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Appliquer le théorème fondamental de l'analyse

Transcription de la vidéo

on se donne une fonction f dont j'ai tracé le graphe ici et qui continue sur un intervalle cd où c'est plus petit que des j'ai utilisé les lettres c'est aider parce que je garde les lettres a et b pour plus tard et se voudrait définir une fonction grand f 7 x 2 x qui a x associe enfin qui a x qui se trouve entre ces et démarre présentons le d'abord sur le graphique à x x associer un se trouve entre c'est aider la fonction grand et va associer l'air sous la courbe entre cx donc grand f de x ça va être cette terre que je viens de hachures est en jaune et ça s'écrit l'intégrale entre cx de f2 tdt et le théorème fondamental de l'analyse le premier tome fondamental de l'analyse nous dit que si elle fait continue sur cette intégrale sur cet intervalle 6 a fait continue sur cet intervalle et bien la ddt et bien grand f et dérives à bhl et la dérive et de grand fc la fonction petit f grand et primes de x c'est petit f au point x et ceci pour toutes xe pour toutes xe entre c et d et maintenant ce qu'on aimerait essayer de faire ici c'est lié ceci ou deuxième théorème fondamental de l'analyse qui est celui qui nous aide vraiment à évaluer les intégrales à calculer les intégrales alors dans le 2ème théorème fondamental de l'analyse on a une expression grand f2b moins grand fde a alors on va essayer de représenter sa et de voir ce que ça représente a et b sont des nombres dans l'intervalle cd que l'on considère on va supposer juste pour le dessin que b est plus grand qu'eux a donc disons qu'on va placer granby ici et dans ce cas là et on va remplacer f de grands airs f2b par sa valeur et fb c'est l'intégrale de ses ab de f2 tdt ça c'est juste l'image de b par la fonction f que j'ai défini par une intégrale voilà donc et ça sur le dessin qu'est ce que c'est et bien c'est l'air sous la courbe de ses jusqu'à b1 puisque l'intégrale de ses ax et les rieurs dessous la courbe de ses jusqu'à x donc la clr sous la courbe de ses jusqu'à baie donc là tout ce que je viendrais assuré en bleu ces grands élèves de bep maintenant on retire grand f2 à qui et l'intégrale de ses aa de f2 tdt ça c'est quand je remplace dans l'expression de la fonction maintenant si je mets à un petit peu à la gauche de b par exemple ici grant f2 à qu'est ce que ça va être et bien voilà c'est ce que je colorie l'aclr sous la courbe entre c&a on a bien vu ce que représentait la fonction grand f en terme d'heure sous la courbe voilà et donc regardons sur le graphique et demandons-nous ce que veut dire quand f2b moindre honte f2 à c'est à dire je substitut je retranche les airs violette de l'air bleus et qu'est ce qui me reste eh bien il me reste il est clair que je colorie envers ici c'est la différence entre les deux élèves que ce coloriant verbe à elle s'écrie intégrale de saab et de f2 tdt et si on regarde ce qu'on a tout à fait à gauche de cette chaîne d'égalité tout à fait à droite eh bien c'est exactement le deuxième fonds dément une théorie fondamentale de l'analyse on vient de trouver que l'intégrale de ab de f2 tdt était égal à coire ben était égal à fb - f2 à ou ou grand f hélas primitif de petit f on va l'écrire ici grand theft s'est pas lassé une primitive de petit f donc donc ça nous dit bien que pour évaluer l'intégrale de saab et de petit f2 tdt et bien il suffit de trouver une primitif grand f et de calculer grand f2b moins grand f2 à n'importe quel primitive parce que là on a pris la primitive qui s'annulent en petit c mais on voit bien ensuite que quand on retrouve l'intégrale de à b2f de télé il n'y a plus de petits c'est donc on veut prendre n'importe quel primitive donc je leur ai écrit comme on a l'habitude de voir le deuxième théorème fondamental de l'analyse l'intégrale de ab de f2 tvt est égal à grant f2b moins grand en f2 a et c c'est important d'y arriver comme ça par une démonstration parce que c'est vraiment le coeur du calcul intégral parce que c'est vraiment grâce à ça que l'on finit enfin jusqu'à présent que l'on a toujours fini par évaluer les intégrales