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Les propriétés du logarithme - 2e partie

Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va continuer à explorer un petit peu les propriétés des lots garric on a déjà vu deux dans une vidéo précédentes on avait vu ce qui se passait quand on additionnait de logarithmes de même base ou bien coton soustrayait de logarithmes de même base ici on va avoir deux autres propriétés et j'insiste là on va pas les démontrer on va juste essayer de comprendre un petit peu intuitivement pourquoi ces propriétés existe et on les deux montrera dans d'autres vidéos et là ce qui va être important pour nous c'est de manipuler ses propriétés c'est très important plutôt que d'aller réapprendre à chaque fois des propriétés de bien comprendre comment est ce qu'on les applique et comment est ce qu'on les environs les utilisent alors là cette fois ci on va voir ce qui se passe quand on multiplie un logarithme par une constante donc si je prends par exemple une expression comme ça à qui est un nombre x le logarithme en basse b d'un autre nombre c est bien ça en fait la propriété que qu'on va étudier cette fois ci elle nous dit que cette expression là à foix le logarithme en basse b2c et bien c'est le logarithme en basse b2 s'est élevé à la puissance ah voilà alors on va tout de suite prendre un exemple pour voir si cette propriété marche sur un exemple concret donc je vais prendre par exemple c'est ce nombre là 3 x le logarithme en base 2,2 8 voilà et donc d'après la propriété du dessus si c'est vrai on devrait avoir que trois x le logarithme en base de 2,8 et bien c'est le logarithme en baisse de 2,8 élevé à la puissance 3 voilà alors vous pourrez calculer sa 1,8 puissance 3 on pourrait regarder ce que ça fait on va faire plus tôt comme ça en fait je vais commencer par essayer de calculer ce terme-là donc ici ce qu'on avait dit le logarithme en baisse de 2,8 en fait c'est le la puissance à laquelle il faut élever deux pour avoir 8 donc ça on sait que deux puissances 3 c'est égal à 8 donc le logarithme en base 2,2 8 c3 puisque il faut élever deux à la puissance 3 pour obtenir 8 voilà donc là ce qu'on a ici c'est 3 le 3 qu'il a multiplié par trois essabah ça fait neuf donc pour si cette propriété vrai ça veut dire que le logarithme en base de 2,8 puissance 3 ça doit être neuf alors on peut vérifier si c'est vrai de plusieurs manières en fait ce que je vais commencer par faire ses calculs et 2 élevé la puissance 9 alors pour faire ça tu peux te souvenir peut-être que deux puissants suit depuis sans suite ces 250 656 donc de puissance 9 ses 256 x 2 ça fait 5 112 voilà donc si cette propriété vrai il faudrait que huit occupe soit égale effectivement à 512 alors 8 au cube 8 au cube ses huit au carré x 8 et 8 aux caresses a fait 64 donc ça fait 8 occupe ça fait 60 4 x 8 alors 64 x 8 ça je vais le calcul est ici 64 x 8 fait poser l'opération donc j'ai 8 x 4 ça fait 32 je pose deux je retiens trois et huit fois ci ça fait quarante huit 48 +3 ça fait 51 donc effectivement 8 au cube ça fait 512,8 occupe ça fait 5 112 et donc quand j'écris le logarithme en base 2 2 512 eh bien c'est la puissance à laquelle il faut élever deux pour obtenir 512 et donc ses neuf et donc on voit que dans ce cas là la propriété qui est ici elle est vraie marche dans ce cas là ça veut pas dire qu'elle sera vrai pour tous les non c'est à dire qu'elle est vraie en général mais en tout cas pour cet exemple là ça marche la propriété vérifier alors on aurait pu aussi se rendre compte de ça plus directement parce que huit au cube ce 8 au cube là je peux l'écrire différemment en fait je peux écrire que huit au cube je sais que huit ces deux puissances 3 donc je peux remplacer 8 par deux puissances trois que je dois élever à la puissance 3 1 est donc là on voit que l'on connaît les règles des puissances on sait que deux puissances 3 