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Démonstration de la formule de changement de base

Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

alors dans d'autres vidéos m'a utilisé ce qu'on avait appelé la formule de changement de base que j'ai rappelé ici et dans cette vidéo on va essayer de la démontrer alors cette formule elle dit ça indique que le logarithme en base à d'un nombre x bien c'est le logarithme en base b 2 x / le logarithme en basse b2 a donc elle permet d'exprimer un lot garric dans une base de données en fonction de logarithmes dans une autre base quelconque ici b alors l'une des bases les plus courantes qu'on utilise ses bagues la base disent je vais faire un exemple juste simple d'application de cette formule en base avec la base 10 par exemple si je dois a calculé le logarithme en base 3 2 25 et bien je peux l'exprimer de cette manière là en passant par les logarithmes en base 10 comme ça en utilisant cette formule ça va être le logarithme en base 10 2 25-2 25 / le logarithme en base 10 toujours 2 3 voilà donc ça on va pas aller plus loin mais c'est une application directe de cette formule là et tu vois qu'on passe d'un logarithme qui est en basse 3 à 1 des lots garrigues qui sont en base 10 et que donc on peut obtenir par exemple avec une calculatrice alors maintenant on va essayer de démontrer cette formule donc je vais partir de cette seule aux gars rythme-là logarithme en basse à d'un nombre x voilà donc c'est cette partie là hein je vais essayer de les exprimer différemment en faisant intervenir des bases 10 alors d'abord je vais commencer comme très souvent partir de ça ce logarithme en base à 2 x et bien c'est un nombre un nombre réel que je vais appeler y par exemple voilà ça seul nom que je donne à ceux logarithme en base à 2 x et cette expression là elle veut tout simplement dire que si je prends le nombre à et que je l'élève à la puissance y est bien j'obtiens le nombre x voilà donc à puissance y ait gagné x veut dire exactement la même chose que ça logarithme en base à 2 x légales y ça on l'a vu dans plusieurs vidéos alors maintenant ce que je peux faire c'est g2 nombre qui sont égaux je peux prendre le logarithme en n'importe quelle base de ces de nombreux là et c'est de logarithmes seront égaux en fait je vais donc appliqué le logarithme en une base donnée par exemple la base b à ces deux membres là donc je l'obtiens que le logarithme en basse b2 à puissance y a puissance y a le logarithme de ce nombre la puissance y est bien c'est égal au logarithme au logarithme en basse b aussi du nombre x voilà ça c'est tout simplement que si deux mots nombre c'est sont égaux et bien lors logarithme sont égaux évidemment alors à partir d'ici je peux m'occuper de ce terme est là et je vois que j'ai le logarithme d'une puissance de à élever la puissance y donc en fait ça on peut utiliser une propriété qu'on a vu dans d'autres vidéos c'est que dans ce cas là en fait le l'exposante devient un facteur multiplicatif donc cette partie là c'est en fait y fois le logarithme en basse b2 a donc ça se passe à deux là si tu ne vois pas bien il faut que tu aies revoir les vidéos sur les logarithmes de puissance en tout cas ça y fois le logarithme en basse baie de ha et bien c'est égal toujours ici j'ai rien changer à ce moment là au logarithme en basse b 2 x voilà alors tu vois que la j'obtiens une relation où intervient y est je peux facilement tirer de cette relation une expression de y qui en fait ce sera différente de celle ci on est parti du fait que y était le logarithme en base à 2 x et à partir de cette relation là je vais pouvoir exprimer y différemment tout simplement là je vais diviser les deux membres par logarithme en basse b2 à ce que je peux faire si le logarithme en basse baie de hann est pas nul est donc en divisant par le logarithme embase baie de a je vais obtenir ça y est galles alors j'ai seul au garric moi je vais pour aller plus vite et respectez bien les couleurs je vais prendre je vais faire des copier coller donc ici j'ai déjà logarithme en base b 2 x / le logarithme en basse baie de a alors ça c'est pareil je vais faire un copier coller c'est cette partie là logarithme en basse baie de a voilà je le mets ici au dénominateur et tu vois quand fait là je retrouve exactement la formule de changement de base puisque ce y qui est là en fait c'est celui qui est ici donc on était parti du fait que y c'était le logarithme en base à 2 x alors je vais copier ça aussi puisque je sais que c'est aussi y donc en fait ça le logarithme en base b 2 x 10 c'est par le logarithme et en basse baie de ha et bien c'est effectivement le logarithme en base à 2 x donc ici tu vois on obtient de bien la formule de changement de base que j'avais présenté la voilà