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Primitives d'une somme de fonctions puissances

Transcription de la vidéo

alors il faut trouver la primitive de cette fonction qui a pas l'air très très gentille 1 7x puissance 3 - 5 racines de x +18 racines de x sur x au cube plus x puissance moins 40 alors la dérive et c'est ce qu'on appelle un opérateur linéaire la primitive aussi c'est c'est-à-dire pour faire simple on va trouver la primitive de chacun une primitive de chacun des membres on va tout les ajouter comme c'est marquer et on va rajouter plus c'est puis on aura fini donc on va commencer par trouver la primitive de ctics au cube 1 on va lui retrancher une primitive de 5 racines de x devrait pas dire la primitif ou jeudi une primitive chaque fonction à une infinité de primitive comme on l'a déjà vu ensuite on va trouver une primitif de 18 racines de x sur x au cube et ensuite on va une trouver une primitif 2 x puissance moins 40 et on va les ajouté est retranché exactement comme dans la fonction on ajoutera la constante à la fin et on aura la primitive une prime et la forme générale des primitives de cette grosse fonction là pour ce faire on va se servir de la règle de dérivation d'une fonction puissance à la dérive et d'une fonction puissance c'est x puissance nc n.é x puis 100 cède -1 et donc on a vu que ça entraîné que la primitive de la faute de fonction une puissance est x puissance n on avait la formule ex puissance n + 1 / n plus eh bien c'est ce qu'on va faire donc pour cette xe au cube par exemple 7x au cube une primitive de 7x aux cubains ses 7 x puissance le 3 je doit l'augmenter d'un donc ça va me donner cette xe puissance 4 et je divise par quatre donc j'obtiens 7x puissance 4 / 4 ans je m'occupe de la fonction puissance je prends ça primitive comme le dit la formule et je multiplie par sept puisqu'il ya un coefficient 7 devant le xo cube d'accord ensuite j'ai une soustraction donc je recopie la soustraction et je la trouvais la primitive de 5 racines de x alors racines de x il faut se souvenir que c'est aussi une fonction puissance même si ça n'a pas l'air au premier abord racines de x ça peut très bien se réécrire x puissance 1,2 me voilà et si on considère racines de x comme étant la même chose que x puissance 1/2 bain et x licence 1/2 c d'une fonction puissance avec l'exposant égale à 1 an 1/2 et ça on en prend la primitive exactement comme on prend la prime comme on a pris la primitive de xo cube donc j'ajoute 1 à 1,2 me sam d'onyx puissance 3 demi et je divise par trois demi exactement comme j'ai fait avant égale coefficient 5 que je rajoute devant la voilà ensuite on va s'occuper du 18 racines de x sur x au cube alors celui-là il est il est un peu plus dure mais en fait l'idée c'est tous transformés en fonction puissance 1 donc racine 2x je vais dire que c'est x puissances ennemies et donc ça ça serait écrit dix huit races 18x puissances ennemies et xo cube ben comme il est au dénominateur je peux très bien transformer en x puissance moins trois au numérateur ce qui va me donner en additionnant les exposants c'est et tu sais quand on a un produit de puissance comme ça on additionne les exposants 1 x puissance 1/2 x x puissance - 3 ben ça fait x puissance moins ni plus moins trois c'est à dire x puissance -5 2 me tue s'additionnaient d'effraction et donc j'ai le coefficient 18 ça fera 18 x x puissance -5 2 me donc cette grosse expression 18 racines 2x urique s'occupe c'est comme si on nous avait écrit 18 à 18 x x puissance -5 2 me et donc on a une fonction puissant six puissances -5 2 me dont on trouve la primitive exactement comme les fonctions puissance d'avant 1 je prends l'exposant -5 2 me je lui rajoute un et je divise parce que j'ai trouvé donc x puissance moins cinq demi quand je rajoute un ca fait x puissance moins trois demi quand je rajoute un à l'exposant et je dois / - 3/2 à ça ça s'additionne et j'oublie pas le coefficient 18 qui était devant tout ça bon bah on sait on voit qu'on va donc on va devoir simplifier on va simplifier un petit peu plus tard on s'occupe d'abord du x puissance moins 40 x puissance -46 une fonction puissance tout bête ça ça se calcule sa primitive exactement comme précédemment on ajoute un à l'exposant ça fait x puissance -39 moins qu'avant de plus a fait au moins 39 et on divise par moins trente neuf et on rajoute notre constante c'est voilà donc voilà donc la forme générale des primitifs de la grosse fonction f que qui vous avait été donné au départ et donc on va un petit peu simplifié ça parce que c'est pas très marrant de voir d'effraction sur des fractions bon 7x puissance cap sur cadman ça s'écrit c'est déjà simplifiée ainsi que le recopier tel quel maintenant la division par trois demis faut voir que 5 / 3/2 ses 5 x linverse de trois demis ses 5 x 2 tiers s'est donc dit hier donc le deuxième terme se transforme en moins dit hier x puissance 3/2 bon 18 / - trois demies en passe au terme d'après 18 / - 3/2 je multiplie c'est comme si je multipliais 18 par l' inverse de -3 2 me c'est-à-dire par moins 2/3 donc 18 / - 2/3 ça simplifie bien 18 c 6 x 3 je peux simplifier les 3 et donc il me reste que ça fait moins 12 voilà donc tout ça c'est moins 12 - douze fois moins 12 x puissance moins trois demi que je recopie et enfin la seule chose qui me reste à faire pour simplifier c'est un petit peu moins c'est enlever le signe - du dénominateur et donc ça fait moins 1 39e 2 x puissance -39 plus c est donc voilà la forme dans laquelle on va garder la forme générale des primitifs de la fonction kit a été donné au départ maintenant si tu veux un travail intéressant que tu pourrais faire c'est prendre cette forme qu'on a trouvé la dérive et pour vérifier qu'on retrouve bien la fonction du départ pour vérifier que la primitive c'est bien lentilles dérivés c'est bien la fonction dont on a donné la dérive et au départ