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Logarithme d'un quotient et d'une puissance - démonstration

Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

alors dans la dernière vidéo on avait démontré on avait donné une démonstration de la formule du logarithme d'un produit ici on va essayer de démontrer cette propriété la rue logarithme en basics du quotient assure b et bien c'est le logarithme en basics du numérateur à - le logarithme basics du dénominateur b alors tu vois c'est vraiment très proche de la formule qu'on a vu dans la vidéo précédente de logarithmes d'un produit ici il ya ceux - qui a pas qui apparaît et c'est ça le gros changement alors si tu as vu les vidéos précédentes vous savez je vais te paraître un petit peu répétitif mais bon je préfère insister là dessus quand on dit quand on parle du logarithme embase x d'un nombre ah bon ça c'est un nombre quand je vais appeler n ici donc ça nombre réel pas forcément un nombre entier eh bien c'est exactement la même chose que de dire que x élevé à la puissance n est égal à a voilà ça c'est vraiment la définition qu'on avait donné du logarithme l'embase x d'un nombre à essaie vraiment de serre de cette définition là qu'on va partir alors là j'ai donc dit que le logarithme basics de haas était ce petit ce n est je peux dire aussi que le logarithme embase x de paix et bien c'est votre nombreux b et bien c'est un nombre réel n et ça du coup d'après ce qu'on a dit tout à l'heure ça veut dire que si je prends le nombre x que je l'élève à la puissance n est bien j'obtiens petit b nombre petit b alors je peux dire aussi quelque chose d'autre je peux très bien dire que le logarithme en basics du quotient assure b eh bien ça va être un certain nombre que je vais appeler ici elle par exemple et quand j'écris ça en fait ça veut dire que x élevé à la puissance elle est bien c'est égal à a / p voilà alors donc gt3 relation là mais en fait je vais me concentrer sur celle ci est celle qui est là celle là et je vais la réécrire mais en utilisant le fait que a et b en fait je les ai exprimé différemment ici et là un alors x puissance elle du coup c'est à alors au lieu d'écrire à je vais écrire x puissance n puisque x puissance n est égal à à c'est ça que j'utilise voilà / b petit b qui est x puissance m ce que j'utilise ici c'est ça donc là je vais avoir x puissance est légal x puissance n / x puissance m alors quand on a ce genre de quotient on peut avoir le réflexe d'utiliser une des propriétés des explosions des exposants qui est que x puissant scène / ex puissance n en fait c'est x puissance n - m n - them les exposants ici se soustraient est maintenant de cette relation-là x puissance est légal x puissance n moins zen et bien on n'obtient que l'exposant elle est égale à n - m n - m ça ça vient d'ici 1 et maintenant en fait cette expression là on peut la réécrire puisque on peut la réécrire en termes de logarithmes puisque ce petit l on a vu que c'était logarithme embase x2 assure b c'est comme ça qu'on avait défini le petit elle est donc ça c'est égal à petit n les petites haines c'est le logarithme embase x2 a donc logarithme embase x2 à - petit m mais petit mc logarithme basics de b donc je vais écrire ça comme ça - logarithme embase x 2 b et là ça y est on a terminé en fait on obtient exactement la formule qu'on hacker qui est écrite heures ici là le logarithme en basic de assure b et bien c'est le logarithme en basics deux a moins le logarithme en basics de b voilà alors on va continuer maintenant je vais démontrer une autre propriété des logarithme qui est celle ci un logarithme d'une puissance et je vais faire exactement de la même manière donc je vais dire que le logarithme embase x de petits tas et bien je vais l'appeler n et ça ça veut dire que x élevé à la puissance n et bien c'est égal à a alors maintenant je vais partir de 7h relation là je vais élever chaque membre a la puissance b donc je l'obtiens que x puissance n élevé à la puissance b et bien c'est à élever à la puissance b alors maintenant évidemment là on peut utiliser les les formules des puissances un x élevé à la puissance n élevé à la puissance b cx élevé à la puissance n x b donc ça c'est égal à puissance b et là on m'a bien avant c'est parce que qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que la puissance à laquelle il faut élever x pour obtenir le nombre à puissance b et bien cnb autrement dit en termes de logarithmes ne s'adonne que le logarithme embase x2 à puissance b et bien cnb là j'ai écrit exactement la même chose cette relation-là xlv à la puissance end est égal à puissance b c'est exactement ça alors il ya quelque chose que je peux encore transformer c'est que ce petit haine qui est là en fait je peux c'est celui qui est là donc en fait je peux dire que c'est le logarithme bas 6,2 à est donc finalement je vais pouvoir écrire ça comme ça logarithme en basics de à puissance b et bien cnb alors je vais écrire plutôt b&n comme ça mais au lieu d'écrire n comme ça en fait je vais le remplacer par cette expression là en terme de lauga ritz et le logarithme basics de a donc au lieu d'écrire b x n je vais écrire b fois le logarithme embase x2 ah voilà et là on a terminé à on n'obtient que logarithme embase x2 à puissance bcb fois le logarithme embase x2 à c'est exactement cette formule là qu'on cherche à démontrer voilà à bientôt