If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :5:42

Les courbes représentatives de la fonction exponentielle de base 2 et logarithme de base 2

Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je vais t'expliquer la notion de fonctions logarithme et tu verras que tout début ce n'est pas hyper évident à comprendre donc approche toi bien en résumé la fonction logarithme c'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle donc ce qu'on va faire pour que tu comprennes bien ce concept on va faire le tableau de valeur d'une fonction exponentielle puis celui de sa fonction réciproque qui est la fonction logarithme et on va tracer les deux courbes pour que tu comprennes bien la relation entre ces deux fonctions alors d'abord la notion de fonctions logarithme comment est-ce qu'on a inventé les fonctions logarithme eh bien d'abord on a ce genre de relation y était égal à b puissance x y ici est une fonction exponentielle de aix on est d'accord x est un exposant de béquilles et un nombre quelconque donc y est une fonction exponentielle de x alors imaginons maintenant qu'on va y inclure une équation équivalente mais au lieu d'avoir y en fonction de x j'aimerais exprimer leurs relations réciproques c'est à dire x en fonction de y comment est ce que je fais ça est bien confronté à ce problème les mathématiciens ont dû inventer un nouvel outil et ils ont inventé la fonction logarithme ici x et égale le logarithme base b2 y b ici c'est ce qu'on appelle la base du logarithme qu'est ce que ça veut dire le garric base b2 y est bien ça pose une question et cette question c'est à quel puissance est ce que je dois m b pour obtenir y donc tu vois bien que ces deux équations sont équivalentes à quelle puissance jeu de m b pour obtenir y jeu de la m je dois m b à la puissance x b à la puissance x est égal à y alors prenons maintenant un exemple de deux fonctions et tu verras que ça deviendra très clair première fonction f 2 x est égal à 2 puis 106 et maintenant je vais rire la fonction réciproque af 2x et je vais l'appeler aller g2x g2x et donc la fonction réciproque de fgx c'est à dire le logarithme base 2 2x dressons à présent les tableaux de valeur de ces deux fonctions d'abord celle de puissance x on va prendre des x allant de -2 à 3,2 puissance x donc deux puissances - 2 ça donne un sur deux quarts et donc un car je vais écrire envers un quart de puissance - 1 1/2 de puissance 0 ça fait 1 de puissance 1 2 de puissance 2 4 et 2 au cube ça fait 8 maintenant comment est ce qu'on obtient le tableau de valeur de la fonction réciproque de celle ci eh ben il faut intervertir la colonne y est la colonne x et on obtient le tableau de valeur de la fonction réciproque et avant tout il fallait d'abord que je rappelle qu'on a le droit de faire ça que de puissance x a bien une fonction réciproque souviens-toi qu'une fonction à une réciproque si c'est une direction ça veut dire que chaque image à un seul et unique antécédents et là c'est bien le cas pour toutes les fonctions exponentielles donc j'ai bien le droit d'écrire un tableau de valeur d'une fonction réciproque alors donc je disais qu'on doit en gros intervertir les deux colonnes et on obtient les valeurs de x suivante du coup on part des valeurs de x qui sont 1/4 1/2 1 2 4 et 8 et à ses valeurs de x je vais associer ses valeurs pour y donc la valeur de 1 y associer à un car le gari de base 2 2 1 car ça me donne moins deux et je continue la liste ainsi moins 1 0 1 2 et 3 et par exemple pour le dernier de la liste on va vérifier que ça effectivement ça marche bien le gars et de base 2,2 8 ça à quoi ça correspond ça correspond à la question à quelle puissance je dois m 2 pour obtenir 8 et moi je dois mettre à la puissance 3 réponse à la question 3 j'espère que tu commences à comprendre le truc alors je vais maintenant retracer les les courbes de ces représentatifs de ces deux fonctions d'abord ma fonction exponentielle - 2 un carré sur la courbe donc là on a un c'est à dire qu'un carré à peu près ici donc ce point et sur la courbe de depuis ce 2 y égal depuis 106 ensuite l'image de -1 c'est un demi l'image de 0,1 l'image de 1 c2 celle de deux c4 et l'image de trois on arrive déjà à 8 et ici on sait que à gauche ça va approcher la sorte d'équation y égal 0 puis on passe par tous ces points et on a cette croissance typique tes fonctions exponentielles qui s'accélère et qui s'accélère y est égal à depuis 106 maintenant traçons la courbe représentatives de la fonction leghari de base 2 2x lorsque x égale un quart donc x est ici est vrai qu'ils gagnent moins de on est là lorsque x égale 1/2 y égales - 1 lorsque x égal 1 y 0 l'image de deux c1 l'image de 4 ces deux donc lorsque x égale 4 y égal 2 et l'image de 8 c 3 lorsque x égale 3,8 y égal 3 donc maintenant j'ai de quoi tracer ma fonction logarithme et tu vois que la fonction logarithme à gauche approche aussi une asymptote en fait elle veut en fait plus x est proche de zéro + y est un nombre négatif important ça veut dire que j'approche ici là 70 x est égal à zéro la 70 x égal 0 alors que dans le cas de ma fonction exponentielle j'approchais la sompteuse d'équations y égal zéro d'accord donc revenons à notre fonction logarithme ensuite à droite elle passe à ce point-là de cordes mener 2 1 puis 4 2 et on voit que les x doivent beaucoup augmenté pour seulement faire un peu augmenté y donc ça veut dire que contrairement à la fonction exponentielle qui avait une croissance qui s'accélère de plus en plus et ben la fonction leghari tout ça en fait exactement le contraire on a une courbe qui s'aplatit de plus en plus rapidement donc une croissance qui décélère de plus en plus là on a la fonction y est égal à l'ogre base 2 2x et là on visualise très bien la relation entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme gueissaz réciproque elles sont symétriques ces deux courbes elles sont symétriques comme toute fonction réciproque c'est la caractéristique des représentations graphiques des fonctions réciproque elles sont symétriques par rapport à un axe et c'est quoi cet axe est celui que je suis en train de tracer en rouge c'est la kz d'équations est plaqué gallix de fonctions réciproques sont symétriques par rapport à laax d'équations et régale x donc voilà j'espère que ça t'a servi d'une bonne introduction à la fonction logarithme qui est une fois de plus je le répète la réciproque de la fonction exponentielle