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Intégrer grâce à un changement de variable avec une fonction exponentielle de base 2

Transcription de la vidéo

ok disons que nous voulons calculé l'intégrale de 0 à 1 de la fonction x o car est multiplié par deux puissances xo cube dx alors qu'est ce qu'on voit qu'est ce qu'on peut constater qu'il pourrait nous aider à la calculer l'une des choses qu'on peut constater déjà c'est qu'il y à un x au cube et une multiplication par ixo carrés dans la fonction que l'on intègre et ça c'est quelque chose qui doit nous faire penser à un changement de variables pourquoi parce que x au carré x au carré c'est à une constante près la dérive et 2x au cube et quand on voit apparaître dans la fonction que l'on intègre une partie qui est une fonction et une autre partie qui a dérivé de cette fonction surtout lorsqu on multiplie par la dérive et ça c'est quelque chose qui nous faire penser à un changement de variables et là le changement de variables c'est de prendre le xo cube là et de l'appeler eu et en général ça débloque bien la situation et puis là aussi on va le voir donc on va poser une égale x au cube et on va faire ce changement de variables là est la première question à se poser quand on fait un changement de variables sait par quoi remplacer des eu et ensuite par quoi remplacer les bornes d'intégration donc pour des eu et bien d u sur des x c'est-à-dire l'art dérivés de l'ue par rapport à xla dérivés de 3 2 x au cube et la dérivée du x occupent ces 3 x o car est donc d u sur dx égal 3 x au carré et je multiplie à gauche et à droite par des x et ça me donne des u égal 3 x au carré des x donc voilà ça c'est la clé qui va me faire passer de déu à des x tu me diras j'ai pas dans mon intégration 3x au carré dxy manque le 3 c'est pas grave y'a qu'à diviser par trois échecs à dire que x au carré fois dx c'est un tiers de dut exactement la même chose parce que là et là dans mon dans la fonction que j'intègre j'ai bien x au carré fois dxy je vais le remplacer par un tiers de déu et à la place de mon x occupe je vais mettre eu maintenant prenons la précaution de vérifier les bornes d'intégration parce que l'intégrale de 0 à 1 dx ça veut dire lorsque x varie entre 0 et 1 mais eu qui est égal à ixxo cube peut être varie-t-il dans un autre intervalles donc nous calculons les bornes d'intégration lorsque x est égal à zéro à dire la borne inférieure d'intégration que j'ai 70 x est égal à zéro et qu'est ce qui arriva eu quantique c'est d'égal à 0,20 us et 0 au cube et 0 occupe ça fait également 0 et je vais faire la même chose avec la borne supérieure l'intégration lorsque x est égal à 1 et pas qu'est ce qui arriva u u c'est également au cube et occupent ces c1 voilà donc notre but est égal à 1 et également lorsque x est égal à 1 donc là il s'avère dans ce cas particulier là que l'intégrale en fonction de x 2 0 à 1 va nous donner aussi une intégrale en fonction de hull qui est également de 0 à 1 mais en général quand tu fais un changement de variables les bornes d'intégration change donc n'oublie pas de faire cette vérification et mais maintenant il est temps de réexprimer l'intégrale qu'on nous a donnée en fonction de huées pas en fonction de x en espérant qu'elle sera plus facile à calculer et bien évidemment elle le sera donc qu'est ce qu'on a dit on a dit qu'on remplace et icare et dx par un tiers de déu et on a dit qu'on en place est le x cube de la opah ru et donc ça nous donne l'intégrale entre 0 et 1 de 1/3 fois deux puissances ont eu des u c'est quand même plus facile à intégrer que ce qu'on avait dans l'énoncé ont déjà le 1/3 c'est la multiplication par une constante je peux le sortir de l'intégrale sortons le ça nous donne un tiers voile intégral entre 0 et 1 2 deux puissances eu des u et on se dit qu il faudrait trouver une primitive de la fonction exponentielle de base 2,2 puissant su qu'elle primitive est ce qu'on peut trouver soit tu la connais et a pas de problème soit