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Approximations de Riemann par des rectangles ou des trapèzes

Transcription de la vidéo

ok dans les dernières vidéos on a trouvé des valeurs approché de l'air sous la courbe sous la coupe d'une fonction en traçant des rectangles dont le total des airs est à peu près la même chose que l'air sous la courbe voilà on a divisé notre intervalle ab en n petit intervalle de même taille et on a construit des rectangles avec comme moteur la borne inférieure de chaque intervalle et comme largeur lala une largeur constante voilà et donc voilà rectangle un rectangle de jusqu'au rectangle rennes et on a dit que l'air sous la courbe c'était à peu près la somme de toutes ces airs donc on écrit la somme avec le symbole sigma 2 illégal 1 jusqu'à n le hisser en quelques sortes un compteur de rectangles donc on va de vie égal 1 jusqu'à y est galen on a une rectangle et donc pour le premier un rectangle sa hauteur cf 2 à c'est-à-dire f 2 x 0 et pour le 2ème rectangle sa hauteur je vais la prendre en x 1 ça va être f2 x1 et pour le ainsi de suite pour le énième rectangle sa hauteur ça va être effectué en x n - 1 2 f 2 x est de -1 donc chaque auteur de rectangles cf 2 x y moins à la hauteur du rectangle numéro icf 2 x 6 - 1 voilà et la largeur la largeur de chaque rectangle c'est une largeur constante que nous avons appelée delta x et donc la largeur c'est toujours la même c'est deltaïques si on veut une idée de ce que c'est que delta x c'est pas très difficile on a n rectangle on a un intervalle de largeur b - 1 à 1 entre a et b il ya une largeur b - za et donc et deltaïques c'est tout simplement la largeur totale b - za / les haines rectangle que l'on a et donc je vais plutôt écrire delta x donc voilà la formule somme pour y égalera n2f 2 x 6 - 1 x deltaïques ce que j'obtiens c'est une approximation de l'air sous la courbe si je prends si je l' approche par des airs de rectangle dont je prends la bonne dont je prends la hauteur dans la bande inférieure de chaque intervalle maintenant je suis pas obligé de prendre la hauteur en borne inférieure de chaque intervalle voyons ce qui se passe si je prends la borne inférieure de si je prends la borne supérieure de chaque intervalle comme auteur donc là tu vois je suis en train de tracer un premier rectangle avec qui cette fois à kohat a eu comme et auteur la borne supérieure de l'intervalle a comme auteur f 2 x 1 et ils deuxième rectangle lui aura comme motor f 2 x 2 1 je prends la hauteur à droite de l'intervalle et je continue comme ceci jusqu'au dernier rectangle qui lui aura comme auteur f2b c'est-à-dire fdx n et voilà en xl moins un jeu fait l'autre côté du dernier rectangle qui évite vraiment et de mémos hauteur sinon c'est pas un rectangle et âgés mais n rectangle et maintenant je ça c'est une autre manière d'approcher l'air et je peux très bien écrire que la somme de ses haines rectangle et désert de c'est un rectangle est à peu près égale à l'air que je cherche et donc ça va être la somme pourri égale 1-1 n est bien pour le premier rectangle sa hauteur cf 2 x 1 pour le 2ème rectangle sa hauteur cf ii x2 pour le énième rectangle sa hauteur je la marque ici cf 2 x n est donc pour le 10ème rectangle le rectangle numéro i sa hauteur sera f ii x6 que je multiplie par la largeur de chaque rectangle pour avoir son air et la largeur de chaque rectangle ça n'a pas changé ça c'est delta x et donc sommes pourris égale 1 à 1 n2f ii x6 delta x c'est l'approximation là tu vois la différence entre les deux approximations dans la première on avait pris avec 2 x 6 - 1 la borne inférieure de chaque intervalle pour définir la hauteur du rectangle et là on prend la bande supérieure eh bien on va on va prendre autre chose pour te montrer qu'il ya mille et une