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Transcription de la vidéo

si x est un nombre réel voilà la notation qui désigne la partie entière de x qui je te le rappelle est le plus petit entier inférieur ou égal à x par exemple la partie entière de 2,5 c 2 la partie entière de 127,3 ses 127 et la partie entière de moins 3,2 c - 4 faire attention avec les négatifs ont défini une fonction f sur l'intervalle moins dix 10 fermé paref 2x est égal à x - parties entières de xx et un père et f2 x est égal à 1 plus partie entière 2x moins xx et perd et on nous demande de calcul et l'intégrale on nous demande de calculer pardon picard et sur dix fois l'intégrale de -10 à 10 2 f 2 x caussinus px dx on se rend pas bien compte de comment on va faire on va peut-être avoir du mal à prendre une primitive de cette fonction-là telle qu'elle est on va essayer de se rendre compte des fonctions qui interviennent dans ce calcul intégral donc là je vais dessiner un repaire de coordonner la sur mon axe des abscisses que je suis en train de graduer juste pour se rendre compte de ce qui se passe à quoi ressemble cette fonction et je vais m'intéresser à x - parties entières de x alors x - parties entières de hic c'est ce qu'on appelle la partie fractionnaire 2 x c'est-à-dire en gros ce qui va rester après la virgule quand on enlève quand on enlève la partie entière pour les nombres positif donc si je regarde juste la partie entière 2x la partie entière 2x entre 0 et 1 c'est la partie entière de 0,6 que je veux bien ce sera zéro core 2 0 compris jusqu'à 1 non compris a donc cette partie entière l'a entre 0 et 1 la partie entière 2 x 2 0 entre 1 et 2 sont des nombres du type 1,4 chose la partie entière 2x vaudra 1 1 qu'on peut 6-1 et compris et deux non compris évidemment parce que la partie entière de deux c'est déjà deux entre deux et trois de la même manière la partie entière 2x tout seul ces deux donc qu'est ce que va bien pouvoir être x - parties entières de x ton comme on l'a dit c'est la partie fractionnaire 2x est un plus parties entières de l'x moins 6 et 1 - la partie fractionnaire 2x en moins ce qui as qui a après la virgule donc c'est donc le complément terrain de ski après la virgule donc ces deux fonctions là ça va prendre des valeurs entre 0 et 1 si je pars de zéro ben pour entre 0 et 1 c'est assez facile parce que la partie entière de xo 0 donc tout ce qui nous reste c'est la fonction au moins x et la fonction à -6 on s'est quand même la tracé entre 0 et 1 1 cc ce segment de droite là d'accord maintenant entre 1 et 2 on a x - parties entières de x et là paf il ya c'est la partie fractionnaire de x donc c'est quelque chose qui va monter linéairement tu sais qu'il va monter de manière à fine un segment de droite entre le point 1 le point d'abc sain et d'ordonner 0 et le pont d'arve 6-2 et d'ordonner un voilà donc je trace ici là le segment entre le point 1 0 et le point 2 1 qui va me représenter la partie fractionnaire x - parties entières de x ensuite entre 2 et 3 je vais de nouveau ravoir le complémentaire à un de la partie fractionnaire c'est au moins la partie fractionnaire mais la partie fractionnaire c'est ce qu'il ya après la virgule ça va se répéter donc ça va nous donner exactement la même chose que ce que ça me donnait entre 0 et 1 puisque c'est au moins la partie fractionnaire et la partie fractionnaire c'est quelque chose de périodiques qui se répètent dentier en entier je vais donc avoir exactement le même graphe qui va descendre jusqu'à 0 que ce que j'avais entre 0 et 1 et entre 3 et 4 j'aurai de nouveau la partie fractionnaire telle qu'elle est donc ça va monter et tu comprends que ça va être comme ça périodiques je veux obtenir une fonction qui est périodique de période 2 ça c'est le graphe juste de la fonction f1 c'est pas la fonction condron intégrer c'est le graphe juste de la fonction f maintenant la fonction caussinus de pecixe dx on connaît le graphe de la fonction caussinus et une fonction