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Calculer les primitives d'une fonction de la forme A(x)/B(x) en faisant la division euclidienne des deux polynômes

Transcription de la vidéo

ok essayons de calculer dans cet exercice l'intégrale de 2 à 4 2x moins 5 / - 2x plus de dx alors comment on fait déjà la méthode la plus facile pour calculer une intégrale s'est trouvé une primitif de ce qui est de la fonction qui est sous le signe intégral maintenant on s'aperçoit bien vite ce qu'on ne revoit pas facilement une primitive donc on essaye d'autres méthodes on se demande à quoi ressemble cette fonction que je connais est ce qu'elle me rappelle une méthode que j'ai déjà utilisé et bien cette fonction x points 5 sur un an à 2 x + 2 c'est ce qu'on appelle une fraction rationnelle c'est un quotient de polynôme et une fraction rationnel on sait les uns sont celles intégrées en la décomposant en éléments simples donc première chose on va des composés cette fraction rationnelle en éléments simples pour la réécrire sous une forme dont on va savoir facilement trouver une primitive bon là ça va être très facile pourquoi ça va être très très facile parce que si tu observes le si tu observes le numérateur s'éteint c'est un polynôme de quel degré c'est un polynôme 2° 1 est le dénominateur c'est aussi un polynôme 2° 1 donc en fait on il suffit de faire la division euclidienne quand on a deux polinum 2° il suffit de faire la division euclidienne et on obtient tout de suite la décomposition un élément simple ou alors on peut on peut aussi essayer de la deviner comme ça rien qu'en regardant et faisons la division euclidienne si on voit pas ça ça marche toujours donc x - 5 / - 2x plus deux mais on commence en x - 5 combien de fois moins 2 x + 2 et plus précisément en x combien de fois moins 2 x je dois mettre ici un nombre sur le quotient permettre au quotient un nombre qui quand je le multiplie par -2 6 me donne x alors quelques efficient je vais bien pouvoir trouver qui multipliait par - 2 x 2 1 x autrement dit qu'est ce qui est ce qu'ils x - 2 donne un an le nombre x - 2 donne 1 c'est moins un demi voilà donc je vais moins un demi au quotient et qu'ensuite on fait comme d'habitude quand on fait une division on multiplie - 1/2 par - 2 x on multiplie - 1/2 par +2 et on met les résultats ici mais attention en changeant les signes parce qu'on doit soustraire le résultat de cette multiplication alors on y va petit à petit pour pas se tromper alors on multiplie - 2 - 2 x fois moins un demi - 2 x fois moins un an et demi ça fait plus 6/1 - un peu - x - ça fait plus deux fois un ami ça fait 1 donc ça fait plus x et mais je dois changer le signe donc je vais mettre moins x je mets moins x et je fais la même chose avec le 2 - 1/2 x 2 combien ça fait moins un demi frais 2 et moins admis fois deux ça fait moins 1 et comme je change le signe j'écris plus là et ça qu'est-ce que j'en fais de ce que j'ai écrit en dessous du dénominateur eh bien je l'adisq du numérateur pardon et bien je la dis sione avec le numérateur alors on fait une addition on va additionner que les deux polynôme là et le résultat va nous donner ce qu'on appelle le reste de la division donc on additionne est évidemment le degré baisse quand on additionne parce qu'on s'est arrangé pour avoir ici x est moins x et ça s'annule un excès - sic quand on additionne je peux les annuler donc tout ce que j'ai à additionner c'est moins 5 + 1 - 5 + 1 ça fait moins quatre donc la division de ces deux polynôme m'a donné comme quotient moins admis et comme reste moins 4 et qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que la division de ses deux polynôme x - 5 / - 2 x + 2 elle peut se réécrire sous cette forme - 1/2 le quotient plus le reste - 4 que j'ai écrit comme ça - 4 plus le reste divisée par le dénominateur alors si ça te paraît un peu bizarre songe que c'est exactement ce qu'on fait lorsqu on divise dénombre au lieu de diviser polynôme ça fait on apprend à diviser dénombre quand on est enfant et on vous sait par exemple que 23 / 4 ça donne un quotient de cinq et ils restent 3es qu'est ce que ça veut dire que 23 / 4 denain cocciante 5 et il reste 3 ça veut dire que 23 / 4 c 5 + 3 sur 4 c 5 + 3/4 donc on additionne le quotient avec le reste divisée par le dénominateur c'est ce qu'on fait avec les nombres c'est ce qu'on fait avec les paulino quand on fait leur division et les gaines alla donc en fait la fonction qui associe d'intégrale c'est la même chose que cette fonction là et cette fonction là on va voir concerne trouver une primitive avant d'en trouver une primitive on va quand même pouvoir simplifier cette fraction on va la présenter sous une forme plus agréable déjà on ad - - on