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Démonstration du théorème fondamental de l'analyse

Transcription de la vidéo

nous avons une fonction f dont défini on considère donc une fonction af continu sur un intégral sur un intervalle ferme et bornés a et b à b ben dessinons dessinant un exemple de graaf voilà mon axe d ordonner que j'appelle y mon exam si ce que j'appelle axe dect est en jeu garde x pour un petit peu plus tard et voilà disons la courbe de ma fonction y est ghallef de tai chi et continue sur un intervalle ab il y a qu'à dire que assez ici à gauche et que baisser ici à droite et voilà donc mon intervalle ab et maintenant définition la fonction grand f la fonction grand f 2 x qui serait égal a en fait l'air sous la courbe de a depuis annoncé jusqu'à baie mais jusqu'à un certain x ou x appartiendrait à l'intervalle ab donc grand f 2 x c'est l'intégrale entre a et x2 f2 tdt donc c'est où je reprécise x appartient à l'intervalle habedank x est compris entre a et b sur mon dessin comment ça se commence à se représenter sur mon dessin et bien c'est un éveil à voir je vais représenter un nombre x entre a et b disons par ici et mon grand rêve de x ça va être saoul à l'air sous la courbe depuis a jusqu'à x donc ça va être ce que je hachures ici est donc là on va essayer de prouver le théorème fondamental de l'analyse qui nous dit que quand je dérive la fonction grand est féminin j'obtiens la fonction petit f et donc essayons de dérivés la fonction grand f donc calculons grand theft primes de x la fonction grand f étant défini une manière qu'on connaît pas on peut pas là calculé à l'aide de dérivés d'autres fonctions connues donc on va devoir revenir à la définition de la dérive et la dérivée de la fonction grand f à supposer qu'elles soient dérive abl cesserait la limite de grand f 2 x + hb - grand f 2 x le tout sur h et ceci est cette limite à prendre lorsque achetant vers zéro si jamais cette limite existait bien ce sera la dérivée de la fonction grand f existera et ce sera cette limite là eh bien il suffit de pour l'instant il suffit donc de remplacer tout ce qu'on a à faire là c'est de remplacer grand f 2x plus haché grand f 2 x par leur valeur donc quand f 2 x plus acheter l'intégrale entre iya et x + hb de petit f2 tdt et grands élèves de x c'est l'intégrale entre a et x2 f2 tdt c'est exactement ce que j'ai écrit au dessus et dont on divise tout ça par h voilà donc non mon grand rêve de x sous réserve d'existence c'est cette limite là maintenant intéressons nous à ces deux intégrales et à leur signification on va donner une signification graphique au numérateur de cette grosse réaction qu'est ce que c'est l'intégrale de a à x + hb de f2 tdt mais un nom x + hb je peux supposer qui est un petit peu à la droite de x quand je le mets là et l'intégrale de ax plus h c'est donc l'air sous la courbe depuis a jusqu'à excuses âge donc un petit peu plus loin que là où j'avais hachuré précédemment et l'intégrale maintenant la deuxième intégral intégral entrera et x2 f2 tdt et bien c'est l'air sous la courbe entre depuis a jusqu'à x1 je vais repasser un petit peu plus fort vraiment colorier c'est la première qu'on avait assuré et donc je remarque au numérateur de cette fraction que je les soustrait toutes les deux et je les soustrait toutes les deux qu'est ce qui va me rester mais bien de rester la différence entre les airs donc il va me rester l'air que tu ne vois uniquement que hachuré moi je vais là colorier d'une autre couleur disons de cette couleur là voilà donc ce que j'ai colorier la violer c'est c'est la différence entre c'est entre ces deux intégrales c'est donc bien égalemment numérateur et c'était et c'est aussi l'intégrale depuis x jusqu'à x + hb de f2 tdt donc en fait tout mon numérateur là peut se réécrire sous la forme de cette intégrale emma dérivés à supposer qu'elle existe ce sera la limite lorsque achetant vers zéro demain je vais mettre le vin sur agent facteur 1 / h x quoi bafa fois ce qu'on vient de dire c'est à dire fois l'intégrale fois cette intégrale à l'intégrale de x à x + hb de f2 tdt et bien maintenant on va essayer de voir on va essayer d'estimer la valeur de cette intégrale et bien la valeur de cette intégrale elle s'estime en l'encadrant par désert qu'on va pouvoir exprimer plus facilement alors c'est là que va intervenir le fait que ai fait une fonction continue est faite une fonction continue sur l'intervalle ab donc en particulier est fait tu aussi une fonction continue sur l'intervalle x x + hb et l'intervalle xx clusaz achète un intervalle fermé bornes et c'est ce qu'on appelle un compact 1 je vais pas trop m'étendre sur ces notions là mais c'est ce qu'on appelle un compact et on a un théorème qui est très important qu'il fondamentale sur les compacts c'est une fonction une fonction qui est continu sur un compact elle est borné et elle atteint ces bornes qu'est ce que ça veut dire qu'elle attend ces bornes kylie à quilly adam hicks qu'il y a dans l'intervalle x x + hb un nombre un nombre est la fonction ou la fonction petit f sur ce nombre-là prend une valeur minimale prend la plus petite valeur possible sur cet