Probabilités conditionnelles et combinaisons

dans cette vidéo va faire un problème qui rassemble un petit peu tout ce qu'on a vu jusqu'à maintenant en probabilités alors on va faire une expérience on va prendre quinze pièces 15 pièces de monnaie d un art à cinq qui sont nos trucs et non truquées cinq pièces non truquées et puis disent qu'ils sont truquées alors quand je dis qu'elles sont truquées en fait on sait qu'il ya 80% de chances qu'elle tombe du côté face et puis 20% du coût qu'elle tombe du côté pile voilà ça c'est le détail de la pièce des pièces truqués de chaque pièce truqués alors ce qu'on va faire c'est mettre toutes ses pièces dans un sac fermé les yeux piocher une pièce au hasard et puis il a lancé six fois de suite donc on fait silence et et puis en fait là la différence avec ce qu'on a fait jusqu'à maintenant c'est qu'on va se mettre dans la situation où on sait on connaît le résultat des silences et donc on sait qu'on a obtenu quatre faces quatre fois face donc quatre fois face et deux fois pile on a obtenu quatre fois face voilà on sait c'est on sait on connaît le résultat de l'expérience et c'est après coup sachant qu'on a eu quatre fois face est ce que on peut calculer la probabilité que la pièce qu'on ait choisi ce soit une pièce truqués ou une pièce mon truc donc on va plutôt faire ça on va plutôt essayer de calculer la probabilité d'avoir pioché une pièce truqué mais noté ça comme ça sachant qu'on a eu quatre fois face qu'on a eu quatre fois face il faut bien comprendre ça hein c'est pas c'est parce qu'on a fait jusqu'à maintenant là on connaît le résultat l'expérience on sait quand même quatre fois face et on va se demander si ce connaissance résultats on peut trouver la probabilité d'avoir pioché une pièce truqués au départ alors pour commencer on va réviser un petit peu ce qu'on sait sur les probabilités conditionnelles donc je vais faire un petit séparation voilà et en fait on va se rappeler un petit peu de cette formule-là la formule qui donne la probabilité de à intersection dub et donc de l'intersection de deux événements là j'ai exprimé avec les symboles de théorie des ensembles mais c'est l'ensemble dont les éléments sont la réalisation d'un et de l'événement a et la réalisation de l'événement b donc ça on peut le voir comme l'ensemble a et enfin l'événement a et b1 donc on avait vu que la probabilité de cet ensemble là à intersection b eh bien c'était la probabilité de à sachant b x la probabilité de b voilà alors ça c'est une formule qu'on a vu dans la partie sur les probabilités conditionnelles on l'appelle la formule de bayes ça s'écrit comme saab et à y es voilà c'est pas français ont besoin de savoir ça m'enfin c'est pas mal et puis cette formule là on peut l'écrire aussi comme ça c'est la probabilité de b sachant a multiplié par la probabilité de à bon ces deux formules là je pense que tu dois avoir maintenant une intuition un petit peu de pourquoi c'est comme ça d'où ça vient si c'est pas le cas je te conseille vivement d'aller regarder les vidéos sur les probabilités conditionnelles pour l'instant ce qu'on va faire c'est inversé un petit peu cette formule là parce que ce qu'on veut nous c'est la probabilité de d'un événement sachant qu'un autre erreur est réalisé donc on va en fait on va écrire cette formule-là de cette manière là la probabilité de à sa chambre alors pour obtenir cette probabilité je vais tout simplement prendre la probabilité de à intersection b et puis je vais / la probabilité de paix voilà je peux même aller un petit peu plus loin parce que en fait la probabilité de à intersection b je peux l'écrire comme ça c'est la probabilité de bessat champ à fois la probabilité de a donc en fait je peux écrire cette probabilité de haas à chambé de cette manière là ça va être la probabilité de b sachant a multiplié par la probabilité de a divisé le tout divisé par la probabilité de b voilà alors maintenant nous dans le problème qu'on se pose qui sont a et b l'avait dit j'avais dit que vous recherchez la probabilité d'avoir pioché une pièce non truquées une pièce l'autre uqtr excuse moi avait dit ça tout à l'heure on peut faire on peut chercher aussi la probabilité d'avoir pioché une pièce truc et ça serait le même système on va faire ça alors ici du coup notre événement à cet