n'aime pas trop ça on n'aime pas non plus les dénominateurs qui commence par moins on va diviser en haut et en bas par -2 on va se simplifier on voit que tous tes pairs on peut simplifier par deux en fait on va simplifier par -2 et au lieu de -4 sur la place de - 4 / - 2 x + 2 je vais avoir une fraction simplifie un petit peu plus facile et ça me donne donc x - 5 / - 2 x + 2 égale le moins un demi que j'avais ensuite on a / - 2 dont il reste plus de au numérateur et everest x - un dénominateur donc plus de sur x - et donc la somme de ces deux fractions est égale à la fraction la somme de ces deux fractions rationnelle qui sont des éléments simples est égal à cette fraction rationnelle là si tu veux t'en convaincre tu peux toujours réduire sa au même dénominateur et additionnés et tu vas trouver ça ça marche tout seul maintenant moi je dis qu'il est beaucoup plus pratique d'écrire ça sous le signe intégral que décrire cette fraction rationnelle là parce que ça on s'est retrouvés primitive et c'est exactement ce que je vais faire au lieu d'écrire dans l'intégrale x - 5 / - 2x plus de regarde j'écris dans l'intégrale ce que j'ai trouvé la décomposition d'éléments simples - 1/2 plus de zurich - pourquoi parce que moins admise +2 sur x - 1 on sait en trouver une primitif d'une manière générale c'est plus ou moins compliqué mais on a des méthodes pour trouver des primitifs de tous les éléments simples alors allons-y on va trouver primitive donc notre intégrale de 2 à 4 2x moins 5 / - 2x plus de dx est égal à on ouvre les crochets et on se demande quelle est la primitive de moins un demi pas moins un demi c'est facile c'est une constante sa primitive c - 1/2 x et ensuite calé la primitive de 2 sur x - 1 alors une constante sur une fonction une constante sur une fonction affine c'est toujours du logarithme donc ces deux fois logarithme 2x moins 1 en fait il faudrait que je divise aussi par la dérive et 2x moins 1 1 on divise par la dérive et internes quand on a une fonction composé par une affine mais la dérive et 2x moins 1 c'est un donc on a on n'a pas à diviser donc c'est plus facile tu me diras attention avec le logarithme il ya un problème de définition le logarithme il est défini que pour les x positif alors que cette fonction là elle est définie pour toutes xe oui mais c'est pour ça c'est parce que le gars rythme est définie pour les x positif strictement positif que je prend la précaution de demander l'intégrale de 2 à 4 parce que lorsque x varie entre 2 et 4 - x - va rester positif et comme mon x - va rester positif et bien je peux sans problème prendre le logarithme ainsi j'avais pris le des bornes qui rendait ce qui a soulevé à rythme négatif j'aurais dû mettre une valeur absolue et même sort a été plus compliqué que ça et j'aurais surtout pas pu prendre des bornes dont l'une rendre logarithme positif et l'autre en logarithme négatif il ya ce problème de l'ensemble de définition qui prise de nous compliquer lequel calcul de l'intégrale si on n'a pas choisi les bonnes bornes heureusement moi j'ai choisi les bonnes bornes voilà entre 2 et 4 comme ça x - est positif et comme ça on n'a pas de problème avec le logarithme et bien maintenant il reste plus qu'à faire la différence tu sais comment ça marche on évalue la fonction en quatre on évalue la fonction d'eux et puis on soustrait donc allons-y toute cette intégrale donc mon intégral je recopie lamont intégrale de l'énoncé x - 5 / - 2x plus de dx est égal à quoi donc on évalue en quatre on va essayer de faire le calcul en même temps ça me donne - 1/2 x 4 ans 1/2 x 4 ça fait moins deux et ensuite plus de logarithmes de 4 - 1 donc plus de logarithmes de 3 - je vous donne parenthèse et maintenant je suis censé évaluer ça pour x égal 2 donc allons-y - saint-denis fois deux ça fait moins 1 donc j'écris moins un bon et 2e parenthèse plus deux fois le logarithme de bain cette fois de ses 2 - 1 2 - 1 ça fait 1 + 2 fois le logarithme de rein voilà et voilà ce que ça donne voilà résultat de mon intégral bon ça simplifie un peu on est presque au bout de nos peines on voit que ça simplifie facilement un déjà une chose qu'il est bon donc qu'il est bon de voir c'est que logarithme de 1 006 on sait que s'ils ont bien appris ses leçons on sait que logarithme demain ça vaut zéro et donc on peut barrer ça ça fait déjà ça de moins d'accord ensuite bain on a moins - 1 - 1 - 1 ça fait plus simple plus simple que je vais additionné au moins deux donc moins de plus un ça fera moins 1 et plus le 2 le garric me 2,3 qui reste tout seul et ça fera donc moins un plus de logarithmes de 3 et voilà donc le résultat de mon intégral que j'ai réussi à calculer en décomposant marc fractions à sionnel en éléments simples