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Résoudre une équation de la forme a^f(x)=b^g(x) dans des cas simples

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va s'entraîner à résoudre des équations exponentielle c'est à dire des équations dans lesquels interviennent des fonctions exponentielles comme celle ci voilà alors je vais on va commencer par celle ci 26 élevé à la puissance ne fixe plus 5 égal à 1 donc le but c'est de trouver la valeur de x pour laquelle cette relation-là est vrai alors mais la vidéo sur pause et essayent de résoudre toi-même cette équation alors pour commencer on va se rappeler une chose vraiment essentiel ici c'est que si je prends un nombre n'importe lequel donc par exemple 26 et que je l'élève à la puissance 0 et bien ce que j'obtiens c'est dans 26 élevé à la puissance 0 est égal à 1 ça c'est vrai en fait pour n'importe quel nombre c'est à dire que quand je prends un jour et que je l'élève à la puissance 0 j'obtiens toujours un et en fait si on a un nombre différent de 1 et qu'on veut l'élever une certaine puissance pour obtenir un la seule puissance possible c'est zéro donc ça veut dire que cette équation là elle va être vérifié si et seulement si l'exposant ici est égal à zéro donc si et seulement si ne fixe plus 5 est égal à zéro donc ne fixe plus 5 est égal à zéro ça veut dire que 9 x est égal à moins 5 et puis ensuite on divise par 9 des deux côtés et on trouve que x doit être égale à -5 ne vienne alors on va essayer de résoudre une autre équation va essayer de faire quelque chose d'un petit peu plus compliqué un petit peu plus intéressant donc on va dire par exemple deux puissances 3x +5 égal à 64 puissance x - septe alors mais la vidéo sur pause et c'est de ton côté puis ensuite on verra là on verra ça ensemble là tu es tenter de te dire que si ces deux nombres de la sont égaux ça veut dire que leurs exposants sont égaux et alors ça en fait c'est ça marche pas du tout comme ça puisque ici les deux nombres qu'on élève à une certaine puissance ne sont pas les mêmes les puissances de chaque côté du cygne et gagnent ne sont pas de la même base ici on a une base de est hélas une base 64 donc on peut pas dire que les exposants doivent être égaux mais l'idée est quand même assez bonne d'essayer de d'égaliser les deux exposants mais pour faire ça il faut absolument que les deux nombres que les deux bases soient les mêmes donc il faudrait qu'on arrive à exprimer les deux membres comme le même nombre est élevé à une certaine puissance alors ici on a un petit peu de chance parce que 64 je vais pouvoir l'exprimer comme une puissance de 2 mais puisque 64 ces 8 x 8 8 x 8 et puis 8 ces deux puissances 3 donc finalement 64 ces deux puissances trois fois deux puissances 3 et ça ça fait deux puissances 6 puisqu'ici on peut additionner les exposants trois plus trois ça fait 6 donc voilà 64 ces deux puissances 6 là je les fais en décomposant ont commencé par huit par 8 parce que c'était plus facile pour moi mais j'aurais pu trouver ce résultat la demande d'une autre manière c'est pas du tout important ce qui est important c'est que du coup on va pouvoir réécrire notre équation comme ça alors pour le membre de gauche j'ai rien changé donc je vais écrire de puissance 3 x + 5 et aux membres de droite au lieu d'écrire 64 puissant 6.7 je vais écrire je vais remplacer ce 64 par deux puissances 6 donc ce que je vais avoir ces deux élevé à la puissance 6 le taux élevé à la puissance x - cette voie là alors ici on peut appliquer une autre propriété de l'aide des puissances des exposants c'est que quand j'ai à élever à la puissance b et que j'élève tout ça à la puissance c est en fait ça revient à prendre à et à l'élever à la puissance le produit des deux exposants donc b fouace et voilà ça c'est une autre propriété que tu connais certainement donc je vais m'en servir et je vais pouvoir réécrire l'équation comme ça membre de gauche je ne change rien ces deux puissances 3,6 +5 et ça doit être égale à deux puissances le produit de 6 paris xe - 7 je vais prendre je vais garder je vais tout écrire en jaune le produit de 6 x 6 - 7 c'est à dire que j'écris comme ça à 6 x x - 7 donc en fait je peux même faire le développement donc je vais avoir 6 x x - 6 x 7 6 x x moins six fois celle ci possède ça fait quarante deux là j'ai uniquement fait le produit de six fois par x -7 et je les développer et là maintenant j'ai une équation qui est beaucoup plus pratique à manier puisque j'ai un nombre élevé à une certaine puissance qui est égal à ce même nombre élevé à une autre puissance et du coup pour que le membre de gauche soit égal aux membres de droite et bien à ce moment là il faut que les exposants soit égaux donc il faut que 3 x + 5 soit égale à 6 x - 7 - 42 pardon alors ce qui est bien c'est que du coup je me retrouve avec une équation linéaire simple que je sais résoudre celle-ci 3x +5 égale 6 x - 42 on va la résoudre je vais mettre tous les x de ce côté ci haut à droite du signe égal puisque l'âge et 6 x qui est plus grand que 3 x donc comme ça j'aurai un nombre de 1 nombre positif de x alors ça va me donner à la droite du signe égal je vais avoir 6 x - 3 x et puis à gauche du signe égal je vais avoir je vais mettre tous les nombres 100 x donc je vais avoir 5 + 42 alors 5 + 42 ça fait 47 et ça c'est égal à 6 x 3 x c'est-à-dire 3 x est donc finalement on trouve que la solution de cette équation est bien cx égale 47 divisée par 3 oubliée je te laisse le faire c'est que tu peux vérifier que tu t'es pas trompé dans les calculs tout simplement en prenant cette équation du départ et en remplaçant x par 47 sur trois mais tu dois trouver à droite et à gauche du signe égal le même nombre