événement l'a hissé l'événement piocher une pièce non truquées voilà et puis l'événement b ça va être obtenir quatre fois face je le rajoute est ici c'est donc obtenir quatre fois face en silence et 1 donc maintenant si on veut calculer la probabilité de à sa chambre et donc de piocher une pièce mon truc et sachant qu'on a obtenu quatre fois face et bien il va falloir qu'on sache calculer cette probabilité là la probabilité d'obtenir quatre fois face en silence est ce qu on a pioché une pièce nos trucs et ça c'est probabilité de baie saint jean à et puis il va falloir calculer la probabilité de piocher une pièce aux autres quais et puis il va falloir calculait aussi la probabilité d'obtenir quatre fois face en silence et indépendamment de la pièce qu'on a qu'on a choisi donc ça c'est peut-être la partie la plus difficile à calculer donc on va commencer par essayer de calcul et celle là et puis peut-être qu'en chemin on a on on en viendra à calculer a trouvé aussi c'est de loin la probabilité de des sachants à et la probabilité de a alors pour ce faire ça il ya quelque chose de vraiment très utile c'est d'arriver à faire un schéma en alors je vais le faire donc là quand je ferme les yeux je mets ma main dans le sac et je pioche une pièce au hasard en fait j'ai deux possibilités c'est c'est de la soie je prends une pièce non truquées soit je prends une pièce truqués et je peux calculer les probabilités de ces deux de ces deux choix donc comme il ya cinq pièces non truquées sur les quinze g5 chance sur 15 de choisir une pièce aux trucs et 5 sur 15 on peut l'écrire aussi comme un tiers donc j'ai la probabilité d'avoir choisi une pièce ont truqué c'est un tiers et la probabilité de choisir une pièce truqués bas il ya dix pièces truqué sur les quinze 15 pièces au total donc ces 10 sur 15 c'est à dire deux tiers et puis là comme ces deux événements sont contraires c'est normal que les sommes des probabilités fasse un tiers plus de tiens ça faisait bien quand voilà ça c'est aussi une petite vérification rapide qu'on peut faire alors maintenant si on sait qu'on est con à piocher une pièce trucs et là on va essayer de calculer la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face donc la probabilité de b sachant à ça qu'on va essayer de calculer alors pour ça on va essayer de comprendre un peu mieux de comment sont faits les lens est donc un résultat possible qui nous intéresse nous il faut quatre fois face donc ça peut être quelque chose comme ça face face face face pil pil face aux quatre premiers et puis après deux fois pile mais bon évidemment ça peut être aussi autre chose ça peut être par exemple face pile face face face pile par exemple voilà enfin bon ça peut être n'importe quelle combinaison dans laquelle il ya quatre fois face et deux fois pile indépendamment de l'ordre ça nous interne où on n'est pas du tout intéressé alors alors en fait on peut calculer la probabilité de chacun de chacune de ses possibilités j'en ai écrites que deux mais il y en a il y en a d'autres au premier lancer de toute façon j'ai une chance sur 10 d'obtenir face au deuxième lancer la géo j'ai une chance sur 10 d'obtenir face ou pile au troisième rang c'est pareil au quatrième l'an c'est pareil au cinquième l'an c'est pareil et au dernier lancer pareil j'ai de toute façon une chance sur deux obtenir soit face soit pile 1 à chaque lancer donc finalement chaque résultat comme ça il a une probabilité de 1 sur 2 puissance 6 puisque à chaque fois que je fais a lancé j'ai une probabilité d'un sur deux d'un demi donc comme je fais silence et j'ai un demi puissant 6 1/2 x 1 2 me soit un demi point de mille fois 1/2 fois un demi voilà alors maintenant il faut que je compte le nombre de combinaisons possibles de ce type là que je peux faire alors c'est exactement ça le mot magique c'est le mot combinaisons et on a vu ça dans d'autres vidéos donc en fait là nous on s'intéresse pas l'ordre dans lequel on a obtenu face ou pillin ça nous intéresse pas donc est ce qu'on va faire c'est uniquement trouver les combinaisons de quatre éléments parmi les six donc en fait on doit calculer le nombre qu'on note comme ça elle combinaison de six de quatre éléments parmi 6 et 7 ce nombre là 6 4 et puis comme chacune de ces combinaisons ya une probabilité de 1/2 puissance 6 on