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Résoudre une équation de la forme a^f(x)=b^g(x) dans des cas moins simples

Transcription de la vidéo

on va continuer à s'entraîner à résoudre des équations exponentielle alors je te propose ces deux équations là et j'aimerais bien que tu mettes la vidéo surtout c'est que tu commence déjà par faire celle ci la première en jaune alors la première chose qu'il faut remarquer ce que ici on a deux nombres qui sont pas les mêmes 32 lv à la puissance x sur trois est à droite du signe égal on a huit élevé à la puissance x -12 donc pour résoudre cette équation ce qu'il faudrait réussir à faire c'est réécrire cette équation là mais en faisant intervenir la même base c'est à dire un nombre élevé à la une certaine puissance égale à ce même nombre élevé à une autre puissance alors la première chose qu'on peut dire ici c'est que 32 n'est pas une puissance de 80 donc on va pas pouvoir écrire ce membre de gauche comme 8 élevé à la puissance quelque chose par contre ce qu'on peut dire c'est que 32 c'est une puissance de 2 et 8 c est aussi une puissance d'odeur en fait tu peux vérifier que 30 de ces deux élevé à la puissance 5 et puis 8 ces deux élevé à la puissance 3 alors sachant ça on va réécrire l'équation mais en remplaçant 32 par deux puissants cinq et huit par de puissance 3 donc ça va me donner deux élevé à la puissance 5 le taux élevé à la puissance x sur 3 x sur trois et ça ça doit être égale à 8 élevé à la puissance x - 12 mai c'est à dire en fait de puissance 3 élevé à la puissance x - 12 là j'ai tout simplement écrit 32 comme de puissants 5 et 8 comme deux puissances 3 donc en fait j'ai rien changé alors maintenant ce dont il faut se souvenir c'est que quand je prends un nombre que je le lève à une certaine puissance et qu'ensuite je j'élève encore une fois le résultat à une autre puissance bien en fait ça revient à élever seul le nombre de départs à une puissance qui est le produit des deux puissances plus précisément je vais utiliser cette propriété là à élever à la puissance b le tout est levée à la puissance c'est bien ça c'est à élever à la puissance des fois c'est j'espère que tu connais cette propriété là donc on va appliquer ça et du coup à gauche du signe égal ce que j'ai c'est 2 élevé à la puissance 5 x x sur trois le produit des deux puissances 5 x x sur trois et ça ça doit être égale à 2 élevé à la puissance 3 x x -12 3 x x - 12 maintenant si deux puissances quelque chose est égale à deux puissances quelque chose d'autre ça veut dire qu'en fait les deux exposants sont égaux donc ici je peut en déduire que cette équation est vrai si et seulement si cet exposant est égale à sept exposants là donc je l'obtiens une équation 2° un qui va être facile à résoudre et qui est celle ci 5x sur 3 égale à 3 x x - 12 alors pour la résoudre devait multiplier des deux côtés par trois donc ici je vais avoir 3 x 5 x diviser par trois les les trois vont se simplifier et puis il faut que je multiplie par 3 aussi comme ça alors du coup je vais avoir à gauche du signe égal 5 x c'est ce qui me reste et ça va être égal à 3 x 3 ça fait 9 donc je vais écrire comme ça 9x -12 et en fait je vais même développé cette expression donc ça va me donner 9 x x x 9 - 12 donc finalement je vais écrire 5x égal à 9 x - 12 x 9 10 x 9 ça fait 90 + 2 x 9 ça fait 100 808 alors maintenant je vais soustraire 5x des deux côtés comme ça je vais avoir tous les x ici donc ça ça me donne 5 x - 5 x a fait zéro égal à 9 x - 5 x c'est-à-dire 4x moins 108 et du coup je peut en déduire que 4 x est égal à 100 8 alors maintenant je vais divisé par 4 des deux côtés et j'obtiens que x est égal à 100 8 / 408 divisé par quatre alors 108 divisé par deux ça fait cinquante quatre que je divise encore par deux donc ça fait 27 voilà donc la solution de cette équation ici cx égale 27 effectivement si tu remplaces ici x par 27 donc 27 / 3 ça fait neuf donc l'obtient à gauche du signe égal 32 lv à la puissance 9 et ici j'obtiens 8 élevé à la puissance 27 - 12 27 - d'où ça fait quinze donc finalement ce qu'on obtient 7 32 lv à la puissance 9 égale 8 élevé à la puissance 15 et je te laisse vérifier que ça c'est vrai voilà donc on a résolu cette première équation on va passer