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Primitives de x²exp(x) par deux intégrations par parties

Transcription de la vidéo

ok on va servir de cet exemple de vidéo pour essayer de comprendre quand l'intégration par parties pourraient éventuellement être une bonne idée jeudi pourrait éventuellement parce que l'intégration par partie avant de l'avoir testé on n'est jamais sûr si ça va bien marcher donc voila tu as la formule l'intégration par parti qui a écrit tout en haut et l'idée c'est qu'on va penser à essayer d'intégration par partie lorsqu'on cherche à calculer l'intégrale d'un produit de deux fonctions f2 tg prime de thé ou lorsque je dérive la fonction je vais appeler f j'obtiens quelque chose de plus simple ce que ce que j'avais avant et lorsque je prends la primitive une primitive de la fonction que j'appelle g primes de la fonction j'appelle geprim j'obtiens quelque chose qui n'est pas beaucoup plus compliqué dans l'espoir que l'intégrale qui est tout à fait à droite de la formule l'intégrale de à x de f prime de tg de thé d'été soit plus simple à calculer que l'intégrale qu'on avait au départ et donc on va essayer de faire un exemple là dessus en trouvant les primitives de la fonction qui a x associe x au carré depuis 106 et là on se dit que ce serait une bonne idée d'essayer l'intégration par partie pas seulement parce que c'est le titre de la vidéo mais parce que on va être dans ce cas là donc pour trouver et primitive de cette fonction là il faut que je calcule l'intégrale de du nombre que je donne n'importe quel nom que je peux choisir en général on met 0 lorsque la fonction est défini en zéro donc l'intégrale entre 0 et x2 cette fonction de tes c'est-à-dire de thé au carré de puissance tdt voilà c'est ça qui va nous donner une primitive et ensuite en faisant varier la contente on aura toutes les primitives bien alors là on se dit que l'intégration par parti peut éventuellement être utile parce que tu es au carré est ce que lorsque je le dérive ça me donne deux tu es donc ça me donne quelque chose du premier degré qui est plus simple que ce que j'avais au départ tu es au carré qui est du second degré et lorsque je et lorsque je prends une primitive de impuissance tu es si je considère puissance t comme étant geprim et bien eu puissance tessa c'est une fonction qui a la bonne idée d'être s'apprend primitif et sa propre dérivés donc si je prends une primitive de puissance t il ça reste puissante et donc évidemment c'est pas plus compliqué donc on se dit qu'on va simplifier les choses en intégrant par partie et bien allons-y 1 dans ce cas là donc fait toujours le petit tableau à droite pour dire ce que c'est que f ce que c'est que j'ai ce que c'est que exprimer ce que c'est que j'ai prime sinon tu risques de temps brouillé dans les notations d'accord donc f on a dit que cet été au carré f de thé dans ce cas-là f prime de tessé sa dérive et ses 2 t et le e puissance et qu'on a c'est geprim et geprim de thé donc ces deux puissances t es comme puissance tcsa propres dérives et sa propre primitive la g de thé va être également impuissance t hélas il ne reste plus qu'à remplacer dans la formule c'est donc f2 tg 2 t à prendre entre 0 et x et donc tu es au carré de puissance et que je prends entre 0 et x - l'intégrale entre 0 et x de f primes c'est à dire de 2 t e puissance tdt voilà et là le crochet on peut le calculer donc ça me donne je remplace parix x au carré depuis 106 et puis quand je remplace par zéro ça fait zéro 1-0 au carré ça fait zéro donc je l'écris pas - l'intégrale que je recopie entre 0 et x2 puissance t&e de 2t pardon impuissance tdt et là on se dit ben non on est coincé ça n'a pas marché l'intégrale que j'obtiens je sais toujours pas la calculer on pourrait abandonner là en se disant mais non intégration par partie ça n'a pas marché on est coincé mais on peut aussi se dire et quand même l'intégrale qu'on a obtenu à droite elle est plus simple que celle que j'avais au départ et si je recommençais une intégration par partie et si j'en faisais une autre j'obtiendrai peut-être en à une intégrale qui sera encore plus simple et enfin de scellage pourrez calculer et ben oui on va refaire une deuxième intégration par partie pour calculer l'intégrale de droite en tête écrire ça à part sinon ça va trop nous compliquer les choses donc là on cherche à calculer l'intégrale entre 0 et x2 2 t de puissance tdt et dans ce cas là bas qu'est ce qu'on va prendre comme fonction f dans celle qui se décrivent excellent qui donne une dérive est plus facile donc on fait notre petit tableau de sur le côté f de thé égale g de thé égalé frime de thé égale geprim de thé égal bon là je commets un petit abus de notation parce que dans mon exercice j'appelle f deux choses différentes en théorie en mathématiques on n'a pas le droit bon ce que je fais à droite c'est considéré c'est un petit peu considéré comme un brouillon 1 on va on va dire que dans ce cas très spécifiques comment c'est ce qu'on fait on peut commettre cet abus de notation donc notre f ici c2t parce que sa dérive elle est plus simple ça dérive et c'est juste 2 et notre g de thé c e puissance t pour le coup il change pas par rapport aux jets de tes précédents un autre geprim doté pardon ces deux puissances télé lorsque j'intègre ça ne donnait 807 et donc il n'y a pas de grands changements donc appliquant la formule ça me donne f2 tg de thé c'est à dire 2 telle puissance t à prendre entre 0 x - l'intégrale entre 0 et x de f prime g c'est-à-dire de 2o puissance tdt et la mondah on va on va évaluer ce qui a entre crochets donc je remplace t par xom 2x puissance x ensuite quand je remplace t par zéro je me rends compte que ça va faire zéro dont je l'écris pas - et maintenant lorsque je m'intéresse à cette intégrale de deux puissantes et je m'aperçois qu'il n'ya aucun mal à trouver une primitif de cette fonction une primitive de cette fonction c'est également deux puissances t après quand je remplace quand je multiplie une fonction par la constance multiplient également une primitif de la prime des six primitive toutes ces primitifs par la même constante à la primitive de puissance tc puissance t enfin la meilleure la plus pratique et dont une primitif de deux puissances t ce sera deux puissances t que je prends entre 0 et x et là je vais avoir aucun mal à calculer ça et lorsque j'aurai la valeur de cette intégrale pour elle a substitué dans la première formule que j'avais laissé en plan lorsque j'avais cru être coincé donc je recopie losique ce puissant 6 - on j'évalue crochet en remplaçant par xom fait 2e puissance x et ensuite j'ai moins - qui va me donner plus de zoo puissance 0 c'est-à-dire +2 et voilà donc toute cette intégrale elle vaut 2 x puissance x - 2e puissance x + 2 donc je peux revenir à la première intégrale que je calculais et substituer ce que j'ai calculé donc ça me donne que l'intégrale entre 0 x2 théo carré e puissance tdt est égal à ixxo carré impuissant 6 - 2 x puissance x attention - moins d'hommes plus de the peace en slicks et et là le signe du deuil va aussi changer je vais obtenir moins deux et voici une primitive de la fonction x carré depuis 106 s'y substituent dérive cette fonction là tu trouveras bien x au carré puissance x et comment me demande tout les primitives pour les obtenir il suffit que je fasse varier la constante est à dire qu à l'ap c'est à dire qu'à la place du moins de jeux mais de plus c est les prix et donc je peux écrire comme réponse que les primitives de la fonction qui a x assauts 6/4 et le puissant six sont les fonctions de la forme x associe à je vais mettre le puissant six ans facteur lui obtient x au carré - 2x plus 2e puissance x et je n'oublie pas plus c'est