tu la connais pas et voilà comment tu peux la retrouver une fonction exponentielle dont on connaît facilement à dériver la primitive c'est la fonction exponentielle de base eux parce que impuissance eu sa dérivée s'est elle même c e puissance eu autrement dit une de ces primitifs c'est aussi elle même un donc si on avait eu puissance eu ce serait pratique moi je me dis c'est dommage d'avoir une exponentielle de base 2 j'aurais bien aimé avoir une exponentielle de base eux mais peut-être que je peux transformer cette exponentielle de base 2 en exponentiel de base eux tout simple comment faire tout simplement en exprimant 2 comme eux puissance quelque chose alors je vais écrire là en dessous d'eux j'aimerais bien dire que c'est eux puissance quelque chose alors 2 c e puissance combien qu'est-ce qu'il faut mettre à quelle puissance faut-il élevé eux pour obtenir comme résultat 2 et bien ça c'est j'ai exactement la définition du logarithme n'était rien de 2,1 c e puissance elle n 2 2 qui vaut deux c'est le logarithme libérien ellen et l'exponentielle de basseau eux ce sont deux fonctions réciproque donc quand on applique lune et puis l'autre on revient au point de départ un peu puissance elle n 2 2 ça fait deux voilà donc le sait ça va me servir à écrire deux sous la forme de puissance quelque chose parce que puissance quelque chose je sais mais on trouvait une primitive et donc de puissance eu là il reste plus qu'à rajouter les puissances hull ça me fait un puissant celle n 2 le tout à la puissance us ce qui me fait un puissance eu hélène de deux parce que je peux multiplier les exposants et je verrai écrire mon intégrale avec un puissant sue ellen de 2 au lieu d'écrire de puissance eu donc qui vont là là en dessous ça me donne un tiers fois l'intégrale de 0,1 2e puissance qu elle n 2 des u hélas ce qu'il ya dans l'intégrale j'ai pas trop de problèmes pour en trouver une primitive parce que impuissance eu hélène de 2 c e puissance une fonction affine elle n 2 2 c'est une constante et je sais prendre les intégrales et primitif j'ai trouvé les primitives de fonctions composé par une fonction affine donc allons-y c'est un tiers crochet alors impuissant sue ellen de 2 donc ça primitif c'est comme toutes les fonctions exponentielles elle même c'est à dire depuis sensuelle n 2 2 mais il faut que je divise par la dérivée de la fonction qui est à l'intérieur de l'ex potentiel on divise par la dérivée de la fonction interne dans ces cas là qu'elle a dérivé de hull n 2 2 par rapport à ucl n 2 2 tout seul donc c / haleine 2 2 et je referme mon crochet et je dis que ça c'est apprendre entre 0 et 1 et là on a pratiquement fini il suffit d'évaluer ceci pour u égal 1 d'évaluer ceci pour eux égal zéro et de faire la différence écrivons le donc tout ceci c'est égale à un tiers fois on les parenthèses donc on évalue en 1 ça fait un puissance 1 hélène de 2 sur hélène de 2 - on évalue à 0 ça nous donne de puissance 0 elle n 2 2 sur l aine de deux ça ça simplifie très bien c'est égale à un tiers fois et bien la première fraction au numérateur on a une puissance hélène de 2 1 et n 2 ne selene de ses pareils de puissance elle n 2 2 1 on vient on l'a dit un petit peu plus au pee et logarithme sont deux fonctions réciproque ça s'annule ça fait deux donc le numérateur de la première faction c2 et la première faction ces 2,2 sur hélène de 2 - la deuxième fraction ces deux puissances 0 haleine 2 2 tout autrement dit impuissant 0 quand on multiplie un nom par zéro ça fait 0 me puissance 0 ça fait 1 donc le numérateur la deuxième infraction c'est un 1 sur rennes 2 2 est donc là si je regarde la soustraction de traction géré entre parenthèses c'est très facile c'est le même dénominateur gk soustraire les numérateur et numérateur ces 2 - 1 ça fait 1 et donc j'obtiens de moins-11 sur hélène de deux que je dois encore x un tiers ce qui me donne un résultat final de 1 sur 3 hélène 2 2 et voilà comment j'ai calculé mon intégral par un changement de variables