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Intégration par changement de variable d'une fonction composée

Transcription de la vidéo

mais on va revenir pour cet exemple un calcul de primitives ça fait quelques vidéos qu'on n'en a pas fait et nous allons nous occuper de trouver les primitifs de la fonction qui s associe deux puissances elle n 2 x sur x alors je te rappelle que le premier théorème fondamental de l'analyse me dis que pour trouver une primitive de cette fonction il suffit de calculer l'intégrale de ce que je veux ax de cette fonction de tes d'été maintenant ce que je veux ça doit quand même être dans le domaine de définition logarithme n'est perriand 2x est définie pour les strictement positive donc je vais pas pouvoir prendre l'intégrale de zéro à x puisque cette fonction-là n'est pas défini à zéro on va prendre dix ans l'intégrale de 1 à x parce que le gars rythme de 1 c'est pratique ça va nous simplifier les calculs donc l'intégrale de 1 à x2 deux puissances l m2 tdt sûreté pardon d'été voilà il faudrait calculer cette intégrale pour avoir une primitive et bien dans cette intégrale laffont je t'invite a remarqué qu' à un petit morceau qui est elle n 2 t et que la dérive et de ln2 tc1 sûreté et que justement on a une division par tes ailleurs dans la fonction donc on reconnaît un petit bouquet d'une fonction est un tout petit bout qu'il a dérivé de cette fonction et ça ça nous dit faire un changement de variables ça c'est un cas typique de changement de variable où on pose une égale la fonction dont a reconnu la dérive et on pose une égale hélène de théo pour mieux le voir un j'aurais écrit cette intégrale de 1 à x21 sûreté fois deux puissances ln2 tdt si je leur ai écrit comme ça on voit mieux le ellen de tai chi est ici et sa dérive et un sûreté qui est là donc là on pose typiquement dans ce cas là on pose du et galen de thé et on fait ce qu'on fait d'habitude pour changement de variables la dérive et de l'ue par rapport à tes que j'écris comme les physiciens le fond des hurdes était légale un sûreté genre multiplie par des td eut est égale 1 sûreté fois d'été et ce1 sûreté fois d'été que je vois dans mon intégral le remplacer par des huées lorsque je verrai écrire cette intégrale en termes de hu maintenant il ne reste plus qu'à résoudre le problème des bornes t varie de 1 jusqu'à x dans quel intervalle varig et bien lorsque tu est égale 1 ucl and they donc c'est hélène 2 1 et hélène de 1 c zéro donc la borne inférieure d'intégration va être zéro lorsque je vais tout exprimé en fonction de vue et lorsque tu es est égal à x et bien huet en haleine de teva devenir haleine 2 x donc voilà je vais pouvoir écrire maintenant on intégral en fonction du tout ça c'est l'intégrale nous disons lorsque une varie de 0 jusqu'à hélène ii x2 deux puissances maëlenn de thé on a appelé ça eut donc ces deux puissances eu et tout le reste un sûreté fois d'été est bien vu ce que je viens d'écrire ça va être des u donc on obtient l'intégrale de zéro jusqu'à l'an ii x2 deux puissants sud est eût c'est quand même plus simple il nous suffit maintenant de trouver une primitif de deux puissances eu et ont donc comment fait-on alors deux puissances us est une fonction exponentielle la variable de cette fonction eu est à l'exposant s'appelle une fonction exponentielle de fonctions exponentielles j'en connais une c'est la fonction e puissance x la fonction exponentielle de base eux je connais pas bien les fonctions exponentielles de base autre chose que donc l'idée serait de se ramener de cette écriture là à une fonction exponentielle de base eux et comment on va faire très simplement on va dire que on sait que l'exponentielle de base eux c'est la réciproque du logarithme n'était rien et on va dire que le nombre d'eux peut aussi s'écrire e puissance elle n 2 2 puisque eux et logarithme n'était rien sont réciproques voilà donc 