 / 2 ça fait trente divisé par deux ça fait quinze donc finalement g15 issue où je j'ai marqué deux buts parmi les six donc variable est égal à 2 alix est égal à 2 et chacune de ces issues à une probabilité de 0.7 puissance quatre fois 0,3 au carré donc là je peux dire que la probabilité que x est égal soit égal à 2 c 15 fois 0,3 alors je vais l'écrire comme ça 0.3 au carré fois 0,7 puissance quatre là j'ai juste fait passer les succès avant avant les échecs 1 voilà c'est tout ou alors ça je peux même l'écrire pour que ce soit encore plus claire je vais l'écrire comme ça hein c'est là les combinaisons de deux éléments parmi six fois 0.3 au carré fois 0.7 puissance 4 voilà alors on va aller un petit peu plus vite donc je vais calcul heures je vais monter un peu la probabilité maintenant que x soit égal à 3 donc ça veut dire qu'on va marquer trois buts par mi les 6 alors on va faire le même raisonnement il faut qu'on choisisse trois penaltys qui vont être marqués donc là c'est le nombre de combinaisons de trois éléments parmi 6 donc ça ça représente le nombre de manière de réussir trois penaltys parmi 6 et puis maintenant chaque chaque occurrence chaque fois où on a réussi trois penaltys parmi parmi les six eh bien on va calculer la probabilité d'une occurrence de ce genre là donc il faut avoir réussi alors je fais multiplier il faut avoir réussi trois penaltys donc chaque fois qu'on réussit un penalty on a une probabilité de 0,3 donc la probabilité de réussir trois pénaltys et 0,3 ^ 3 et puis il faut avoir raté évidemment les trois autres donc c'est fois 0,7 puissance 3 ça ce terme là c'est j'ai réussi trois penaltys et ce terme-là sais j'ai raté trois penaltys donc là effectivement quand on regarde uniquement cette partie là c'est la probabilité d'une d'une façon de réussir trois penaltys d'en rater trois autres voilà alors je vais faire ce calcul calcul au moins du coefficient binomiale qui est ici du nombre de combinaisons donc les combinaisons de trois éléments parmi 6 et je vais faire à côté les combinaisons de trois éléments parmi alors ces six factorielle sur 6 - 3 factorielle ça fait 3 factorielle x 3 factorielle alors ça fait 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 3 factorielle ces 3 x 2 x 1 x 3 factorielle encore donc x 3 x 2 x 1 donc là j'ai ces trois fois deux fois qu'ils se simplifient et puis j'ai ici trois fois deux ça fait 6 qui se simplifient avec ceux ci ce qui est là donc finalement ça me donne 5 x 4 / 1 ça fait vingt donc j'ai vingt possibles 20 façon de réussir trois penaltys parmi les six donc finalement la probabilité que x ou est égal à 3 c'est 20 fois 0,3 puissance trois fois 0.7 puissance 3 voilà alors maintenant la probabilité que x soit égal à 4 donc je réussis quatre penaltys sur les six je marque quatre buts donc il faut compter 2 combien de façon différente je peux que faire quatre buts marqués 4 buts parmi les six avec les 6 penaltys donc là je vais choisir en fait quatre penaltys sur les six donc choisi quatre parmi 6 c'est le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 6 et puis je vais maintenant x la probabilité de réussir quatre 4 penaltys donc c'est 0.3 à chaque fois que je marque un but c'est 0,3 et donc je vais avoir il faut que jean-marc 4 donc j'ai une probabilité de 0,03 puissance 4 et il faut que je rate les deux restants donc c'est une probabilité de 0.7 au carré voilà alors répète cette partie là ici c'est la probabilité de d'une façon de réussir quatre penaltys d'en rater deux autres et ça c'est le nombre de façons qu'ont possible de réussir quatre penaltys parmi six sans tenir compte de l'ordre dans lequel on le fait alors là du coup je vais faire comme tout à l'heure je vais calculer ce nombre de combinaisons de quatre éléments parmi six donc ces six factorielle sur 6 - 4 ça fait six mois quatre factorielle ça fait 2 factorielle / 4 factorielle multiplier encore par quatre factorielle donc j'ai 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 c'est 1,4 ici / 2 factorielle donc ça c'est 2 fois 1 x 4 factorielle ses 4 x 3 x 2 x 1 donc j'ai ces termes là qu'ils se simplifient et donc j'ai 6 x 5 / de encore ce qui fait 15-30 divisé par deux donc là j'ai encore 15 possibilités et chacune de ses possibilités a une probabilité de 0.3 puissance quatre fois 0.7 puissance 2 voilà je continue la probabilité que x soit égale à 5 donc là je réussis 5 penaltys parmi les six donc je vais choisir lesquels il faut que je choisisse 5 penaltys parmi les six donc je vais prendre le nombre de combinaisons de cinq éléments parmi 6 ensuite je vais trouver la probabilité d'un événement où j'ai réussi cinq penaltys et raté le sien un sixième 1/6 j'ai bien dit par le 6e donc ça ça me fait il faut que je réussisse la probabilité de réussir cinq penaltys à chaque fois c'est 0,3 donc il faut que j'aie 0,3 puis 105 et je rate un sixième donc ça c'est 0.7 puissance 1 voilà alors là je vais calculer le nombre de combinaisons de cinq éléments parmi six donc ça fait 6 factorielle sur six - 6 - 5 ça fait 1 factorielle x 5 factorielle donc ça ça fait bon on peut aller un peu vite 1,6 factorielle c'est 6 x 5 factorielle on va l'écrire comme ça est divisé par 5 factorielle donc des cinq factorielle se simplifient tu peux détailler comme on a fait tout à l'heure mais là je fais un petit peu plus vite donc ça me fait six possibilités donc là la probabilité que x ou est égal à 5 et bien c'est six fois 0,3 puissante cinq fois 0,7 puissance 10.7 alors je fais juste une petite remarque un ici quand on a calculé le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi six en fait ça revenait exactement à faire le même calcul que le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 6 est-ce que je les fais ici parce que quand tu regardes ici on a six factorielle / 2 factorielle x 4 factorielle alors que là on avait juste interverti les deux les deux termes du dénominateur donc ces deux nombre de combinaisons sont les mêmes puis on peut faire exactement la même la même remarque avec ce coefficient là et celui qu'on avait calculé ici la manière de choisir un élément parmi six c'est exactement le même nombre que la manière dont le nombre de manière de choisir cinq éléments parmi 600 mots justes interverti les termes du dénominateur alors maintenant on va calculer le dernier qui est la probabilité que la grande la variable grand tic sont égales à six donc ça c'est je réussis tous les penaltys donc évidemment qu'une seule façon de le faire il faut réussir tout penalty mais on peut quand même l'écrire de cette manière là c'est la manière de il faut que je choisisse si penalty réussi parmi les six donc choisi si les éléments parmi 6 et puis ensuite bah je vais réussir si penalty donc c'est 0.3 puissance 6 et en rater aucun donc ça va être 030 points cette puissance 0 pourrait décrire comme ça alors tu peux calculer ce 6 ce nombre de combinaisons de six éléments parmi 6 et tu verras que tu te retrouveras exactement dans le même cas que ce qu'on a vu ici avait donc il faudra à savoir ce que veut dire zéro factorielle met donc là rien que en raisonnant on peut savoir que finalement c'est 0.3 puissante 6 puisque bien qu'une seule façon de rêve d'avoir réussi tous les 6 penaltys voilà on va s'arrêter là parce que c'est un petit peu long dans la prochaine vidéo on va représenter cette loi de probabilité par un histogramme