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Le théorème fondamental de l'analyse (ou théorème fondamental du calcul différentiel et intégral)

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je vais te présenter ce qu'on appelle le théorème fondamentale du calcul intégral donc évidemment comme son nom l'indiqué c'est un théorème important pour cette branche des mathématiques et le calcul intégral et j'espère que j'arriverai de faire comprendre pourquoi cet intérêt mais aussi important alors ce qu'on va faire c'est prendre une fonction continue sur un intervalle ab un intervalle fermé à b donc là j'ai tracé un bout de la courbe représentative et l'intervalle ab ici sur lequel lé défi alors ce que tu sais c'est que puisque la fonction f et continue elle est intégrable au sens de riemann c'est à dire qu'on peut calculer l'air sous la courbe de cette fonction entre les points atp ça c'est le calcul intégral que tu as vu dans les vidéos précédentes alors ce qu'on peut dire aussi c'est que si on prend un point x dans l'intervalle ab donc ici par exemple tracé ici eh bien on peut calculer aussi l'air sous la courbe entre les points à et x donc je peux calculer l'air ici qui est comprise sous la courbe et ça c'est vrai pour n'importe quel point x de l'intervalle ab donc en fait je peux définir une fonction de x de la variable x qui va me donner l'air sous la courbe entre les points à x cette fonction là je vais l'appeler comme ça grand f et grand f 2 x donc c'est l'air sous cette courbe et je peux l'exprimer en termes d'une intégrale c'est l'intégrale de a à x de la fonction f2 tdt alors ici attention je mets un thé la variable muette est teinté ça ne peut pas être un x puisque x apparaît déjà dans les bornes d'intégration ça c'était un petit rappel donc voilà on peut définir cette fonction là elle donne l'air l'air sous la courbe sous la courbe de f entre a et x ce que dit le théorème fondamentale du calcul intégral c'est que si je prends cette fonction-là f et bien f primes de x ça sera exactement petit f2 x ça c'est le théorème fondamentale du calcul intégral la fonction grand f étant défini de cette manière là donc c'est l'air sous la courbe et quand je dérive cette fonction grand f et bien j'obtiens exactement petit elfe qui représentait par cette courbe là alors ça veut dire évidemment que puisque petit f et la dérive et de grands chefs et bien ça veut dire que grant f est une primitive deux petites f ça c'est vraiment quelque chose de très important à comprendre parce qu'en fait ce théorème laon il te donne un il établit en fait un lien de réciprocité un petit peu entre le calcul intégral et le calcul différentiel donc le calcul différentiel c'est les dérivés le calcul des dérivés et le calcul intégral correspond à la recherche de primitives voilà ça c'est vraiment l'idée fondamentale de ce théorème il fournit un lien entre le calcul des dérivés et le calcul des intégrales donc cette fonction grand f c'est une primitive de petit f est ce qu'on peut dire aussi c'est que grant f2 à et bien par définition ça va être l'intégrale de aa2 petit f2 tdt donc ça sera égal à zéro voilà donc grand est faite une primitif de petitesse et en plus c'est la seule primitif qui s'annulent en 0 alors si je prends une autre primitif grange est donc une autre primitive de petit f et bien ce qu'on sait c'est que grange et 2x va être égal à grand f 2x plus une constante ça si tu ne te rappelle pas de ça tu peux retourner voir sur des vidéos sur les primitives 2 primitive d'une même fonction diffèrent forcément par une constante donc ça c'est forcément vrai et ce qui est intéressant c'est que en fait cette constante la cg de à puisque si on calcule g2a et bien cf 2 a plus cette constante et comme grand f2 a ici est égal à zéro et bien g2a est égal à l'ats constantin donc ça ça veut dire que finalement j'ai 2 x et bien c'est grand f 2 x + g2a plus grands g2a donc en particulier ce qu'on peut écrire c'est que du coup g2x - g2a et bien cf 2 x donc c'est l'intégrale de a à x de f de thé d'été est une autre relation importante je vais l'encadrer à retenir quand même voilà on va s'arrêter là je vais pas te démontrer ce théorème dans cette vidéo mais tu pourras trouver sur la khan academy une vidéo donnant la démonstration de ce théorème à bientôt