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Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples pour calculer une intégrale - exemple

Transcription de la vidéo

dans les vidéos on parlait de décomposer d'effraction rationnelle en éléments simples on dit que les éléments simples que la décomposition en éléments simples peut servir à trouver des primitives pour calculer des intégrales et bien là justement on va avoir un petit exemple je te propose de calculer l'intégrale de deux à trois d'une fraction rationnelle disons la fraction x au carré plus x e moins 5 sur x au carré - 1d x alors qu'est ce qu'on fait quand on voit une intégrale comme ça ainsi tu as la moindre idée de comment il faut faire je t'invite à mettre la vidéo en pause et essayer d'en faire le plus possible tout seul c'est comme ça qu'on progresse ainsi ensuite tu reprends le cours de la vidéo pour vérifier donc voilà qu'est ce qu'on fait quand on voit ça on se demande si on peut trouver une primitive de la fonction telle qu'elle est et là telle qu'elle est présentée la fonction il me paraît extrêmement difficile d'en trouver une quelconque primitive alors on remarque que c'est une fraction rationnelle et on se rend compte avec de la pratique en décomposant la fraction rationnelle en éléments simples il s'avère qu'il est possible de trouver assez facilement des primitifs pour chaque élément simple alors c'est exactement ce qu'on va faire regardons la fraction rationnel que l'on a c'est x au carré plus x moins 5 sur x au carré - 1 alors comment ça se décompose premièrement on compare le degré du numérateur et le degré du dénominateur et quand on voit que le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur eh bien ça veut dire qu'il ya une partie entière à la décomposition et donc on fait la division du numérateur par le dénominateur à division euclidienne du polygone numérateur par le polynôme au dénominateur pour connaître cette partie entière donc on va la faire là sur le côté donc je pose la division x au carré +6 -5 le numérateur / x au carré - le dénominateur et l'idée c'est que je veut annuler les termes de plus haut degré cheveux à nu les x au carré autrement dit par combien doivent multiplier x au carré du dénominateur pour trouver le xo carré du numérateur x au carré fois combien d'onyx au carré et fois un donc je mets un voilà donc je multiplie le dénominateur parent 1 x x au carré - st et je recopie en dessous du numérateur mais en changeant de signe parce que je te rappelle que l'on soustrait le résultat de la multiplication au numérateur donc un x x au carré ça fait x au carré et moi j'écris l'opposé j'écris - x au carré parce que je soustrais le résultat du produit et je continue j'ai aussi mon le moins 1 ce que gx au carré - 1 donc je fais un x - 1 ce qui fait moins un et je change le signe je mets plus je vais être plus en dessous du moins 5 parce que c'est les termes de même degré vont s'additionner entre eux à lattes et on additionne ces deux lignes là ce qui va nous donner que les x au carré et s'annule exactement comme on voulait on a un x ou seul et ensuite on a moins 5 + 1 ce qui donne moins 4 on a donc x - 4 c'est le reste de ma division et j'ai fini ma division parce que le degré du reste est plus petit que le degré du dénominateur x carré - 1 j'ai fini donc ma division et qu'est ce que ça veut dire que la division 2 x au carré +6 moins 5 par x 2 - 1 donne comme caution 1 et comme reste 6 - 4 eh bien ça veut dire que x au carré +6 moins 5 / x 2 - 1 sur x 2 - 1 ça peut se réécrire c'est égal à 1 moncaut cyan plus le reste sur le dénominateur c'est à dire + 6 - 4 sur x au carré - 1 voilà ça c'est la première partie la première étape de la décomposition en éléments simples et donc j'ai une partie entière un plus un polynôme dont le degré du numérateur et bien strictement plus petit que le degré du dénominateur maintenant comment je poursuis le 1 j'ai plus rien à en faire je vais le recopier à chaque lit je vais m'intéresser au x - 4 sur x carré - 1 x points 4 sur x carré - st ça n'est pas ça n'est pas ce qu'on appelle un élément simple pourquoi ça n'est pas un élément simple parce qu'à x ou carré - un saut factories dans les éléments simples je veux au dénominateur des polynômes qui ne se factories pas on va d'ailleurs le factoriser pour que tu vois mieux donc ça c'est un plus x - 4 sur x - 1 x x + 1 on sait factories ex carré - un an knicks - 1 x x + 1 et ce x - 1 x x + 1 au dénominateur l'idée c'est de dire que ça provient d'une addition de deux fractions l'une avec dénominateur x - l'un et l'autre avec dénominateur x + 1 donc ça va nous donner un plus quelque chose sur x - un plus autre