façons de faire on va prendre comme auteur des rectangles le milieu de l'intervalle le milieu de l'intervalle par exemple entre os x et hey you i et x1 c'est un point qui se trouve par ici et qui a pour axis la moyenne 2 x 0 x1 c'est-à-dire f 2 x 0 + 6 1 / 2 voilà et donc là c'est ça que je sois jeu que je peux très bien choisir de prendre comme hauteur de rectangles et donc la hauteur de mon rêve donc premier rectangle à ce sera f 2 x 0 + 6 1 / 2 et la hauteur de mon deuxième rectangle demain je prends le milieu de l'intervalle entre eux x1 x2 la même chose et je fais la même chose la hauteur de - nîmes rectangle ce sera le milieu de l'intervalle entre xl -1 et xn et l'abscisse de ce milieu c'est tout simplement la moyenne de xn -1 et 2 x n altère leur leur demi sommes là et donc là je peux très bien écrire une autre formule avec une autre méthode d'approximations un qui va calculer approximativement l'air sous la courbe donc cette formule ben je vais additionner les airs de haine rectangle donc c'est la somme pourri égal 1 à n lorsque y parcourt toutes les valeurs entière de 1 jusqu'à ndr de chaque rectangle de l'ère du rectangle numéro i c'est à dire la hauteur c'est comme on l'a vu hef 2 x 6 - 1 + x y sur deux et je multiplie la hauteur par la largeur pour avoir l'air du rectangle donc fois delta x et voilà une troisième formule qui m'approchent autrement l'air sous la courbe est donc maintenant je vais essayer d'être un petit peu plus créatif je suis pas obligé d'approché par des rectangles je vais approcher la pour la 4e par autre chose que des rectangles j'ai approché par des trapèzes et des trapèzes qui vont avoir comme base un par exemple pour le premier regarde f20 et f de l'idf 2 x 0 et f 2 x 1 voie là et donc si je rejoins comme ça avec un trait en diagonale les 2.2 j'obtiens sur la courbe ça me donne au trapèze et je me dis mahler sous la courbe doit pas être très très différente de leurs de tous et trapèze là je dessine le deuxième qui pratiquement rectangle et je continue jusqu'au 1e trapèze je prends un f2 xl moins un point f de xn je les relis par un très droit et ça me donne un énième trapèze et wall ag n trapèze du trapèze numéro un trapèze numéro 2 jusqu au trapèze n est va qu'on va additionner les airs de chaque trapèze alors pour mémoire un l'air d'un trapèze est égale à la 2me somme de ces deux bases x sa hauteur 1 on va je vais écrire la formule de l'air de ce trapèze là c'est égal à la demie sommes à la moyenne de cette base c'est à dire ici f 2 x 0 + f 2 x 1 voie la diviser par deux la 2me somme je prends la moyenne de ces deux bases et je multiplie sa part la hauteur du trapèze qui dans ce cas là et des nike puisque ce sont des trapèzes rectangle ça ça me donnèrent de ce trapèze du premier trapèze et pour les autres trapèze je vais avoir des formules analogue un f2 x1 plus f + f ii x2 sur deux et cetera jusqu'à f2 ipsen -1 plus fdx n sur deux est donc ma somme qui va approcher l'air sous la courbe va être la somme on à ittre apaise la somme de ses airs de ses hits rap us donc la somme pourri égal 1 jusqu'à n2f 2x pour le premier trapèze commence à x 0 donc cf 2 x 6 - 1 + f 2 x y celui d'après divisés par deux puisque c'est la 2me somme multipliée par la hauteur de chaque trapèze qui vaut delta x et voilà comment j'approche l'air sous la courbe par une somme d'air de trapèze de même auteur et donc là tu as vu quatre manières d'approcher l'air sous la courbe insistant on a toujours des valeurs approché de l'air sous la courbe on n'a pas encore ça à venir bientôt mais on n'a pas encore le moyen de calculer exactement l'air sous la courbe et on pourrait imaginer encore plein d'autres méthodes pour diviser l'air sous la courbe en à peu près des petites serres que l'on serait calculée additionner blé