va multiplier ce nombre de combinaisons par la probabilité 1/2 puissance 6 voilà donc ça c'est la probabilité de b sachant à voilà alors maintenant on va essayer de faire ce calcul 1 donc les combinaisons de quatre événements parmi 6 on est on sait que c'est en faudrait revoir la formule 1 si tu sais pas ces six factorielle sur 6 - 4 factorielle dire 2 factorielle x 4 factorielle et après il faut multiplier sa part 1/2 puissance 6 alors ça 6 factorielle bon je vais le faire doucement ses 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 et puis en dessous g2 factorielle donc deux factorielle ces deux fois je vais laisser deux fois alors ensuite bon c4 factorielle mais quatre factorielle je vais pas le rake je peux aussi je vais le faire lever 4 factorielle ses 4 x 3 x 2 x 1 et là je dois multipliées tout par un demi puissance 6 alors évidemment maintenant il ya beaucoup de simplification à faire par exemple 4 x 3 x 2 x en fait ces quatre factorielle donc tout ça ça se simplifient avec ce qui est en bas et il me reste alors là aussi je peux faire ça 3 / 2 en fait c'est ici me reste 3 donc ça fait trois fois 5 c'est à dire quinze 15 fois un demi puis 106 alors 1,2 alors je crie 15 et 1/2 puissant 6 et 1 sur 2 puis 106 depuis 106 c64 donc en fait j'ai 15 sur 64 ça c'est la probabilité de b sachant à voilà donc c'est la probabilité d'obtenir quatre fois face en silence et sachant qu'on a pris qu'on a choisi au départ une pièce nos trucs ainsi on revient aux définitions de nous et les mots de nos événements a et b évidemment bon là on a calculé la probabilité de bessat chain donc ça c'est déjà bien parce qu'on l'a ici mais nous ce qu'on voulait c'est la probabilité de bd en fait il ya une autre façon d'obtenir quatre fois face là on a regardé la probabilité d'obtenir quatre fois face quand on a une pièce non truquées alors maintenant on va se mettre du coup dans la situation où on a pioché une pièce montre une pièce truqués pardon on va essayer de calculer la probabilité sachant qu'on a obtenu qu on a pioché une pièce truqués d'obtenir quatre fois face en silence et donc ça on peut noter comme ça c'est la probabilité de et sachant à barre puisque à c'est piocher une pièce non truquées donc le contraire c'est piocher une pièce truc est donc on peut noter comme ça on va essayer de calculer ça on va faire exactement la même chose que tout à l'heure donc le résultat là sachant qu'on a une pièce de truquer le résultat ça sera quand même une combinaison du genre f face face face pil pil face par exemple alors maintenant on va essayer de calculer la probabilité d'un résultat de ce genre alors puisque la pièce est truqué il ya 80 chance sur cent d'obtenir face donc la probabilité d'obtenir face aux premiers lancers c'est plus 0.5 + 1/2 c 0.8 ensuite au deuxième lancer ben là on a obtenu face et encore 0,8 chances d'obtenir face 0.8 encore pour le troisième lancer et puis là pour piles c'est 0,2 puisque la pièce est truqué donc il ya vingt chance sur cent d'obtenir pile c'est à dire 0,2 ensuite on a encore 0,2 pour le quatre 5e lancé pardon et puis le dernier lancer le sixième c'est 0,8 alors ça c'est la probabilité de cette sorte de celle de ce résultat la 1 et en fait on peut le réécrire comme ça ça sera plus joli c'est 0.8 puissance 4 x 0 de puissance de 0,2 au carré voilà alors maintenant effectivement ça c'était un des résultats possibles mais non on peut avoir d'autres résultats possibles qui nous intéresse nous ce qui nous intéresse c'est uniquement d'avoir obtenu quatre fois face dans quel que soit l'ordre dans lequel on obtient les fasse donc comme tout à l'heure on doit calculer le nombre de combinaisons possibles qui font apparaître quatre fois face et ça on a déjà calculé c'est ce nombre la c4 c'est le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 6 et on l'a vu tout à l'heure c'était 15 donc ça c'est 15 donc finalement la probabilité de b sachant à barres et bien c'est la probabilité d'une issue de ce genre là d'un résultat de ce genre là type liés par le nombre de résultats possibles de ce genre là donc en fait c'est comme tout à l'heure c'est 4 c'est le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 6 x la probabilité de chacun donc ces 15 x 0,8 puissance quatre fois 0-2 puissance 2 donc ça hein je rappel