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Intégration par changement de variable d'une fonction racine carrée

Transcription de la vidéo

bien dans cette vidéo on veut calculer l'intégrale entre 0 et 1 de la racine carrée de ces ticks +9 dx une racine carrée ça s'intègre en la mettant en transformant la notation racine carrée en puissance un demi et en traitant ceci comme une fonction puissance donc je vais dire c'est l'intégrale entre 0 et 1 de 7 x + 9 à la puissance 1/2 dx vient alors l'idée la c2 comme on voit pas immédiatement bien une primitif de cette fonction de chercher un changement de variables à faire et on se dit ce serait bien si au lieu de racine carrée de cette xts us 9 on avait racine carrée d'une seule variable donc on aimerait bien appeler poser ugal 7x +9 et faire un changement de variables comme ceci bon on se dit oui mais ça on le fait parce que quand on voit la dérive et de seddik ce bus neufs dont la fonction est là la dérive est de 7 x + 9 c'est la fonction constante et gallas est et je ne la vois pas dans la fonction voilà ça c'est pas ça qui va nous arrêter un c'est pas un problème de faire apparaître la dérive est de 7 x + 9 on peut dire par exemple que la racine carrée de 7 x + 9 c'est un septième fois cette fois la racine carrée de 7 x + 9 et si on écrit ça eh bien on aura bien la dérive et de racines de sétif du snuff le set qui apparaît et on aura une un coefficient 1 7e par lequel on va multiplier la valeur de notre intégral ça ne posera aucun problème donc on fait le on peut faire le changement de variables comme ça ça va très bien passé maintenant je voudrais te montrer que lorsque la fonction qu'on appelle une et d'une fonction affine sous la forme à x + b comme ici elle est sous la forme c'est ticks +9 on peut directement retrouver la primitive en rendant le changement de variables implicite c'est à dire en faisant comme si on le fait mais en ne le montre on ne le montre en pas parce qu'on a une règle vin qui est en quelque sorte un changement de variables escamoté pour trouver une primitive de la fonction racines de cet x + 9 en fait d'une fonction composés dont la fonction à l'intérieur et affine sans vraiment explicite et un changement de variables mais je te dis encore si on avait poussé jusqu'au bout cette idée du changement de variables on aurait trouvé l'intégrale son problème simplement là on va la trouver mais un petit peu plus rapidement en appliquant la règle qui dit que je vais intégrer ces ticks +9 puissants ennemis comme si cet x + 9 c'était une variable comme si c'était lui c'est comme si cet x + 9 ct us était c'était une seule lettre à la et je vais ensuite prendre une petite précaution supplémentaire donc si j'ai ainsi je considère cet x + 9 commettant un nombre variable une seule entité quand j'intègre puissances ennemies l'âge applique la règle de l'intégration de la fonction puissance quand j'intègre x puissances ennemies l'exposant augmente de 1 ça me fait puissance 3/2 donc là je vais avoir mon même 7x +9 qui va être à la puissance 3/2 il faut encore que je divise par le 3/2 est divisé par trois demis ça va être multipliée par deux tiers donc je obtient deux tiers de ces ticks +9 à la puissance 3/2 ça c'est presque la primitive que je cherche si jamais on dérivait ce deux tiers de ces ticks +9 ^ 3 me eh bien on s'apercevrait que ben on obtient bien c'est ticks +9 à la puissance ennemie mais comme d'après la règle de la dérive et la fonction proposée je dois x la dérive et interne je vais devoir multiplier sa part 7 et donc je vais obtenir une dérive et cette fois trop grande qu'est ce que je fais pour y remédier et bien devant le devance est primitive je divise pas recette pour toute cette primitive de la divise pas recette autrement dit je multiplie par un septième est donc je vais avoir un septième fois deux tiers x 7 x + 9 puissance 3/2 voilà et donc là ça lorsque je vais dérivés ça si je dérive le deux tiers de ses excuses 9 puissance 3/2 j'obtiens bien effectivement une dérive et qui est cette fois trop grandes mais comme je l'aurais x un septième jeu bien retomber sur mes pattes je vais retrouver exactement la fonction que j'avais au départ donc voila voila la primitive qu'on va prendre pour la fonction qu'on avait au départ et donc on met autour de cette primitive la des crochets et on l'apprend entre 0 et 1 donc je résume ce qui se passe je résume ce qu'on a fait lorsqu'on a une fonction composés dont la fonction intérieure est une fonction affine sous la forme à x + b eh bien on prend cette fonction affine on fait comme s'il ne s'agissait que d'une seule variable on intègre cette fonction on intègre la fonction opposé comme si la fonction affine était une seule lettre une seule variable et après une fois qu'on a fini on divise tout ce qu'on a trouvé par la dérivée de la fonction affine par le coefficient directeur de la fonction affine comme la g / 7 et ben maintenant qu'on a ça il ne reste plus qu'à calculer on va calculer donc un septième fois deux tiers déjà on va dire que c'est 2 21e donc ça c'est 2 21e de 7 x + 9 à la puissance 3/2 à prendre entre 0 et 1 bon ben on va substituer un substitut et 0 et faire la différence entre les deux donc 2 21e de six jeux substitue un ca fait cette fois un +9 ça veut dire 16-16 à la puissance 3/2 alors c'est à la puissance 3/2 ses seize fois racines de 16 et racines de 16 c 4 donc c'est à la puissance 3/2 ses 16 x 4 c'est donc 64 et 64 x 228 donc ça va me faire 128 21e et je dois retirer à ça ce qui ce que j'obtiens quand je substitut 0 donc moins 2 21e d'aubin 7x a fait 029 à la puissance 3 2 me et 9 à la puissance 3/2 c9 racines de 9 et racines de neuf ces trois c'est donc 9 x 3 27 x le du numérateur 54,54 21e j'obtiens donc comme résultat de mon intégral 128 mo 21e -54 21e alors quand je reprends 128 21e et que je lui retire 54 21e combien va-t-il me restait de 21ème il suffit de faire la différence il reste 60 14/21 21 c 3 x 7 74 c'est pas divisible par 3 c'est pas divisible par cette non plus parce que 70 divisible par cette donc 74 21e c'est une fraction irréductibles donc là on a trouvé la meilleure écriture de la valeur de notre intégral