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Si F est une primitive de f, l'intégrale de a à b de f est F(b) - F(a)

Transcription de la vidéo

imaginons que nous avons d'une solide qui se déplacent pendant un temps donné à des vitesses qui peuvent varier et j'appelle s la fonction qui me donne la position du solide en fonction du temps donc je vais avoir une fonction est de thé dont je dessine un graphe approximatif ici on va imaginer que c'est une parabole qui a intenté va me donner la position du solide à ceux tentés a donc là j'ai ma fonction y égale s de thé que j'ai dessiné ici donc on imagine que c'est une parabole voilà moi ce que je voudrais essayer d'évaluer ses si je me fixe un temps de départ a fait un temps d'arriver b donc voilà je dessine je vais représenter la sueur et des abscisses un temps de départ à tous le solide commence à bouger et temps d'arriver b ou le solide s'arrête et je voudrais savoir quel est le déplacement caler quelle distance il a parcouru entre le temps à et le temps b donc quels changements de position donc autant b il était à la position s2b que j'indique ici et autant à il était à la position s2a au départ que janick comme ceci est donc moi je voudrais évaluer le changement de position le déplacement la distance parcourue entre a et b et entre le temps à et le temps b et donc le changement de position la distance entre le temps a enfin entre le temps à et le temps b eh bien ça va tout simplement être la différence entre la position s2b et la position s ii a donc cs2 b - s2a là ça se voit bien sur cette courbe le solide se déplace pas forcément à vitesse constante entre a et b il part de la position s2a il arrive à la position s2b et maintenant considérant la dérive et la dérive et en un point savais que tu sais que la vérité en un point c'est le coefficient directeur de la tangente donc si je me si je prends un point sur le graphe et que je dessine une petite partie de la tangente l'idée du coefficient directeur c'est que si je me déplace d'un tout petit d'un tout petit endettés sur l'axé des abscisses on va se déplacer une petite distance ds sur l'axé des ordonnées c'est pour cette les physiciens écrivent la dérive et sous la forme ds / d'été ça ça veut dire la dérivée de la fonction est ce par rapport au temps tu es d'accord et cette dérive est là et bien c'est c'est en quelque sorte un petit bout de distance / du temps et ça ça nous donne de la vitesse voilà donc nous on écrit ça exprime de thé d'habitude en mathématiques et ça ça n'est rien d'autre que la vitesse est ce qui va nous donner la vitesse qu'on appelle en physique la vitesse instantanée autant aux tentes et qu'on a considéré voilà donc la dérive et de cette fonction nous donne la vitesse en fonction du temps donc expriment de thé c'est en quelque sorte une fonction vitesse qu'on pourrait appeler v de thé voilà maintenant je vais essayer de représenter cette fonction vitesse dans un autre repaire de coordonner donc voila mon autre repaire de coordonner l'axé des abscisses représenter la des abscisses que nos taxes d'été et voilà l'axé des ordonnées je vais m y dessus et donc la vitesse alors on peut consister le coefficient directeur de la tangente puisque c'est la dérive et on peut considérer que à l'intersection avec classe désordonnée on a une tangente horizontale donc on aura une définition directeur nul une vitesse nul et comme on a supposé que c'était une parabole la dérivée d'une parabole c'est une fonction affine du premier degré qui représenté par une droite donc la dérive et sera en quelque sorte ici une droite que je note y égale v2 t ah bah on va représenter sur ce graphe de la dérive est un qui va nous donner la vitesse le temps de départ a dû lied et le temps d'arriver b du solide et maintenant on se dit qu'on aimerait bien voir la position le déplacement 1 le déplacement du solide sur ce sur le graphe de la dérive est aussi alors comment est ce qu'on va faire c'est là qu'on va revenir à nos sommes de riemann 1 on va diviser on va diviser l'air sous la courbe entre a et b en petit rectangle là je prends des rectangles assez gros pour qu'on voit bien ce qui se passe mais bon tu peux imaginer qu'en fait c'est là mais c'est exactement la même chose avec plein de petits rectangles à je vais dessiner trois gros rectangle qui vont donner une pas très très bonne approximation de l'air sous la courbe mais bon peu tu imaginer que ce serait la même chose si on avait pris plein de petit rectangle et on aurait une meilleure approximation on le raisonnement va rester le même intéressons nous à l'air de ce petit rectangle du premier rectangle là sont ordonnées le point la hauteur cv de à et la largeur on l'appelle delta t comme on l'avait appelée delta x dans les vidéos précédentes et l'air du rectangle ses auteurs x largeur v2 a multiplié par delta t et voilà pour les deux autres rectangle je vais faire exactement la même chose je vais multiplier la hauteur par la largeur et je vais additionner exactement comme on l'avait fait dans l'est lorsqu'on s'était intéressé à l'approximation de l'air sous la courbe par des airs de rectangle on a pris là les rectangles avec eux on appris