6 2 et égale à e puissance hélène 2-2 alors je peux élever les deux membres de cette égalité à l'appui hu et je trouve que deux puissances u est égale à e puissance hélène de 2 à la puissance eu voilà et l'ag je reconnais dans ce que je viens d'écrire à droite des puissances d'autres puissances et je sais que dans ce cas là on peut multiplier les exposants pour enlever parenthèse et écrire ça plus simplement ça c'est égal à 1 puissance une fois elle n 2 2 et ça c'est une exponentielle de base eux une fonction que je sais c'est étudié donc ça va me convenir de réécrire l'intégrale dans ces termes là donc je reviens à mon intégral et je dis que ça c'est l'intégrale entre zéro et elle n 2 x 2' puissance eu hélène de 2 des u et là j'ai bien une exponentielle de base eux et lorsque je regarde ce que j'ai à l'exposant et bien ce que j'ai à l'exposant c'est hélène 2 2 qui est une constante fois une fois la variable donc ce que j'ai à l'exposant c'est une fonction linéaire une fonction affine linéaire qui avait cas particulier d'une fonction affine et ça donc en fait toute ma fonction e puissance yolaine 2 2 c'est une fonction composés dont la fonction qui est à l'intérieur et affine et on a vu comment prendre la primitive de ceux-ci et comment prendre la primitive de ceux ci on va écrire en sont les crochets la primitive de ceux-ci ben je prends la primitive de l'expo n'en ciel comme si elle n 2 était une seule et même variable la primitive de l'expo n'en ciel s'est elle-même ça me donne donc eu puissance qu elle n 2 2 et je divise par la dérivée de la fonction qui est à l'intérieur je divise par le coefficient directeur de la fonction affine donc je divise par ce coefficient directeur qui se trouve être l n 2 2 et voilà une primitive de la fonction qui est sous l'intégrale 1 et 7 primitive je dois l'évalué entre zéro et elle n 2 x ben maintenant on se rend compte qu'on a pratiquement fini le travail il suffit de substitut hélène 2x à la place de vue puis de substituer 0 à la place de huit faire la différence donc faisons le lorsque substitut hélène 2x à la place de u sam dunn heures puissance hélène 2xl n22 que je divise par hélène 2 2 et là je fais la différence - la fonction est évalué à 0 bon là quand j'évalue la fonction 0 je vais avoir de puissance 0 qui donne un donc tout le numérateur va être un il va me rester juste le dénominateur / hélène de 2 auquel on pourrait se dire qu'on a fini qui reste plus qu'à faire varier la constante un mètre plus c'est à la place de la constante on peut quand même ressemble eefje un petit peu ça voilà donc la ge puissance à l'exposant du e1 j'ai un produit je peux très bien d'après les lois de puissance écrire que cee puissance hélène 2 2 le tout à la puissance ln2 xj creekside du dessous et le reste je le change pas donc sur hélène de 2 - 1 sur hélène 2 2 et là je vais faire l' inverse de ce que j'avais fait auparavant je vais dire que puissance hélène de 2 e et le logarithme né paie rien ce sont deux fonctions réciproque donc que puissance hélène 2 2 tout ça ça fait deux donc au lieu de m'embêter avec here puissance hélène de deux je vais tout simplement écrire 2 est donc cette fonction ces deux puissances hélène 2x sur hélène de 2 - 1 sur hélène 2 2 voilà donc j'ai réussi à calculer cette intégrale cette intégrale me donne une primitive de la fonction qu'on m'a donnée au départ d'ailleurs si tu dérive la fonction cette fonction on vient d'obtenir tu trouveras sans peine la fonction qu'on ne qu'on avait au départ et pour obtenir toutes les primitives il suffit de faire varier la constante c'est à dire au col yeux de cette constante 1 sur hélène 2 2 que l'on retranche à la fin il suffit de mettre plus c'est donc on répond que les primitives de cette fonction sont de la forme les fonctions x qui a les fonctions pardon qui a x associe deux puissances hélène de vic-sur-aisne de deux plus c est