c'est la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face en silence et sachant qu'on avait au départ piocher une pièce truquée alors je vais faire un petit peu de place alors maintenant on va calculer la probabilité de b1 c'est à dire la probabilité d'obtenir quatre fois face en silence et alors quand est ce qu'on peut faire et en fait c'est la probabilité de cette branche là d'avoir obtenu quatre fois face en silence et sachant qu'on avait une pièce non truquées x la probabilité d'avoir une pièce mon truc et plus cette branche là c'est à dire la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face en silence et sachant qu'on avait une pièce truqués au départ est multiplié par la pièce par la probabilité d'avoir une pièce truc est donc bon je vais la jouer l'écrire ça donne la probabilité de b ici c'est la probabilité alors je vais l'écrire directement c'est donc un tiers un tiers fois donc ça c'est la probabilité de a multiplié par la probabilité de bessat chan a alors la probabilité de b sachant la dic c'était 15 sur 64 plus la probabilité d'avoir choisi une pièce truqués ces deux tiers x la probabilité de bessat champ à barr donc d'avoir obtenu d'avoir obtenu quatre fois face en silence et sachant qu'on avait choisi une pièce truqués et ça c'est 15 x 0,8 puissance quatre fois 0,2 au carré voilà donc là on a 15 / 3 ça ça fait cinq donc 5 sur 64 ici ensuite on a deux tiers de 15,2 tiers x 15 alors ça fait 2 fois 5 ça fait 10 donc ici on a 10 voilà et puis là je vais prendre la calculatrice pour calculer ça donc je vais déjà calculé 0,8 puissance 4 x 0,2 au carré voilà je vais multiplier sa part 10 directement ça ça fait zéro point 16 384 donc ça je vais déjà l'écrire ce terme là c'est 0,16 384 384 voilà alors maintenant je vais ajouter il faut que j'ajoute 5 sur 64 ans donc lui reprend la calculatrice donc je fais 0,16 384 + 5 / 64 et ça me donne 0,24 19,65 donc je vais l'écrire 0,24 19,65 donc ça je vais garder la précision pour l'instant il vaut mieux à on dira à la fin des calculs la preuve ça peut être utile à la précision pour l'instant je vais juste exprimé sous forme de pourcentage ça fait 24,19 65 % de chance et ça en fait c'est la probabilité sens sans savoir quelle pièce on a pioché au départ c'est la probabilité d'obtenir quatre fois face en silence et c'est la probabilité de l'événement b alors maintenant on va pouvoir répondre à la question posée à ont cherché la probabilité de à sachant b c'est-à-dire la probabilité d'avoir pioché une pièce truqués sachant qu'on a eu quatre fois face en silence et alors on avait cette formule là je pense qu'on a déjà calculé tous les termes qui interviennent donc on va on va l'écrire donc maintenant alors je vais prendre une autre couleur donc là on va essayer de calculer la probabilité ea sachant b c'est à dire je vais l'écrire une seule fois c'est la probabilité d'avoir pioché une pièce non truquées sachant qu'on a obtenu quatre fois face quatre fois face en silence est ainsi lancée voilà je l'écris juste par pau par souci de clarté mais bon c'est la probabilité de l'événement à sa chambre et une fois qu'on a défini les événements a et b comme on l'a fait au début donc là on va reprendre la formule de beille ce qui est ici alors c'est la probabilité de bessat chant à la probabilité de bessat chan a donc ça c'est la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face une en silence et sachant qu'on avait pris une pièce non truquées et celle là on l'a calculé tout à l'heure x la probabilité de à c'est-à-dire de piocher une pièce non truquée / la probabilité de b c'est à dire la probabilité d'obtenir quatre fois face en silence et et ça on l'a calculé aussi donc là on a calculé toutes les probabilités donc je vais le faire alors je remplace ici on a la probabilité de bsh en a on a dit que c'était 15 sur 64 ensuite la probabilité de à la probabilité de ah ça c'est l'événement à celui là d'avoir obtenu une pièce non truquées et bien c'est un tiers fois un tiers / alors la probabilité de b on a vu que c'était 24,19 65% bon je vais l'écrire sous forme d si mal parce que si nous faudrait que je multiplie par 100 0 24 19 65 je vais faire encore un peu de place alors maintenant je vais faire ses calculs donc ici je peux déjà faire quelques simplifications ici j'ai 15 / 3 