périodique de périodes de pi la fonction caussinus de pie x elle aussi va être périodique de période 2 et son grave va ressembler furieusement aux graves de la fonction que sinus lorsque xv au héros le cosinus 2 0 c'est un lorsque xv au 1 g le cosinus de pi qui vaut moins 1 donc lorsque xv au 1 caussinus pxc -1 là je suis en train d'essayer de tracés par dessus juste le graphe de cosinus pie x voilà et lorsque xv au 2g caussinus de deux pays qui comme caussinus de 0,1 et là j'ai eu une période de ma fonction donc je peux tracé je peut tracer une sinusoïde qui coupent l'accès dx11 ni en 1,5 à jeu peut tracer ma sinusoïde 1 comme ici qui va me donner le graphe de la fonction caussinus j'essaye de bien à faire et que je continue périodiquement et je me rends compte que la fonction que je dois intégrer en fait c'est le produit de deux fonctions périodique de période 2 donc c'est une fonction périodique de période 2 et donc sich considère cette intégrale comme une ère sous la courbe je me dis que peut-être ce serait plus judicieux de ne considérer qu'une seule période est de multiplier ensuite parce qu'il faut parce que c'est la mère qui va se répéter périodiquement toutes les deux unités et en plus donc déjà j'en ai un g restreint bons intervalles d'études et je vais pouvoir le restreindre encore en considérant si vous si tu regardes le graphe de ses deux fonctions ce qu'on s'aperçoit qu'il ya une symétrie par rapport à l'axé des ordonnées autrement dit que ce sont deux fonctions père autrement dit le graphe de la partie entre 0 et 1 ça va être il va avoir la même ère sous la courbe que le graff de la partie entre moins 20 et 0 la fonction qu'on me demande intégré c'est le produit de deux fonctions père c'est une fonction père ça je m'en aperçois par symétrie f 2 x et ghallef de moins 6 donc en fait moi je ne vais considérer l'intégrale que entre 0 et 1 je vais calculé l'intégrale de ses fonctions uniquement entre 0 et 1 par symétrie l'intégrale entre -1 et 0 sera la même parce que la fonction et père et j'aurai donc mon intégral sur un intervalle de largeur 2 que je vais pouvoir multiplier par le nombre de fois que ma période se retrouve dans l'intervalle moins 10 10 donc en fait là on a considérablement restreint notre intervalle d'études on considère que notre ère c'est c'est à dire notre intégral picard et sur 10 intégrale d'entre moins dit il c'est 10 de fgx caussinus peas dx c'est notre période va se répéter notre période entre -10 et 10 se répète dix fois mais comme je considère une perrine demi période là dominé période se répète 20 fois donc c'est 20 x 20 x picard et sur 10 l'intervalle entre et l'intégrale entre 0 et 1 2 f 2 x caussinus pics dx intégral entre 0 et 1 2 f 2 x caussinus pics dx donc là j'ai considérablement restreint bons intervalles d'études on pourrait penser il mais à quoi ça nous a servi de restreindre l'intervalle d'études et bien c'est vrai qu'on a exactement la même fonction intégrée la ff2i x caussinus public sauf que entre 0 et 1 entre 0 et 1 si je regarde bien le graphe que j'ai fait si je regarde bien la définition de la fonction entre 0 et 1 f 2 x est tout simplement un -6 et parce que j'intègre entre 0 et 1 parce que j'ai reste raymond intervalle d'études mon intégral a calculé mon père a calculé ça va être l'intégrale entre je vais simplifier le vin ils disent ça me donnait deux pieds au carré l'intégrale entre 0 et 1 2-1 - x caussinus px dx parce que f 2 x entre 0 et 1 c'est tout simplement un - x donc en regardant entre 0 et 1 j'ai tout simplement pu remplacer f 2 x par à -6 et là on a quelque chose de beaucoup plus explicite concernant la fonction à intégrer et donc on y reste plus qu'à se demander comment on va intégrer ça eh bien on va d'abord distribué le 1.6 donc ça ça va être l'intégrale entre cédait 2 picard et fois l'intégrale entre 0 et 1 de cosinus pie x - x caussinus pie x dx là j'ai juste distribués pourquoi j'ai fait ça ben pour séparer les deux intégrales c'est à