intervalle et il ya aussi un autre nombre sur lequel la fonction prend une valeur maximale on va les qu'on va écrire ça pour bien explicité sa il existe donc un petit m dans l'intervalle xx qu'usage parce que parce que cet intervalle et compacts cd compact et que effets continus tels que f2 petit m c'est le minimum c'est le minent df de thé pour tes appartenant à x ga xx cluzel c'est le nombre dans xxy usages qui a la plus petite image par f et il existe aussi un nombre dans x x qu'usage qui a la plus grande image par f et donc il existe un nombre qu'on va appeler grands thèmes dans l'intervalle xx qu'usage tels que f deux grands thèmes c'est le max cette fois c'est le nom qui a la plus grande image c'est la plus grande de toutes les images des f2 tc le max dave de tes portes et appartenant à l'intervalle x x + hb et en quoi vont-ils m'être utile ce petit est mais ce grand m eh bien je vais je vais dire que mon intérêt mon nom est violette la montner violette je vais pouvoir l'encadré c'est à dire je vais pouvoir dire que c'est terre violette elle est plus grande que le rectangle un qui a qui a pour qui à pau auteurs f2 petite emme qui a pour auteur rêve de petit m16 trace le rectangle qui a pour auteur f2 petit m et bien c'est un rectangle c'est un rectangle qui rentre dans mon qui rentrent entièrement dans mon air viol est d'accord et qui a pour largeur et qui a pour largeur entre x et x lusage dont il ya pour largeur h d'accord et je vais dire je vais écrire que l'air de ce rectangle est plus petit que ses terres violette en accord et l'air de ce rectangle c'est quoi c'est le rectangle de auteur s de petites m et et de largeurs petite hache donc cf de petites âmes fouache et ce rectangle là à une ère plus petit que l'intégrale de x à x + hb de f2 tdt qui est mon air violette là que j'ai assuré et inversement je vais dire aussi que cette terre violette elle est entièrement contenue dans un autre rectangle le rectangle de hauteur f2 grand m c'est à dire la plus grande image et de largeurs h entre x et x + hb d'accord et donc je dis que cette même intégral elle est plus petite que ce rectangle la colère de ce rectangle là qui a pour auteur rêve de grands thèmes et qui a pour largeur h voilà et j'obtiens donc une chaîne d'inégalités f2 petite emme flash qui est plus petit que x que l'intégrale de x ça excuse âge de f2 tdt et qui est plus petit que rêve de grands thèmes flash maintenant ce que je vais faire avec cette inégalité comme h c'est un écart c'est l'écart qu'on voit là sur l'axé des abscisses c'est une grandeur que je considère positive je peut diviser je vais diviser toute cette égalité par h et qu'est ce que j'obtiens j'obtiens kf2 petite emme est plus petit que 1 / h fois l'intégrale de xx lusage de f2 tdt et qu'il est plus petit et que et qu'il est plus petit que f deux grands thèmes d'accord eh bien on obtient 7 on obtient donc cette inégalité là et cette inégalité là on va la faire passer à la limite c'est à dire qu'on va prendre la limite de chaque membre de cette inégalité lorsque h temps vers zéro et donc on n'obtient que la limite lorsque achetant vers zéro de f2 petite emme est plus petit que ben la limite lorsque achetons vers zéro de cette intégrale on a dit que c'est exactement on a dit que c'est exactement f primes de x 6 l qui elle-même est plus petite que la limite lorsque achetant vers zéro de f2 grands thèmes maintenant considérons le nombre de gauche de cette égalité la limite lorsque achetant vers zéro de f2 petit m qu'est-ce que ça peut bien être et bien petit m il est compris entre x et x + hb un petit m il est dans l'intervalle x x + h donc lorsque achetant vers zéro et bien cet intervalle se rétrécit cet intervalle la borne inférieure de cet intervalle cx la borne supérieure de sénerval cx plus haché lorsque achetant vers zéro excusé doit tendre vers x et petit thème qui est coincé entre les deux lui aussi va être obligé de tendre vers x et donc f2 petit thème comme f et continue on peut passer à la limite en prenant l'image par rff de petites m va tendre vers f 2 x on s'est resserré encore de la continuité de m donc cette limite là cette limite là c'est égal à f2 x est exactement pour la même raison la limite du membre de droite de f2 grands thèmes de f2 grands thèmes lorsque achetant vers zéro et bien cette limite là est bien le com grand m va être coincé entre le ixe et xe plus hachée que achetant vers zéro et bien excusables va tendre vers x et f2 et grands thèmes qui est coincé entre les deux villes va lui aussi tendre vers x et comme effet continuer de grands thèmes va tendre vers 2x donc cette limite là c'est aussi f2 x et je me retrouve avec avec quoi avec f primes de x avec grand theft primes de x qui est coincé entre petit f2 x à gauche et petit f2 x à droite comment est ce possible la seule possibilité c'est que grands et primes de x soit égal à petit f2 x autrement dit 1 l'intégrale la dérive et de l'intégrale de ax de f2 tdt bien c'est petit f2 x et c'est exactement ça que nous dit le premier théorème fondamental de l'analyse dont peu qu'on peut considérer ici qu'on a réussi prouvez le premier cas orange fondamental de l'analyse