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Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est un entier naturel

Transcription de la vidéo

bon on donne la fonction qui a x associe x puissance n + 1 suresnes plus en plus c'est alors dans cette fonction le n est le sait sont des paramètres c'est-à-dire des valeurs fixes qu'on ne connaît pas dont on ne connaît pas exactement la valeur je précise quand même évidemment que n est différente - 1 1 parce que si elle est égale à -1 ça annule le dénominateur et la fonction ne peut pas être défini et ce sont des fonctions f 2 x donc d'une variable x tu prends une fonction de cette forme-là de la forme x puissance incluse à suresnes +1 et je voudrais la dérive et dont je calcule la dérive et de cette fonction on sait dérivés les fonctions x puissance n + 1 1 le n + 1 devient un coefficient et la puissance des croix d'hins rend donc x puissance n + 1 je retire un à l'exposant ça me donnait m + 1 x x puissance n + 1 - 1 c'est-à-dire haine et j'ai une division par n + 1 et donc la dérive est également et / n + 1 là on dit que la dérive est un opérateur linéaire quand on multiplie la fonction par une constante la dérive et est également multiplié par 7 même constante qui essaie ici est assurée de plus et plus le sait bien le sait c'est une constante quand je dérive une constante tu sais très bien que ça donne ce héros et donc j'ajoute le zéro et là je m'aperçois que je peut simplifier les unes plus sain et il s'avère que la dérivée de la fonction qui a x assauts six puissances n + 1 sur une plus en plus c'est passé tout simplement x puissance n voilà ce qu'on arrive à dire sur les dérivés mais ce qu'on dit sur les dérivés on peut également dire on leur dira dire le contraire le dire dans l'autre sens sur les primitives donc si la fonction x puissance est née la dérive et de des fonctions de la forme x puissance n + 1 / n + 1 ça veut dire que les primitives de la fonction x puissance n que de la fonction réelle kx à ceux six puissances n sont les fonctions de la forme x puissance n + 1 / n plus en plus c'est si les unes sont les dérives si l'une est la dérive et des autres alors les autres sont les primitives de lune à lacets comme ce cil primitive c'est en quelque sorte linverse de la dérive est ce qu'on appelle dans certains pays il anti dérive est là donc je peux écrire que les primitives de des fonds des fonctions qui a fait face aussi qu' à ixxo six puissances n sont les fonctions de la forme x puissance n + 1 / une plus en plus c'est alors en disant sages admet quelque chose qu'on n'a pas prouvé c'est que en fait il n'y a pas d'autre il n'ya pas d'autre primitive que ces fonctions là on a vu que la dérive et de ces fonctions là c'était x puissant scène mais on pourrait se dire il pourrait très bien avoir d'autres fonctions qui ressemble pas à ça dont la dérive et est également l'ex puissance n mais en fait non et il n'y en a pas d'autres ça je vais te demander de l'admettre voilà et là on peut voir ce que je viens de dire comme une formule générale tu avais la formule générale de dérivation 2x puissance n maintenant on va avoir la formule générale qui donne des primitives 2x puissance nbc sur un exemple quels sont les primitifs de la fonction qui allie xas aux six puissances 5 et bien d'après d'après cette formule est là je peux dire que les primitifs sont de la forme x puissance 5 + 1 sur 5 + 1 plus une constante c'est donc autrement dit x puissance 6 sur 6 plus une constante c'est un ce sont les fonctions ce sont ces fonctions-là qui quand on les dérives donne x puissance 5 es tu peux essayer de dérivés x puissant 6 sur 6 plus c'est avec ces constantes et tu trouveras bien x puis 105 un autre petit exemple tiens pour le faire intéressant à prendre 5 x puissance moins deux et on va chercher les primitives de la fonction qui a x associe 5x puissance moins deux biens et les les dérivés sont un opérateur linéaire quand je multiplie par une constante la dérive est aussi multiplié par une constante et bien les primitifs l'être aussi un sillage multiplie par une donc je vais prendre la primitive je vais prendre les primitifs 2x puissance moins deux et je vais multiplier par 5 et donc les primitifs 2x puissance moins deux sont les fonctions de la forme x puissance - 2 + 1 / - 2 + 1 ici c'est moins 2 qui prend la place de n et je n'oublie pas évidemment le plus serré a pas qu'une seule fonction qui est la primitive il y en a une infinité toutes les fonctions de la forme x puissance mois de plus un surnom de plus en plus une constante évidemment ça se calcule x puissance moins de +16 puissance moins un sur moins de plus un c'est sûr - 1 et j'oubliais n'oublie pas le plus c est donc là j'ai x puissance / - c'est comme si j'écrivais - x donc cinq fois moins six puissances - un plus c'est je peux développer distribuer le 5 c'est moins 5 x puissance - 1 + 5 c mais en fait si tu regardes le 5 c'est le 5 6 et 5 fois n'importe quel nombre cinq fois n'importe quel constante et donc j'ai pas besoin de multiples dissimule type qui n'importe quel constante par saint tu veux obtenir aussi n'importe quel constante donc si tu veux on peut revenir sur les constantes d'avant et les appeler ses 1 et 5 fois c'est un on n'a qu'à dire que ça s'appelle c est donc voilà on a la forme générale des primitives de la fonction 5x puissance -2 et les primitifs de la fonction cinq ex puissance mois de son la photo de la forme - 5 x puissance - un plus n'importe quel constante c'est