dire que l'intégrale à calculer je peut séparer les deux intégrales intégra est un opérateur linéaire ces deux picards et fois intégral entre 0 et 1 de cosinus pie x 2 x - intégral entre 0 et 1 2x caussinus px dx la première intégrale ça va pas être un problème de trouver une primitive la deuxième intégral on a x fois une fonction prix donne trigonométriques donc quand on a x fois une fonction trigonométriques le réflexe est d'intégrer par partie pourquoi parce que x ovale dérivés quand on intègre pas reparti un produit de fonction il y en a une qui ont dérivé une comptes intègrent x en vol dérivé ça va donner un donc on va se débarrasser du x et quand on intègre caussinus on obtient du sinus qui ressemblent beaucoup et qui va être facile à intégrer donc on va intégrer sa part parti alors comment l'intègre pas reparti donc on considère que eu la fonction qu on dérive cx dans ce cas-là eu prime va valoir un effet prime la fonction qu'on un texte est une dérive et donc c'est donc on la voit comme une dérive et donc des primes c'est caussinus pxc l'autre partie du produit et donc vesela c'est une primitive de cosinus pie x et caussinus d'une fonction affine donc le cosinus px nous donne du sinus pics et je dois / je dois / le coefficient directeur donc ça va me donner un sur piscine us px et là j'ai eu du prime v&v primes et j'applique la formule de l'intégration par partie et donc mon intégral ça va être deux pays au carré fois parenthèse donc là j'ai la première intégrale cdu caussinus pics et je sais que la primitive c1 sur piscine us pics à prendre entre 0 et 1 en fait c'est ce que je viens juste d'expliquer - là je remplace par la formule de l'intégration par partie ulvé à prendre entre zéro et un cx sur piscine us px à prendre entre 0 et 1 voilà et ensuite j'ai moins par - qui donne plus donc plus l'intégrale entre 0 et 1 2 1 sur pie sinus pics des x et voilà ce qu'on a à calculer on a juste des fonctions maintenant des fonctions a évalué entre 0 et 1 ça on sait le faire c'est juste de la substitution et une intégrale où il n'y a pas de où il n'ya pas de multiplication par x dont on va pouvoir trouver une primitif dont on a pratiquement résolu notre problème maintenant évaluons ceci alors on a quelque chose de très pratique qui va beaucoup nous simplifier la vie c'est que sinus 2 0 et sinus de pi ca vaut zéro donc quand on j'évalue le sinus entre 0 1 0 et en pis ça vaut zéro donc ce les deux premiers crochet ils veulent tous les deux héros je peux m'en débarrasser et donc il me reste plus qu'à m'occuper de l'intégrale donc je vais avoir que mon grand âge que ce que j'ai appelé grands axes cherche à calculer ses deux pieds au carré fois une primitive de 1 / piscine us px et donc ça ça se calcule facilement donc ga je recopie la main sur pie le sinus ça me donne du moins que sinus donc fait avoir moins caussinus pics et faut encore que je dérive par le coefficient directeur de la fonction linéaire qui étaient à l'intérieur du sinus ou encore que je divise par py dont je obtenir du 1 sur picard et donc je vais avoir deux picards et et la fonction moins un sur pied au carré caussinus pics à prendre entre 0 et 1 eh bien faisons le là maintenant ça devient très facile je remplace x par un je vais avoir les picards et qui vont simplifier au numérateur et le dénominateur ça me donnait moins deux caussinus de pi +2 les picards et se simplifier au numérateur et le dénominateur que sinus 2 0 et bien caussinus 2 pi savent au moins 1 donc moins deux fois moins 1 ça fait 2 que sinus 2 0 ça vaut un donc deux fois 1 ça fait 2 et j'obtiens que mon à ses deux plus deux qui comme tu le sais très bien vos 4 donc cette grosse intégral à calculer on a eu besoin d'une intégration par partie on a eu besoin de se rendre compte qu'elle était périodiques pour restreint de notre intervalle d'études et puis à la fin on se retrouve que la valeur et on se retrouve avec le fait que la valeur de cette intégrale et bien c'est tout simplement 4