la hauteur du rectangle comme étant la bonne affaire et la borne inférieure de l'intervalle considéré tu te rappelles qu'on peut prendre la bande supérieure le point du milieu qu'on peut considérer des trapèzes de toute manière on additionne on additionne donc l'air sous la courbe va être approché par la somme de vie égal 1 à n de v2 là comme on prend la borne inférieure ça va être v2 té i - 1 et j'ai pas défini ce que c'était que l'été y un je te le rappelle le à on l'appelle t 0 pour le premier rectangle ce que j'écris ici le deuxième rectangle commence à un endroit que j'appelle t1 sur l'axé des abscisses et le troisième rectangle va commencer à t2 et cetera donc l'ère des rectangles ce sera v2 tei - 1 x delta t et qu'est ce que c'est que vais me devais de tei - 1 x delta thébains c'est une vitesse x un temps où delta t je te rappelle que c'est b - à la distance totale / n le nombre de rectangles que j'ai considéré voilà et donc considérons ce que ça veut dire v de tei - 1 c'est une vitesse et delta t c'est en temps et là nous avons l'approximation quand je multiplie une vitesse par un temps nous obtenons une distance parcourue donc cette somme là ça n'est rien d'autre que l'approximation de la distance du changement de position mais c'est aussi l'approximation de l'air sous la courbe donc l'air sous la courbe va nous donner le changement de position va nous donner la distance à la c'est ça qui est fondamental c'est que l'air sous la courbe seiler sous la courbe qui va nous donner la distance parcourue lorsque je regarde la courbe des vitesses voilà il ses terres sous la courbe gens nés ici une approximation avec l'annotation sigma si je veux en avoir une valeur exacte eh bien je dois augmenter indéfiniment le nombre de rectangle dont considérer la limite de ceux ci lorsque n tend vers l'infini et ça ça va me donner si je réussis à calculer cette limite ça va me donner exactement exactement le déplacement et donc si je fais temps drainent vers l'infini on se rappelle que l'on obtient que ça ça s'écrit plus avec l'annotation sig masse on obtient ce qu'on appelle une intégrale l'intégrale entre a et b je pars de à et j'arrive à bessat soit bien sûr le dessin de v2 tdt d'été et en ce que devient le delta t lorsque lorsqu'il devient infiniment petit lorsque tu vois des têtus pense c'est un des ces temps delta t infiniment petit et donc ça s'écrit comme ceci voilà donc notre vitesse c'est ce qu'on avait appelé l'intégrale de riemann l'intégrale notre déplacement pardon c'est ce qu'on avait appelé l'intégrale de rimal l'intégrale entre eux a et b de delta t2 v2 tdt et c'est ça c'est exactement c'est exactement le changement de position entre le temps à et le temps b voilà et maintenant on va connecter ça avec ce qu'on a vu précédemment ceci c'est le s2 b - s2a ainsi que j'avais que j'avais défini au départ donc on n'obtient que 7 intégrale l'intégrale entre a et b devait de thé d'été c'est notre s2b - s2a qu'on a lues sur notre première courbe réécrivant le l'intégrale de ab entre a et b devait de thé d'été est égal à s ii b - s2a s2b - s2a il rappelons-nous maintenant laon on reconnecte tout ce qu'on a considéré précédemment la fonction s c'est une primitive c'est une primitive de la fonction vais parce qu'on avait dit que la fonction v et la dérivée de la fonction f c'est une autre manière de le dire c'est de dire que la fonction est faite une primitive de la fonction v est donc ce lien entre primitive et intégrale défini c'est ce qu'on appelle le deuxième théorème fondamental de l'analyse donc ça on appelle ça le deuxième théorème fondamental de la neige ainsi on deale deuxième c'est qui on a un premier on va peut-être voir ça plus tard dans d'autres vidéos c'est ce lien là entre primitive qu'on a considéré dans les vidéos du début et intégrale définir sous la courbe qu'on a vu après d'accord donc en fait si je si je vais dans le cas général et que je considère une fonction f et que je considère l'intégrale entre deux bornes a et b de f2 xd x on va faire un petit dessin jedessine un repaire de coordonner une fonction qui peut être n'importe quelle fonction l'anneau fonction était agréable mais ça marche aussi si nos fonctions sont beaucoup plus désagréable voilà l'ère sous la courbe entre a et b alors donc je dis que cette intégrale elle va être égal à quoi et bien si je considère une primitive de la fonction f que j'appelle grand f donc j'écris ici grand chef est une primitive de la fonction petit f commentait lgv est une primitive de la fonction petit f là est bien cette intégrale là ça ne sera rien d'autre comme on l'a vu précédemment avec les vitesses et les déplacements ça ne sera rien d'autre que la différence entre les primitives à la valeur b et à la valeur à je vais évaluer les primitives à la valeur b et à la valeur à sa va donc me donner ça va donc être égal à grand f 2 b - grand f 2 à et ça c'est nouveau et très important parce que ça nous donne une manière de calculer la valeur d'une intégrale défini je trouve une primitive de la fonction f et je fais la différence entre la primitive de la fonction f évalué à b et la primitive de la fonction af évalué à hama borne inférieure