chose sur x + 1 et comme je me souviens que le degré du numérateur est strictement inférieure au degré du dénominateur je dois voir ça aussi et là comme dans mes deux fractions les dénominateurs sont degré 1 les numérateur seront devront donc est de degré zéro donc ce devrait être des constantes un dénombre dénombre constant que j'appelle ici grand a et la grand baie donc voilà shdm à des compositions en éléments 5 va prendre cette forme là un plus grand à sur x - un plus grand baie sur x + 1 maintenant il faut que je trouve combien vaut grand a et combien vaut granby pour que cette dénomination eux pour que cette décomposition me donne bien que cette somme soit bien égal à à la fraction rationnel que j'ai dans l'énoncé alors comment on fait pour trouver grand a et grand baie eh bien d'abord on se débarrasse de tout dénominateur dans cette égalité on se débarrasse de toute fraction et comment on se débarrasse de toute fraction parents multiplient par le dénominateur commun on va tous x x moins 1 fois exclu ou alors par ixo carré - c'est la même chose d'accord et qu'est ce qu'on obtient quand on a tout multiplier alors à gauche on multiplie par ixo carré - 1 il nous reste plus que le numérateur et le dénominateur wass annulé quand on va multiplier à gauche dans le membre de gauche qui nous rex plus que x au carré +6 -5 égal et qu'est ce que j'obtiens dans le membre de droite j'ai dit que je multipliais tout par x - 1 x x + 1 donc le 1 je multiplie le un mât partie entière je multiplie par x - infos exclusives et j'obtiens que ces x - 1 x x + 1 voilà plus le à legrand assure x - un jeu le multiplie par x - 1 x x + 1 aussi ce qui va me permettre de simplifier les x - 1 et qu'est-ce qu'il va rester il va rester grand à x x + 1 tout cela est pour le grand bain sur exclusion il va se passer à peu près la même chose je multiplie par x - 1 x x + 1 ça va me simplifier les x + 1 7 fois et il va rester grande et x x - un tout seul voilà donc j'obtiens une égalité avec x a et b sans fraction et jeudi que en fait d'un le membre de gauche doit être égale aux membres de droite pour toutes xe pour toutes xe enfin pour tous types différents de 1 et -1 parce que si j'ai un au moins les dénominateurs de l'énoncé s'annulent met donc donc comment je vais faire je vais me dire que puisque pour toutes xe ce ce qui est à gauche doit être égale à ce qui est à droite je peux essayer de substituer à la place de xt nombre des nombres sympa des nombres qui vont me donner des calculs facile et les nombres qui vont donner des calculs facile et bien ça va être un et -1 tu me diras oui mais un et -1 c'est interdit par l'ensemble de définition de l'énoncé oui c'est vrai mais ça va marcher ici quand même parce que si tu multiples situe substitue au moins à la place de x comme tu n'as plus dénominateur tu à obtenir quelque chose qui a du sens et qui va te donner les valeurs de à et de baies qui vont marcher aussi pour pour les lignes duo ou qui ne sont pas définies pour x égale 1-1 et x égales - 1 disons qu'il se suffit de voir que ça va marcher quand même c'est une histoire de si je veux être vraiment pointu c'est une histoire de prolongement par continuité mais bon on va pas trop rentrer là dedans on va juste se contenter de savoir que bon bah on va substituer x égal 1 on va substituer x égal moins un et on va trouver fils facilement les valeurs de grande taille les valeurs de grand baie donc commençons substituons dans l'égalité que je viens d'obtenir la selle ou ya plus les fractions x égal à 1 et combien ça fait qu'est ce que j'obtiens dans le monde de gauche j'obtiens un au carré + 1 - 5 et combien ça fait un écart et + 1 - 5 ça fait 1 + 1 - 5 il a fait -3 donc le manque de bobo chevaux -3 égal et dans le membre de droite l'intérêt c'est pratiquement tous veuve à s'annuler presque tout va ça nul et donc lorsque x égale un tout tout partout gx moins ça va être égal à zéro donc x - 1 x x + 1 ça va être égal à zéro à x x + 1 ça ça va pas être égal à zéro puisque x égal 1 ça va me donner un +12 a et b x x - un bébé x 0 ça fait zéro donc j'obtiens -3 égal 2 ha et -3 égal 2 à ça me donne la valeur de aaa c'est tout simplement égal à -3 2 me voilà donc j'ai trouvé la valeur de va en substituant et en substituant un à la place de x dans cette égalité et je trouverais de la même manière la valeur de b en substituant - à la place de x dans cette égalité donc allons-y en son substitut x égal moins un dans l'égalité où il ya plus les fractions donc que vaut le membre de gauche de cette égalité x au carré +6 moins 5 ben c c'est en gros 1 - 1 au carré ça fait 1 1 - 1 ça fait zéro donc ça fait moins cinq égale égale combien égal lorsque