donc ça va me faire je vais supprimer ça donc j'ai cinq sur 65 donc je vais prendre la calculatrice alors j'ai au numérateur 5 / 64 ça ça me donne 0.60 10 825 / 0,24 19 65 0 24 19 65 hockey et ça me donne ce nombre là 0,32 à 28 77 27 56 bon et puis ça continue peut-être on sait pas alors je vais l'arrondir à quatre chiffres après la virgule 1 ça me donne je la met à côté je veux que tu me fasses confiance je fais juste je recopie c'est 0,32 par dont 32 ensuite j'ai 28 77 donc si je veux arrondir à quatre chiffres après la virgule ça me fait 0 32 29 voilà ça c'est donc une valeur approchait donc c'est environ 30 de 30% ça c'est la probabilité d'avoir pioché une pièce truc non truquées sachant qu'on a obtenu quatre fois de suite face en silence et voilà je vais encadrer ce résultat est donc ça veut dire que si on sait qu'on a obtenu quatre fois face en silence et et bien en fait ya à peu près une chance sur 3 qu'on m'avait qu'on ait piocher au départ une pièce non truquées bon là j'ai encore fait un arrondi un jeu j'avais dit 0,32 29 et j'ai écrit 32,30 donc c'est en fait c'est prendre 2,3 et aucune certitude sur ce zéro la voilà donc là ce qui est intéressant à remarquer c'est que on a un petit peu moins au départ on a une chance sur trois de choisir une pièce non truquées et puis si on sait qu'on a eu quatre fois face et bien ça diminue un petit peu leur à long terme un peu moins d'une chance sur trois en fait d'avoir choisi une pièce vos trucs et au départ donc ça dit on a diminué un petit peu les chances d'avoir une pièce non truquées bon ça se comprend parce que si on prend une pièce trucs et ben on a beaucoup plus de chances d'obtenir face donc dans un résultat où il ya beaucoup de face c'est quand même un peu normal qu'ils aient plus de chance que la pièce que la pièce choisie soit truquée au départ un bon effectivement là tu vas me dire mais là on est presque à une chance sur trois donc ça change pas grand chose c'est vrai et c'est en fait c'est parce que un résultat de ce genre c'est pas non plus résultat complètement improbable avec une pièce truc avec une pièce l'autre eu qu'un résultat qui contient quatre fois face sur six un résultat très improbable dans le cas d'une pièce non truquées pour des sites je vais faire un petit dessin qui diagramme de venn pour essayer de représenter un peu ça donc je vais rebouger tout ça alors si je représente l'ensemble l'univers de mon expérience voilà ça va être quelque chose comme ça représentait ça comme ça à peu près et puis j'ai une chance sur 3 d'avoir une pièce non truquées donc on peut dire que par exemple c'est cette partie là donc ici c'est la partie non truquées une pièce non truquées et là du coup c'est la partie truqués alors ensuite la formule de base qu'est ce qu'elle nous dit alors on avait vu qu' il y avait si on sait que la pièce et n'est pas truquée qu'on a pioché une pièce non truquées au départ à ce moment là on a quinze vous m'avez trouvé 15 sur 64 je crois à vingt bons c'est cette partie là c'était la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face au silence elle représentée par cette partie là et puis je vais dessiner aussi je me rappelle plus la valeur exacte mais la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face en sachant qu'on avait choisi une pièce truqués au départ bon on va la représenter voilà comme ça alors finalement tout cet ensemble là là cet ensemble qui est ici c'est la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face en silence et est en fait ce que nous dit la formule de beille c'est que si on sait qu'on a obtenu quatre fois face en silence et ya à peu près une chance sur trois d'avoir pioché une pièce truc et ça veut dire que l'intersection de cet ensemble la pièce aux trucs et et du sous-ensemble avoir pioché une avoir obtenu quatre fois face en silence et pardon ça va découper 7 ce sous-ensemble là on a à peu près un tiers donc finalement ce nombre là 32,3 bien c c'est cet ensemble là en fait un c c'est la probabilité d'avoir obtenu une pied d'avoir pioché une pièce mon truc et sachant qu'on était dans cet univers là c'est à dire qu'on avait obtenu quatre fois face voilà bon ben je vais m'arrêter là parce que c'était un peu c'est une vidéo un petit peu longue mais j'espère au moins qu'elle te ra été utile à bientôt