élevé à la puissance 3 ça fait deux puissances 3 x 3 c'est-à-dire de puissance 9 voilà donc on aurait pu faire comme ça un transformé 8 au cube comme deux puissances 9,1 aura eu tout de suite le fait que logarithme en base de 2,8 au cube c'est neuf voilà en fait c'est exactement cette propriété là des puissances qui conduit à cette propriété des logarithme 1 le fait qu'on multiplie les exposants quand on élève deux fois à une puissance et bien ça conduit à cette cette propriété des logarithme je vais pas insister là dessus pour l'instant maintenant je vais te donner en fait une autre propriété des logan qui va être extrêmement utile surtout si tu aimes bien calculé avec ses logarithme en fait tu vois ici on a pour l'instant même dans la vidéo précédente on a toujours parlé de logarithmes qui avait la même base et ça peut être intéressant de savoir comment comment est-ce qu'on change de base alors c'est ce qu'on va voir ici si par exemple j'ai le logarithme en base b une certaine base b d'un nombre à et bien je vais essayer de l'exprimer en fonction d'une autre base mais en fait la propriété c'est celle ci logarithme en basse baie de a c'est le logarithme en bas c'est une autre base c'est de a toujours divisé par le logarithme en basset de b voilà donc la ici onu au dénominateur tu vois qu'interviennent les nombreux b et c qui sont les deux bases des logarithme alors pourquoi est-ce que cette formule peut être utile 20 par exemple si je te demande de calculer ce nombre là logarithme embase 17 du nombre 357 je te dis tu peux utiliser sa calculatrice pour calculé sarre les calculatrices permettent de calculer un certain nombre de logarithmes mais le problème c'est que ici je te demande de calculer un logarithme en base 10 sept et si tu regardes une calculatrice en général voilà ça c'est un exemple de calculatrices mais toutes les calculatrices marche de la même manière en général il n'y a que deux touches qui permettent de calculer des lots garric ne cessons ces deux touches à le log la touche log et la touche elle n la touche log comme ça sur la calculatrice en général c'est une touche c'est un logarithme en base 10 voilà et la touche lnc ce qu'on appelle logarithme naturel ou le gars rythme des n'était rien c'est un logarithme qui est en base eu eux c'est un nombre ces deux 27 1 8 de 1,8 et ainsi de suite c'est un nombre assez fascinant mais on parle pas trop en parler là ici voilà donc la morale de l'histoire c'est que si tu doit calculer ça avec la calculatrice tu es quand même un peu a bien embêtés parce que il n'ya pas sur la calculatrice la touche logarithme en base 10 est donc tu vas être obligé de te ramener à une de ces deux touche là au choix et pour c'est bien tu va utiliser cette formule là donc je vais réécrire ce de logarithmes en base 10 est de 357 en fonction de 1 de ses deux lauga rythme là en base 10 ou en bas ce alors tu peux faire tu peux choisir l'un ou l'autre en appliquant cette formule là je vais le faire avec le gars rythme en base 10 1 celui ci donc je verrai écrire que le logarithme en base 10 est de 357 c'est le logarithme en base 10 2 357 voilà la g j'ai écrit cette partie là / le logarithme en base 10 de 17 voilà alors maintenant tu peux calculer ce nombre là avec la calculatrice si tu veux je vais le faire donc c'est logarithme en base 10 cette touche là log de 357 357 je ferme la parenthèse / logarithme en base 10 donc encore cette touche là de 17 voilà et maintenant j'ai le résultat c'est 2 074 5 8 enfin disons environ 2,075 environ 2,075 donc tu peux vérifier aussi que si tu élèves 17 à la puissance 2,075 tu va obtenir quelque chose de proche de 357 voilà alors je vais pas essayer ici de justifier cette propriété elle vient aussi des propriétés des exposants des puissances mais on va pas faire ça ici on verra ça dans une démonstration dans une autre vidéo on va démontrer cette formule un