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Intégration par changement de variable d'une fonction rationnelle

Transcription de la vidéo

ok on va calculer l'intégrale entre 1 et 2 de la fonction 4 x cube sur un x puissance 4 +7 dx pour calculer cette intégrale ben on voit pas comme ça de primitives évidente de cette fonction là mais on remarque que le 4 x cube qui est au numérateur c'est la dérive et du dénominateur donc on a une fonction dont le numérateur et la dérivée d'une et dominateur donc cette fonction 4 x cube sur x puissance 4 + 7 est en quelque sorte de la forme une prime sur rue ou un us et la fonction d'une et dominateur uc x puissance 4 + 7 et u primes basses et la dérivée de la fonction us et 4 x cube ou 4 x cube c'est bien la dérive et du du dénominateur et bien toute fonction de la forme du prime sur u admet comme primitive la fonction logarithme de valeur absolue de u ou alors logarithme de russie c'est une fonction positive là on a x 4 + 7 c'est évidemment une fonction positive donc ça peut s'intégrer en logarithme de u ça ça se vérifie aisément en considérant eu comme une fonction de x et en dérivant ceci comme une fonction composer maintenant si on sait ça si on ceci on sait déjà cette règle là et bien on peut on a pas de changement de variables à faire on peut directement prendre une primitif ce sera le logarithme 2x puissance 4 +7 maintenant pour bien te montrer que ça donne la même chose je vais quand même faire le changement de variables et là on pourra se rendre compte de ce qui se passe et on se rappelle qu'à chaque fois qu'on a une fonction dont un petit bout et la dérive et d'un autre petit bout on pense aux changements de variables et donc on va faire un changement de variables on va appeler eu une partie de la fonction alors quelle partie de la fonction il vaut mieux appeler eu il vaut mieux appeler eu la partie de la fonction dont on a reconnu la dérive et 4 x cube c'est la dérive et 2x puissance 4 + 7 on m'appelle eu x puis thirsk a plus cette voie là ensuite on dérive par rapport à x notre expression de u et on écrit ça comme les physiciens des u / dx des u sur des x c'est égal à 4 x cube ce qui veut dire une petite variation de l'ugt / une petite variation de x nous donne 4 x cube c'est la même chose à peu près je vais pas trop m'étendre là dessus mais c'est quelque chose à peu près que dire que la dérive et c'est le coefficient directeur de la tangente maintenant on multiplie par des x ça nous donne des egratz le 4 x cube dx et on va pouvoir remplacer le 4 x cube dx dans l'expression de notre intégral par des eu et le x puissance 4 + 7 par husky faisait ce qui veut dire qu'on va obtenir une intégrale en fonction des u qui sera plus simple que l'intégrale en fonction de x que l'on avait déjà il ne faut pas quand même oublier le problème des bornes intégral notre intégral qu on a hot qu'on avait au départ c'était une intégrale entre 1 et 2 ce qui veut dire c'est c'était une intégrale lorsque x varie entre 1 et 2 maintenant moi je voudrais aussi exprimé les bordes en fonction de i2 eu lorsque x varie entre 1 et 2 dans quel intervalle uva rit-il et bien pour ça on va substituer 1 et 2 dans l'expression de u on va dire lorsque x égal à 1 la borne inférieure de notre intégral nous a donné alors eu vos combien uveau x puissance 4 + 7 comme on l'a vu vos dans ce cas-là impuissance 4 + 7 ce qui fait 8 et lorsque x égal 2 combien vaut eu d'un hub os x puissance 4 + 7 c'est à dire deux puissances 4 + 7 et 2 puisqu'en seat ça fait 16 et 16 plus est ça fait 23 ce qui veut dire que l'intégrale que je cherche à calculer c'est plus une intégrale entre 1 et 2 c'est une intégrale entre 8 et 23 2 des u sûr eu autrement dire une intégrale entre 8 et 23 2 1 sur eu des eu et donc nous cherchons une primitif de la fonction insu rue et primitive de la fonction sur u on la connaît c'est logarithme hélène de valeur absolue de u mais bon là j'ai pas besoin d'écrire les valeurs absolues parce que je suis entre 8 et 23 qui sont des nombres positif d'intervalle dans lequel la valeur absolue de huê est exactement pareil donc c'est le logarithme des périodes ont eu à prendre entre 8 et 23 donc la valeur de l'intégrale ce sera tout simplement la différence entre les deux le logarithme drainé période 23 - le logarithme les perrières de 8 ou alors plus simplement si on connaît nos doigts de logano loi le logarithme on sait que ça fait le logarithme des périodes 23 8e ce qui donne environ si on veut une estimation ça donne environ 1,06 donc là on a valeur exacte est on a une valeur approcher et donc tu as vu qu'on a pu réussir à calculer la valeur d'une intégrale en opérant un changement de variables et on n'est pas passé par la primitive de 4 x cube plus sur x 4 plus est on n'a pas explicité 7 primitive mais ça nous est égal parce qu'on a quand même réussi à calculer l'intégrale qu'on voulait