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Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

à l'aide de la formule de changement de base donner une valeur approché hausse antienne de logarithmes en bas 5 200 logarithme base 5 200 alors on va utiliser la formule de changement de base cette formule là on en a déjà parlé dans une autre vidéo et on avait dit je sais pas si tu as été voir cette vidéo on avait dit que c'était une formule qui était spécialement utile quand on doit calculer un logarithme ont une base quelconque par exemple ici 5 avec la calculatrice parce qu'en général les calculatrices presque toutes les calculatrices ne se n'offrent pas de possibilité de calculer directement le logarithme d'un nombre dans une base quelconque en fait dans toutes les calculatrices on a deux touches qui sont généralement la touche logue qui veut dire le blog en base 10 et puis la touche l aisne qui est le qui représente le logarithme né paie rien ou le logarithme naturel en base eu eux c'est un nombre très connus 2.718 de 1,8 et ainsi de suite et donc si on doit calculer un logarithme dans une base autre que 10e eh bien on va être obligé de d'utiliser cette formule de changement de base est d'ailleurs dans le langage courant aussi quand on parle du logarithme d'un nombre y sans préciser la base en fait ça on sous-entend que c'est le logarithme en base 10 du nombre y et quand on dit logarithme comme ça elle n d'un nombre y est bien ça en fait ça indique le logarithme embase eu de y ou eux et ce nombre là donc j'ai parlé tout à l'heure voilà donc ici on est tout à fait dans la situation où il faut utiliser cette formule du changement de base puisque l'on doit calculer un logarithme en bas 5 du nombre sans alors avant de commencer je vais te rappeler cette formule 1 quand même donc si on prend le logarithme en base 10 on a le gars rythme en basse à du nombre b d'un nombre quelconque b eh bien on va pouvoir changer de base en disant que ça c'est le logarithme alors c'est le logarithme tu je veux passer à une base par exemple à des logarithme base un autre nombre que je vais appeler z le gars rythmant base z2 b / le logarithme embase z2 ah voilà alors ça c'est la formule qu'on va appliquer ici on l'a pas encore démontré mais on le fera dans une prochaine vidéo ici pour l'instant on va juste l'appliquer donc ici ce que je cherche à calculer c'est le logarithme en base 5 200 et pour pouvoir utiliser la calculatrice en fait je dois me ramener à une de ses seins de ses deux logarithme particuliers soit le logarithme emballe 10 en base 10 soit le logarithme embase eux alors le logarithme en base 10 est quand même plus simple parce que ça fait intervenir des puissances de 10 qui sont plus faciles à manier donc je vais exprimer sa en fonction du logarithme en base 10 donc d'après la formule ici est la formule précédente changement de base c'est donc le logarithme en base 10 en base 10 200 / le logarithme en base 10 2 5 voilà alors on peut tout de suite faire ce calcul à la calculatrice puisque la calculatrice permet de calculer des logarithme en base 10 mais on peut quand même simplifier un petit peu ça de tête hein parce que ici quand on écrit logarithme en base 10 200 en fait on cherche à quelle puissance il faut élever 10 pour obtenir 100 et bon évidemment 10 puissance 2 s'affaissant donc le logarithme de en base 10 200 c2 alors je vais pouvoir réécrire ça comme ça donc le numérateur c'est logarithme en base 10 200 c'est à dire 2 / le logarithme en base 10 2 5 alors maintenant je vais prendre la calculatrice et je vais calculé ça à partir de cette formule donc j'ai 2 / le logarithme en base 10 donc c'est cette touche là log de 5 voilà je calcule le résultat et essayez donc 2,8 6 1 13 donc là je vais arrondie au centième un ce qu'on me demande c'est d'arrondir au 100e donc je vais arrondie au centième c'est environ 2,86 environ 2,86 voilà peut vérifier le résultat parce que ça ça veut dire que le nom la puissance à laquelle il faut élever 5 pour obtenir 100 c'est environ 2,86 donc si je calcule 5 élevé à la puissance 2.86 normalement je dois trouver quelque chose qui va être pas exactement égal à 100 puisque là j'ai pris une valeur approché mais très proche de 100 alors on va voir voilà cinq élevé à puissance 2.86 a fait 99,78 24 voilà donc très proche de 100 et si j'avais pris une valeur moins arrondies ici et bien j'aurai obtenu un résultat encore plus proche de 100 donc finalement ce que ce résultat est cohérent d'ailleurs on aurait on peut aussi évaluer la cohérence parce que cinq au carré ça fait 25 5 puissance 3 ça fait 125 donc la puissance à laquelle il faut élever 5 pour obtenir semble ça sera entre 2 et 3 est plus proche de 3 même puisque 100 est plus proche de 125 que demain que de 25 voilà alors maintenant je vais essayer de démontrer cette formule là on va essayer de l'approuver d'en donner une démonstration donc je fais un petit peu de place alors ce que je vais faire en fait c'est partir de ceux de ce membre aussi donc je vais partir de ce que ce qui est le logarithme en base à 2 b alors ce logarithme en basse a dub et bien c'est un nombre et ce nombre je peux dire que c'est le nombre s'est par exemple donc le logarithme en base à 2 c c'est un nombre que j'appelle c'est alors ça ça veut tout simplement dire que si j'élève à à la puissance c'est donc si je calcule à puissance c est bien je vais obtenir b a élevé à la puissance c est égal à b alors ça c'est une relation entre deux noms mais en fait on obtiendra une autre relation si on applique le logarithme deux membres de cette relation si harnes donc je vais prendre un logarithme embase z cette fois-ci de chacun des membres qui est là donc je vais écrire ici le membre de gauche ça va être logarithme embase z2 a alors je vais mettre des parenthèses à élever à la puissance ces voix là et ce logarithme là ça va être égal au logarithme embase z aussi logarithme embase z de b voilà ça c'est tout simplement parce que si ces deux nombres sont égaux et bien leur logarithme eux sont égaux aussi alors si tu est familier avec les propriétés du logarithme qu'on a vu dans les vidéos précédentes ici et on peut faire quelque chose puisque le logarithme en base est de la puissance c'est en fait cessé fois le logarithme en base est de à le sait vient devient un coefficient multiplicateur donc je peut réécrire ça comme ça alors je vais le faire ici ça ça devient s'est essayé de respecter les couleurs c'est fois le logarithme embase z2 ah voilà et c'est égal au logarithme embase z2 b alors là je pense que tu vois où est ce que je veux en venir en fait maintenant je peux exprimer c'est en fonction de ces deux logarithme embase aide en fait je peux tout simplement divisé cette relation par l'ogre en bas z2 a donc cette relation-là devient c'est égal alors j'ai le logarithme en bas z le logarithme embase aide de b / le logarithme embase z2 a donc ça c'est une expression de saynètes faut pas oublier ceux dont on est parti c'est qu'en fait ce cecchela et bien c'est celui ci et c'est le logarithme en base à 2 b donc finalement on obtient exactement la relation qu'ont cherché à démontrer c'est à dire celle là log en base à 2 b ça c'est le petit cecchela égale log embase z de b / logarithme en bas z2 à et ça c'est exactement la formule qu'on cherchait à démontrer que je te remontre ici logarithme en base à 2 b est égal à logarithme embase aide de b / logarithme en base est de 2 à 1