maintenant à la deuxième je vais faire un trait pas qu'on se confondent or cette équation la saaq élevé à la puissance 4 x + 3 / 25 élevé à la puissance 9 - x doit être égale à 5 élevé la puissance 2 x + 5 alors par rapport à ce qu'on a vu tout à l'heure là il ya une difficulté à priori supplémentaire c'est qu'on a une division alors c'est vrai que ça peut être un peu impressionnant mais il faut se poser exactement les mêmes questions que tout à l'heure au départ est ici la première chose qu'on ne peut remarquer c'est que on peut facilement réécrit cette expo est que cette équation là avec toujours la même base des exponentielle et ça ça va être la clé un petit peu de la solution ce que je veux dire c'est que 25 c'est 5 au carré donc je vais pouvoir réécrire tout mais en remplaçant 25 par cinq au carré du coup je vais obtenir une expression dans laquelle toutes les exponentielle qui sont impliqués seront de base 5 donc ça va simplifier beaucoup les choses alors je vais faire ça donc je vais réécrire le numérateur ici qui est 5 élevé à la puissance 4 x + 3 / alors là au lieu d'écrire 25 je vais écrire cinq élevée au carré et ça je dois l'élever à la puissance 9 - 6 9 mois x et ça ça doit être égale à 5 élevé à la puissance 2 x + 5 là j'ai rien changé alors maintenant je continue je vais faire un petit peu de ménage là-dedans donc j'ai cinq élevé à la puissance 4 x + 3 au numérateur de ma fraction est ici je vais avoir 5 élevé à la puissance est là je vais appliquer cette propriété là comme tout à l'heure en fait j'ai cinq élevé à la puissance deux fois 9 - x alors je peux même faire ce calcul à 1,2 fois neuf noisy que je vais faire tout de suite de x 9 3x que je vais faire c'est développer ce produit là deux fois 9 - 6 donc j'ai deux fois 9 qui est égale à 18 plus deux fois moins x qui est égal à - 2 x voilà et ça ça doit être égale à 5 élevé à la puissance 2 x + 5 voilà là on obtient quelque chose de beaucoup plus claires puisque on n'a que des bas 5 donc on va probablement pouvoir faire quelque chose alors pour continuer il ya plein de façons de faire différentes on pourrait très bien multiplier des deux côtés par 5 élevé à la puissance 18 - 2 x comme ça on se débarrasserait du dénominateur mais on peut aussi par exemple se dire que l'ag a élevé à la puissance quelque chose / à élever à une autre puissance donc je vais utiliser cette propriété là je l'écris ici à élever la puissance b / à élever à la puissance c'est bien en fait c'est à élever à la puissance b - c je vais soustraire les deux exposants donc ça va me donner sa 5 élevé à la puissance 4 x + 3 4 x + 3 - le deuxième exposants en bas au numérateur - donc 18 - 2 x et ça ça doit être égale à 5 puissance 2 x + 5 voilà alors là on se retrouve exactement dans la situation qu'on a connu tout à l'heure on à 1,5 élevé à la puissance quelque chose qui est égal à 5 élevé à une autre puissance 6 et de nombreux là sont égaux ça veut dire que les exposants sont égaux donc cet exposant la doit être égale à sept exposants là du coup on obtient comme tout à l'heure une équation linéaire qu'on va pouvoir résoudre alors je vais écrire cette équation maintenant je vais l'écrire en se faisant un peu de simplification donc ici j'ai 4 x + 3 - 18 - - 2 x c'est-à-dire plus de 6 et ça ça doit être égale à 2 x + 5 voilà alors ici on peut remarquer que j'ai 1 2x dans le membre de gauche et 1 2x dans le monde d'autres droite donc ces deux là vont s'annuler ensuite ici va me rester 4 x + 3 - 18 c'est à dire moins 15 qui doit être égale à 5 alors je vais additionner 15 des deux côtés donc je l'obtiens 15 et 4 x pardon -15 +15 c'est à dire 4 x qui doit être égale à 5 +15 5 +15 5 + 15 je vais le calcul et tout de suite ça fait fin donc 4 x doit être égale à 20 et pour trouver la valeur de x et bien je divise par quatre des deux côtés comme ça ces quatre là vont se simplifier et va me rester juste x et galvin sur quatre c'est à dire x égal 5 et donc si on n'a pas fait erreur de calcul sept valeurs laïques segal 5 c'est la seule valeur qui vérifie cette équation là donc c'est la seule solution de notre équation je te laisse vérifier ça si tu remplaces x par cinq dans cette équation là tu dois trouver le même nombre des deux côtés du signe égal