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Approximation d'une aire sous la courbe par la méthode des trapèzes

Transcription de la vidéo

ok pour mieux comprendre ce problème de calcul d'air sous la courbe là nous avons tracé ici le graphe de la fonction f 2 x égale racine carrée de x - anzin et on va calculer air sous cette courbe un mot depuis x égale 1 1 jusqu'à x égale 6 tu vois c'est l'air que je délimitant la ici et donc cesser terlat qu'on va essayer d'évaluer en unité d un et on va essayer de pas de la calculer mais de l'approcher et de l'approché par la méthode des trapèzes c'est à dire en l'approchant par des airs de trapèze des trapèzes qui seront délimités par les droites x égale 1-1 par x égal 2 par x égal 3 ici ensuite par x égale 4 et ensuite par x égale 5 et enfin par x égal si ce seront des trapèzes qui seront tous de largeur de largeur une unité et qui auront les bases parallèle donc à laax désordonnée échelle la largeur et de l'unité parce que j'ai une largeur totale de 6 - 1 que je divise en cinq intervalle ça fait bien un c'est ce 1 que je note d'habitude delta x voilà bon ben c'est trapèze là on les obtient en joignant la fonction évalué à la borne inférieure et la fonction évaluait la borne supérieure donc pour un en fait quand je me fais de 1 à 2 en fait là ça me fait un triangle dans ce cas spécifique mais quand je vais du point d'ordonner f-22 au point d'ordonner f2 trois là ça me fera un trapèze donc mon premier trapèze on peut considérer que c'est un triangle à le deuxième trapèze le troisième trapèze le quatrième trapèze et enfin le cinquième trapèze et on va calculer les sommes désert la somme des airs de tous et trapèze là et on va dire que c'est à peu près un peu de choses près la leyre sous la courbe que l'on aimerait bien avoir donc voilà notre premier trapèze quittant le qui en fait est un triangle et donc l'air de ce triangle l'ère du trapèze si c'était un trapèze c'est la petite base plus la grande base / 2 x la hauteur donc la moyenne des deux bases x la hauteur la hauteur ici c'est un c'est delta x et la petite balle cf 2 1 + f-22 divisé par deux sa demande dans ce cas-là f21 va être égal à zéro mais ça contredit pas formule donc voilà moyenne des bas cf 2 1 + f-22 / 2 que je multiplie par la hauteur du triangle ou du trapèze comme tu veux qu'ils s'appellent delta x donc voilà à ce que j'ai écrit là c'est l'ère du trapèze ou du triangle numéro un la moyenne des deux des dés de base c'est-à-dire de la fonction évalué à 1 et de la fonction évaluant 2 x delta x maintenant le deuxième trapèze tétouan c'est un vrai trapèze ont fait exactement la même chose on prend la moyenne des deux bases c'est-à-dire la fonction évalué en deux c'est la première route c'est la première base et la petite base et la grande base c'est la fonction évaluant trois ont fait leur moyenne c'est-à-dire qu'on additionne et qu'on divise par deux et en multiplie par la hauteur du trapèze qui est delta x est bon je pense que tu commences à comprendre comment ça va fonctionner pour le 3ème trapèze ça va être de la même manière f2 3 + f24 / 2 x delta x la hauteur pour le 4ème trapèze exactement pareil on va avoir f24 plus f25 / 2 x delta x et pour le dernier trapèze voici le dernier trapèze on va rajouter f25 plus f26 diviser par deux la moyenne entre les deux bases x la hauteur delta x est donc toute cette somme là c'est la somme des cinq aires de trapèze et jouer considérer que ça c'est une valeur approché de l'air sous la courbe donc je vais écrire que l'air sous la courbe est environ égal à cette grosse somme là une somme que pour ce cas précis je vais essayer d'évaluer on sait pas exactement égal tu vois que je perds de l'espace ça tout ce que je signale ici ça fait partie de l'air sous la courbe pourtant ce sera pas comptabilisé dans la somme de l'ère des trapèzes donc c'est pour ça que c'est une valeur approché sait pas exactement égale le sud valeur approché dont on va se contenter voilà alors pour simplifier un peu l'expression ben je vais factoriser le delta x / 2 qui se retrouvent en facteur commun dans cette somme et je vais avoir quoi dans les parenthèses qu'est ce qui va en rester en reste et f 2 1 il va me rester attention deux fois à f/2 2 1 du premier trapèze et lin du deuxième trapèze et et on va continuer avec les f2 3 je vais en avoir également deux du premier trappe 1 du deuxième trapèze et 1 du troisième trapèze donc plus deux fois m23 est exactement la même chose pour f24 vais avoir deux fois f24 pour f25 j'aurai deux fois f25 et une seule fois avec 2,6 donc plus f26 et on referme la grande parenthèse bon là on obtient une formule qui est un petit peu plus simple à évaluer mais dans laquelle on voit plus très très bien les airs des trapèzes c'est pas grave cette formule nous servira pour l'évaluation de l'air sous la courbe on sait de toute manière que cette formule provient de la somme désert des trapèzes qu'on a écrit plus haut 1 donc c'est pas bien grave si elle perd un peu de sa forme originelle bon ben maintenant on va se servir de cette formule pour évaluer c'est à dire qu'on en place chaque chose qu'on connaît par sa valeur delta x on sait que c'est un donc déjà ça s'est réglé maintenant f21 on se rappelle que fc une fausse et la fonction qui risque associé racines 2x moins 1 donc il suffit de il suffit de se substituer ses racines de 1 - 1 ses racines de 0 f 2 1 ça fait zéro donc à la place de m de neige mais zéro f-22 ben ses racines de 2 - 1 c'est-à-dire racines de un f-22 ça fait 1 et comme j'ai deux f-22 tout ça ça fait deux voilà maintenant concernant af23 je veux exactement faire la même chose f 2 3 ses racines de 3 - 1 quand je substitut dans la formule de la fonction c'est donc racine de 2 et quand je multiplie par deux tous à tous ceux de f2 3 c'est en fait deux racines de 2 f24 c'est même chose racines de 4 - 1 c'est donc racine de 3 et là j'ai deux fois racines de 3 f 2,5 ses racines de 5 - 1 ses racines de 4 mes racines de 4 ça vaut deux et deux fois deux ça fait 4 donc tout ça ça vaut 4 f26 sert à un signe de 6 monza c'est donc racine de 5 et donc voilà j'ai ma ma grande formule qui me calcule leers et 1/2 2 0 + 2 plus de racines de deux plus de racines de 3 + 4 plus racine de 5 pour avoir une valeur approché on va demander à la calculatrice de calculer ça donc on tape à la calculatrice un demi ou 0,5 fois zéro + 2 plus de racines de deux plus de racines de 3 + 4 plus de racines de 5 et la calculatrice nous donnera une valeur approché de ses de la valeur de l'air sous la courbe et on obtient une valeur approché de 7,2 6 4 de 9 et cetera on se contentera de toute manière c'était déjà une valeur approcher parce que leers l'air la sound r d de rappel c'est pas l'air sous la courbe on se contentera de 7,26 unités d'air voilà pour estimer c'est une estimation un petit peu inférieur d'après ce qu'on a l'air de voir sur le dessin pour estimer l'air sous la courbe