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Résoudre une équation comportant des logarithmes - exemple 1

Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

on te demande de résoudre cette équation où apparaissent 4 le gary locke 2x plus l'oc ii iii est égale à deux blocs de 4 - locke 2 2 lorsque log et riz ainsi sans préciser la base implicitement la base est de 10 c'est pas écrit pas besoin de l'écrire mais je vais le faire une fois pour que tu le saches mais à partir de maintenant lorsque j'écris réel log ça veut dire log base 10 alors comment est-ce que je résoudre cette équation images j'ai besoin de connaître certaines propriétés du logarithme non et si tu connais déjà ses propriétés tu peux tu peux sauter cette partie de la vidéo mais il faut connaître le logarithme d'un produit de deux nombres à quoi ça correspond le logarithme d'une fraction et le logarithme d'une puissance par exemple à à la puissance paix alors le look arrive d'un produit c'est la somme des logarithme des deux nombres locke de abc l'oc ii a plus l'oc ii b le garric d'une fraction c'est la soustraction dit le gars rythme des deux nombres donc l'oc ii à surbaissé l'oc ii a - locke 2b est finalement log de à puissance paix qui est une conséquence directe de la première propriété est égal ap fois le gars rythme de ah non c'est comme si on avait le garric de à foix à foix à foix et on sait que le logarithme d'un produit c'est la somme des logarithme donc on obtient locke de a+ look de a+ look de a et c p x donc pkoi l'oc ii alors maintenant qu'on connaît ces trois propriétés on peut résoudre assez facilement cette équation je vais le faire ici donc on à l'oc 2x plus locke 2 3 locke 2x plus look de 3 c log de 3x log de 3x le garage du produit entre 3 et xc logarithme de trois plus le grid 2 x d'accord là on a deux fois look de cadres donc on est dans cette situation là où on a un nombre x le logarithme dans notre nombre eh ben ça c'est le logarithme de 4 à la puissance de leur guérite de 4 au carré donc logarithme de 16 auquel je soustrais le logarithme de deux très bien prochaine étape on va s'occuper de ce qu'il ya à droite à gauche c'est garder logarithme de 3x et à droite j'ai logarithme de 16 - le green de deux on est dans ce cas là on a une soustraction de de logarithmes et bien le résultat c'est logarithme de 16 / 2 donc le gars est de 8 le gars est de 8 le garric de 16 - le gars est de 2 est équivalent à logar est de 8 d'après sa propriété comme bloc de 3 x est égal à loeb de 8 je peux écrire que 3 x est égal à 8 alors attention je n'ai pas le droit de faire ça avec toutes les fonctions par exemple avec la fonction car elle aurait pas de règles pas l'aura de faire ça le droit de faire ça lorsque j'ai une fonction bij et ctive et ça veut dire que chaque image a un antécédent unique chaque image d'une fonction log un antécédent unique donc là je peux écrire 3 x est égal à 8 et donc conclusion conclusion x est égal à 8 hier j'ai réussi à résoudre cette équation et en bonus je te propose on a réussi à résoudre cet exercice en connaissant ces trois propriétés peut-être que tu te poses la question comment est ce qu'on sait que ces équations sont vraies comment comment reconnaît-on ses propriétés alors elles sont assez faciles à prouver donc je vais le faire ici locke de ab est égal à loeb de a+ look de b alors comment est ce qu'on obtient sa imaginons qu'on ait un nombre à qui est égale à 10 à la puissance p1 et un autre nom brebis qui est égale à 10 à la puissance p2 donc on a le produit de a et 2b qui est égale à 10 puissance p1 plus p2 10 puissance p1 x 10 puissance p2 donc les puissances s'additionnent et c'est trois choses là ces trois choses là sont équivalentes à l'écriture logarithme 1,2 à est égal à p1 je dois élever 10 à la puissance p1 pour obtenir à ça c'est une expression équivalente de celle ci le garenne de b le gars rythme de bct ya la p2 avec la même logique et logarithme de à foix bct galles a été un plus p2 et ici on a vu que p1 et p2 c'est le log à et locke b donc logarithme de ab est égal à le garric de a + logarithme 2b et la deuxième propriété peut-être démontrer exactement la même manière sauf qu'on aurait assure b à cette étape-là donc 10 puissance p1 - p2 et à la fin on obtiendrait 7 équivalent cela et je t'ai déjà dit que la troisième propriété est la conséquence directe de la première donc voilà comment est ce qu'on démontre ses trois propriétés