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Cours : 5e année secondaire - 2 h > Chapitre 3
Leçon 6: Fonctions logarithmes- Les logarithmes
- Les logarithmes
- Calculer un logarithme
- Calculs de logarithmes
- Calculer un logarithme 2
- Fonction exponentielle et fonction logarithme
- Les courbes représentatives de la fonction exponentielle de base 2 et logarithme de base 2
- Représentation graphique de la fonction logarithme de base 5
- Fonction exponentielle et fonction logarithme : leurs courbes représentatives
Les logarithmes
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Prérequis :
Les puissances et notamment les puissances négatives.
Le sujet traité
Vous apprendrez dans cette leçon ce que sont les logarithmes et comment les calculer.
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Les logarithmes n'existeraient pas si les "puissances" n'existaient pas !
Si on se pose la question : "À quelle puissance faut-il élever
Les deux égalités traduisent la même relation entre
La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance,
Voici d'autres exemples :
| Logarithmes | Puissances | |
|---|---|---|
Définition du logarithme de base
Par définition, si
Ces deux égalités sont équivalentes, elles traduisent la même relation entre
À ne pas oublier
Quand on passe de la forme exponentielle à la forme logarithmique ou vice-versa, la base du logarithme et la base de l'exponentielle sont les mêmes.
À vous !
Voici des exercices où il s'agit de passer d'une égalité comportant une puissance à l'égalité équivalente comportant un logarithme.
Calculer un logarithme
Et maintenant, comment calculer un logarithme ?
On veut, par exemple, calculer
Si
Ce qui, par définition, est équivalent à :
Quelle est la puissance de
Avec un peu d'entraînement, vous réduirez ces étapes et dès que vous lirez
À vous !
N'oubliez pas que pour trouver la valeur de
Ensemble de définition
| Condition | Justification |
|---|---|
| Les fonctions exponentielles de base | |
| Si |
Logarithmes particuliers
On utilise le plus fréquemment deux bases.
La plupart des calculatrices disposent de touches spécifiques pour ces deux bases.
Le logarithme décimal
Le logarithme décimal est le logarithme de base
Quand la base n'est pas précisée, c'est qu'il s'agit du logarithme de base
Le logarithme népérien
Le logarithme népérien est le logarithme de base
Ce logarithme est noté
L'essentiel à retenir à propos de ces deux logarithmes :
| Nom | Base | Notation générale | Notation spécifique |
|---|---|---|---|
| Logarithme décimal | |||
| Logarithme népérien |
On utilise généralement la notation spécifique.
Pourquoi étudier les logarithmes ?
Comme on vient de le voir, la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc très utile pour résoudre les équations comportant des puissances.
Par exemple, la solution de l'équation
Les logarithmes s'avèrent très intéressants en eux-mêmes, ils interviennent partout dans le monde qui nous entoure. Beaucoup de phénomènes physiques par exemple sont mesurés à l'aide d'échelles logarithmiques.
La suite ?
Il y en a deux. La première porte sur les propriétés des logarithmes. La deuxième porte sur la formule de changement de base qui permet de calculer n'importe quel logarithme à la calculatrice.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Il y a une erreur dans l'énoncé de l'exercice 2 :
"3^5=125"(2 votes)
Merci d'avoir signalé cette erreur ! Elle est corrigée. Le bon énoncé sera effectivement en ligne d'ici quelques jours.(1 vote)
comment utilisé une calculatrice pour calculer des logarithme ?(1 vote)- La calculatrice te permet de calculer le logarithme en base 10 de n'importe quel nombre, avec la touche "log". En fonction de la marque, tu dois d'abord taper l'argument, puis cette touche "log", ou l'inverse.
Elle te permet aussi de calculer le log en base e, c'est à dire le logarithme népérien : touche "ln".
Pour tous les autres logarithmes, tu devras d'abord faire un changement de base, vers la base 10 ou la base e. Pour cela, regarde les vidéos ou articles qui parlent de ces changements de base, notamment https://fr.khanacademy.org/math/be-6eme-secondaire4h2/x874e280f2deebfaf:analyse/x874e280f2deebfaf:les-fonctions-logarithmes/a/logarithm-change-of-base-rule-intro
N'oublie pas qu'il y a aussi les propriétés des logarithmes, qui permettent de les calculer sans avoir besoin de calculatrice, quelle que soit la base.(1 vote)
- 5431,08 = 400 [1- (1+0,02) ^-n]
/ 0,02(1 vote) - Bonjour, dans le texte ci-dessus : "La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance,16, tandis que dans la forme logarithmique, on isole l'exposant,4. "16" n'est-il pas l'argument et non la puissance ?(1 vote)
- 16 est bien l'argument du logarithme.
Mais dans la relation exponentielle, il est la puissance. (la 4ème puissance de 2)
De même, 4 est le logarithme, dans la relation avec le log.
Mais dans la relation exponentielle, il est l'exposant
Quant à 2, dans les deux cas, il est appelé la base : la base de l'exponentielle, et la base du logarithme.(1 vote)