peu plus rigoureusement là on va juste s'entraîner à travailler un petit peu avec ses deux propriétés qu'on a vu ici alors voilà j'ai réécrit les propriétés qu'on a vu dans la vidéo précédente ces 2,6 et puis cette vidéo ces deux là et là je vais prendre une expression assez compliquée avec des logarithme par exemple logarithme en base 2,2 racine carrée de 30,2 sur racine carrée de huit donc voilà ça paraît un peu compliquée et on va essayer de dévaluer 7 ce nombre-là à en utilisant les propriétés certaines des propriétés qu'on connaît et que gérard que j'ai ré écrite ici alors déjà la première chose c'est que le nombre qui est ici je peux le réécrire en fait du coup je verrai écrire ça comme ça logarithme en base 2,2 racine carrée de 30 2 / racines de vie alors prendre la racine carrée d'un nombre ça revient à élever ce nombre à la puissance 1 2000 donc en fait ce nombre là je peux l'écrire comme ça c'est 32 / racines de 8 le taux élevé à la puissance 1/2 et du coup je peux utiliser cette formule là qu'on a vu dans la au début de la vidéo donc ici l'exposant à des sens et bien se placer facteur multiplicatif donc là dans notre cas ça va être le 1/2 qui va descendre et venir ici donc ça va donner un demi fois le logarithme en base 2 de 32 sur racine car est de 8 voilà alors ça c'est déjà pas mal et ici ce qu'on voit c'est qu'on a un quotient à l'intérieur du logar it ont un quotient donc on cherche le logarithme d'un quotient et le logarithme d'un quotient on l'a ici dans cette formule là le garric de assure c'est en fait c'est le logarithme deux a moins le logarithme de serre tout ça dans la même base donc là je vais pouvoir écrire ça comme ça c'est un demi je mette des parenthèses de logarithmes g logarithme embase deux de 30 2 - logarithme en base 2,2 racine carrée de 8 je mets des parenthèses ici aussi voilà là j'ai appliqué cette formule là avec le gars rythmant le b ici c'est 2-1 les logarithmes en base 2 et puis à ses 32 essais ses racines carrées de 8 donc ça je peux développer ça me donne un demi fois logarithme en base 2,2 32 - 1/2 fois logarithme en base 2,2 racine carrée de 8 voilà et là je peux encore essayé de simplifier sa salle à logarithme en base 2 2 32 c'est en fait c'est la puissance à laquelle il faut élever deux pour obtenir 32 alors je vais le faire ici j'ai 2 je sais que deux puissances 4 on peut partir de là de puissance 4 c 16 donc deux puissances 5 c'est 32 donc logarithme embase deux de 30 de ses cinq donc finalement je peux et déjà écrire ça comme ça l'âge et 1/2 x 5 donc je vais écrire ça comme ça 5 2 me et puis maintenant je peux aussi travaillé sur cette partie là un logarithme en base 2,2 racines de 8h racines de 8 racines de 8 ses huit puissances 1/2 donc je peux encore une fois utilisé cette propriété l'a1 logarithme en base 2,2 racines de 8 c'est le gars est en baisse de 2,8 puissance 1/2 et donc c'est un demi de logarithmes en baisse de 2,8 donc ici c'est un demi de logarithmes en base 2 2 8 donc finalement là je vais avoir - 1/2 fois 1/2 fois logarithme en baisse de 2,8 donc j'ai moins un demi fond et demi ça fait un quart fois logarithme en baisse de 2,8 et ici logarithme en baisse de 2,8 c'est la puissance à laquelle il faut élever deux pour avoir 8 et on sait que de puissance 3 de puissance 3 ça fait 8 donc ce logarithme en baisse de 2,8 ici ces trois donc finalement ce qu'on obtient je vais remonter un petit peu ce qu'on obtient ses 5 2 me -1 4 x 3 donc moins trois quarts 5 2me mois trois quarts alors si on a réussi à faire tous ces calculs je pense qu'on peut aussi faire cette simplification à cette soustraction l'a donc 5/2 seddik hardy car moins trois quarts ça fait 7 car voilà donc tu vois que en utilisant correctement ses propriétés qui sont ici là en fait on a utilisé ces deux là eh bien on a réussi à écrire ce nombre là qui était assez compliqué de manière assez simple voilà