xv au moins cette fois-ci ex plus inquiet nul donc x moins 1 fois exclu un tout ça ça fait zéro à fois exclu d'un ça fait 0 6 et b x x - un cb fois moins en moins un s'est moins de bébés donc moins cinq égales - d'eubée et en divisant par moins deux matches obtient que b égale 5/2 donc j'ai mes valeurs 2a et 2b je reviens à ma fraction rationnelle à cette ligne là de la fraction rationnelle et je vais pouvoir écrire la décomposition finale de ma fraction rationnelle en éléments simples donc allons-y maffre action rationnelle que j'avais au départ x au carré +6 moins 5 sur x au carré - 1 c'est égal à 1 et à la place de à cette fois je mets la valeur - 3 demi que j'ai trouvé donc ça à me donner à la place de va sur x - je vais obtenir -3 2 me de x - enfin - 3 / 2 x - 1 j'ai remplacé à part -3 2 me maintenant je remplace b par 5 2 me et j'obtiens plus 5 sur 2 x x + 1 et voilà ce que je dois intégrer donc mon intégral en fait c'est l'intégrale entre 2 et 3 2 1 - 3 2 3 / 2 x x - 1 + 5 sur 2 x x + 1d x et sam avance à quoi ça ça m'avance à ce que si je regarde ma nouvelle intégrale et bien je sais on trouvait une primitive parce que je sais trouver une primitif de chaque de chaque terme que j'additionne on va voir ça tout de suite c'est très très facile hein voilà donc on ouvre les crochets un primitif de un cx une primitive de 3 / 2 6 - 1 c'est c'est comme un sur x 1c ça fait penser à un sur x à une fonction une constante sur une fonction affine au dénominateur ça donne du logarithme ça donne du logarithme 2x moins bon le 3 2 millions le mets en facteurs et un sur x - ça donne de logarithmes 2x moins un et a même pas besoin de dérive de diviser par la dérive et internes puisqu'elle vaut 1 donc c'est moins trois demis de logarithmes 2x moins 1 et ensuite plus 5/2 je l'avais ange lemée en facteurs et quand j'ai mis le plus 5 2me en facteur il reste 1 sur x + 1 est exactement de la même manière un sur x + 1 ça donne comme primitif ça faut y penser tout de suite ça donne qu'un primitive le logarithme 2x plus sain une fonction à finhaut dénominateur ça nous donne un look à rythme et tout ceci est à prendre entre deux et trois voilà maintenant qu'on a trouvé quand on a trouvé la primitive de la fonction intégrée ensuite il n'y a plus qu'à substituer ensuite on sait qu'on a pratiquement fini le travail donc on va substituer 3 on va substituer de et on va s'arranger pour arriver à la réponse la plus simple possible alors allons-y donc on substitue 3 et ça nous donne 3 - 3 2000 logarithme de trois moyens qui font 2 + 5 2 me de logarithmes de trois plus un qui font quatre - parenthèse et là on substitue 2 donc ça nous donne x égal 2 - 3 demi de logarithmes de 2 - 1 qui font un + 5 demi de logarithmes de de plus un qui font trois et on ferme la parenthèse bon par chance cette expression va considérablement se simplifier pourquoi déjà logarithme 2 1 ça fait zéro donc le moins trois demis de logarithmes 2 1 on peut le bar et c zéro ensuite il ya une simplification à faire si on connaît bien ces lois de logarithmes avec logarithme de 4 à ce qu'on se rappelle que quatre ces deux au carré donc le logarithme de cap c'est le gars rythme de 2 carrez et on sait quand on a une puissance à l'intérieur du logarithme on peut la signer une loi qui dit que logarithme à 2x puissance ncn fois logarithme 2x donc le logarithme de 4 ces deux fois le logarithme 2 2 voilà et donc si je multiplie à gauche et à droite par sun demi j'obtiens que 5 2me fois le logarithme à 2 4 c 5 2 me soit 2 autrement dit 5 fois le lober rythme de 2 et donc voilà là on va on va additionner ce qui se ressemble et on va regrouper les entier les termes en logarithme de 2 et les termes en logarithme de 3 donc les entier j'ai 3 - 2 qui font un don qui égale un plus ensuite on s'occupe des termes en logarithme 2 2 donc j'ai moins trois demis logarithme de deux plus le logarithme de quatre niveaux 5 logarithme de 2 donc 53 demi s'est dit demi - trois demies c'est cette demie de logarithmes de deux et ensuite le logarithme de 3 je n'oublie pas qu'il se trouve dans une parenthèse avec un moins de vent donc j'obtiens -5 2 me de logarithmes et de trois et voilà le résultat de mon calcul d'intégrale mon intégral vaut un plus cette demie de logarithmes de 2 - 5 2 me de logarithmes de 3 et voilà la valeur de mon intégral on avait une fonction une fraction rationnel on la décomposer en éléments simples ça a été un gros boulot mais ça nous a permis de trouver une primitive de la fonction qu'on cherche à intégrer et ensuite avec un petit boulot sur les sur les lois d logarithme on a trouvé la solution un beau coup d'état mais une méthode somme toute assez classique