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Primitives de xcosx en intégrant par parties

Transcription de la vidéo

ok on avait vu à la vidéo précédente la formule de l'intégration par partie en avez vu que ça pouvait nous aider à calculer des intégrales d'un produit de fonction dont on voyait pas bien la primitive et bien on va essayer d'appliquer sa et en même temps on va voir que calculer une intégrale ça peut nous servir à trouver des primitives de fonction par exemple donc là notre but dans l'exemple qu'on va faire ça va être de trouver les primitifs de la fonction qui a x associe x caussinus x et pour ceci je vais me servir de ce qu'on appelle le premier théorème fondamental de l'analyse on avait parlé du deuxième on va parler du premier et le qu'est ce qui nous dit le premier du théorème fondamental de l'analyse il nous dit que si f est une fonction dont on peut calculer une intégrale en général les fonctions dont on peut calculer une intégrale tu peux considérer que ce sont les fonctions qui sont continues par morceau donc si elle fait une fonction continue par morceaux dont je vais pouvoir trouver une primitive de f en calculant l'intégrale entre n'importe quel nombre petits tas et x2 f2 tdt et ça si je réussis à calculer cette intégrale ça va me donner une fonction de x qui va être qui va être une qui va être une primitif de f parce que voilà si je trouve si je jamais je trouve une primitive de ceci et bien ça me ferait jeu calculerait grand f 2 t à prendre entre petits tas et x ce qui me donnerait grand f 2x moins grand en f2 à et si je dérive par rapport à x grand f 2 x - grant f2 à et bien grand f 2 x a dérivé c'est petit f2 x comme on vient de le dire et grant f2 à c'est une constante sa dérive et c zéro donc je vois bien qu en dérivant cette intégrale je retrouve bien f 2 x donc cette intégrale me donne bien une primitive de f2 x et sacs 2010 le terrible au premier tour m fondamental de l'analyse donc la fonte maintenant revenons à notre fonction qui a x associe x que six music ce c'est une fonction qui est continuelle et continue si elle est continue elle sera donc continuer par morceau donc on peut calculer sont intégrés on va pouvoir trouver une primitive et une primitive va être donné par la formule intégrale de bain ne n'importe quoi disons par exemple 2 0 ax de thé caussinus tdt et voilà donc si je réussis à calculer cette intégrale ça va me donner une primitif de la fonction x caussinus x maintenant je pense je constate que sous le signe intégral g1 produite de fonction et je me dis je vais peut être essayer une intégration par parti alors pour essayer une intégration par partie je me demande mon produit de fonction il va correspondre à quoi dans la formule c'est à dire est-ce que f2f 2x de la formule va me donner tes et j'ai primes de x sommes donnés caussinus t ou est-ce que celle inverse ce que je vais considérer que fpf 2x c'est caussinus t et que j'ai primes de x et hey hey bien pour le savoir il faut se dire que essentiellement le travail qu'on va avoir à faire ses calculs et l'intégrale qui est tout à fait à droite l'intégrale de f prime de licques g2x dx en en espérant qu'elle sera plus simple que l'intégrale que j'ai au départ et donc on va se dire moi j'aimerais bien que mon expriment ils soient plus simples que le f que pour ça me simplifie les choses et j'aimerais bien que le g qui est une primitif de geprim et bien ils soient pas beaucoup plus compliqué que le g prime et c'est ça qui va m'aider à choisir qu'est-ce que je prends pour f qu'est-ce que je prends pour des primes là par exemple je m'aperçois que si je choisis que f 2 x correspond à thé et que j'ai primes de x correspond à cosin 6 et bien que ça va me donner quoi dans l'intégrale qui est tout à fait à droite qui est vraiment celle que je vais devoir calculer et bien ça va me donner que f primes de x et la dérive et 2x donc c'est un donc c'est bien ça la dérive et f primes de x est vraiment plus simple que que f 2 x parce que un c'est plus simple que x et si j'ai primes de x et caussinus x alors g2x et une primitif de cosinus et une primitif de cosinus ses sinus donc g2x n'est pas beaucoup plus compliqué que j'ai primes de x quand je remplace caussinus parti nous sommes ça me complique pas phénoménalement ma formule donc je vais faire ce petit tableau là que je te conseille de toujours faire quand tu fais une intégration par parti pour dire à quoi correspond à f à quoi correspond cette prime à quoi correspond g et à quoi correspondent les primes et bien f ça va être t f prime ça va être un g ça va être ça va être sinus de thé et geprim ça va être caussinus de thé comment lui convient de le dire aie aie reste plus qu'à remplacer tout ça dans la formule de l'intégration par partie et on obtient que l'intégrale de zéro à x de thé caussinus tdt c'est d'abord f2 tg de thé c'est à dire 1 x fois ci nous x à prendre tes fois s'illuster pardon à prendre entre 0 et x - l'intégrale à prendre entre 0 et x de f primes gels et bien f prime gc 1 fois ci nous x c'est un x s'illuster pardon un fois sinus tdt et je vois tout de suite que la de cette dernière intégral est très facile à calculer c'est pas un problème donc faisons le calcul on doit calculer on doit évaluer t sinus t entre 0 et x ça me donne ça ça va me donner x 6 x - 06901 je remplace t paris que c'était par zéro et fait la différence voilà et ensuite je recopie le signe - et mon intégrale de sinus t20 je connais une primitif de sinus tc moins que sinus t donc là je calcul intégral en trouvant la primitive je vais avoir moins peu s'illuster à prendre entre 0 et x a donc la maintenance et du calcul tout simple ça va me donner quoi ça va me donner x6 musique ce bon le deuxième terre niveau zéro je l'écris pas moins entre parenthèses maj évalue la fonction en ique ça me fait moins caussinus x ensuite - - ça donne plus que sinus 2 0 ensuite je vais ouvrir les parenthèses un sam dunn x6 news x + caussinus x et - caussinus de 0 c - 1 et donc voilà une fonction qui est une primitive de la fonction x caussinus x mais quand on ne connaît une on les connaît tout il suffit d' il suffit de rajouter une constante c'est à dire de changer la constante - 1 en plus c'est pour pour dire que si je prends n'importe quel constante je vais pouvoir trouver je vais pouvoir trouver une primitive de x caussinus x donc les primitives de la fonction calixa se hisse xcs aussi musique ce sont deux là forment une fonction qui a x à ceux ci x 6 x + caussinus x plus c'est parce que là on a trouvé une constante et gala - saint mais la constante peut être égal à ce que je veux ça ne changera pas la dérive et et tu peux essayer dérivés xxi musiqueplus caussinus x et tu verras que tu trouveras bien x caussinus x