Primitive de cos^3(x)

on nous demande de trouver une primitive de la fonction caussinus x élevé à la puissance 3 donc mais la vidéo sur pause essaye de voir ce que tu arrives à faire de ton côté et puis on se retrouve on va le faire ensemble peut-être que tu es resté coincé absolument coincé dès le départ sur cette question peut-être que tu as réussi j'en sais rien on va le faire ensemble mais si tu es resté coincé c'est pas très étonnant puisque effectivement on a ici la fonction caussinus x élevé à la puissance 3 si par exemple on avait eu insinue six fois caussinus de xlv ^ 3 ou quelque chose comme ça on aurait peut-être pu réussir à plus facilement à résoudre cette question là est en fait la clé ici ça va être d'utiliser des identités trigonométriques de base alors pour être plus précis il ya une identité trigonométriques que tu dois absolument connaître et avoir en tête parce qu'elle va être utile dans de nombreuses situations c'est celle ci on sait que sinus carré de x + caussinus carré de x c'est égal à 1 quelle que soit la valeur de x alors ça on peut l'écrire comme ça aussi c'est caussinus carré de x qui est égal à 1 - sinus carré de x alors ici je vais faire quelque chose on va voir ce que tu en dis j'ai caussinus cubes de x caussinus 2x élevé à la puissance 3 je peux l'écrire comme ça c'est caussinus x multiplier par caussinus carré de x et la l'envi que j'ai c'est de remplacer caussinus carré donc cette expression là parce que j'ai écris ici j'ai exprimé caussinus carré de x en fonction de sinus carré 2x et du coup si je fais ça et bien j'obtiens que caussinus cubes de xc caussinus x factor 2-1 - sinus carré de x voilà alors ben là je t'entends tu dois être en train de te dire mais non mais ça savarese nous servir à rien du tout puisque là on obtient une expression beaucoup plus compliqué de la fonction caussinus cubes de x qui était assez simple caussinus 2x élevé à la puissance 3 et donc ça peut te paraître vraiment une mauvaise voie que dalle est complexifiée mon écriture qui est là alors si c'est ce que tu es en train de te dire je te répondrais que ça a l'air effectivement de complexifier les choses mais à mesure qu'on va travailler avec cette expression là qu'on va s'habituer à jouer avec tu vas voir que finalement ça contribue vraiment à rendre le calcul de cette primitive beaucoup plus simple donc on va essayer ça en fait caussinus cubes de x et bien ça sera caussinus x x 1 - caussinus x fois sinus carré 2 x voilà je l'écris comme ça du coup on me conduit à chercher la primitive de cette expression là effectivement ça sera une primitif de la fonction caussinus x qui est là et ça on sait que une primitive de la fonction caussinus x c'est la fonction cygnus x et puis bien sûr il faudra trouver une primitive de cette expression là donc je vais le faire ici on va chercher une primitive de la fonction caussinus x x sinus carré de x alors ici on peut se rendre compte tout de suite qu'il y a une fonction de composer ici et cette fonction elle est composée de la fonction carré et de la fonction cygnus x donc ce que je vais faire c'est poser eu 2 x égale cygnus x voilà du coup eu primes de x eh bien c'est la dérive et de cygnus x donc c'est caussinus x donc finalement cette expression là je peux la réécrire comme ça cu prime 2 x x eu 2 x élevée au carré je vais l'écrire comme ça élevée au carré et là on a quelque chose de la forme du prime x v prime de u2 x avec v primes de x qui est égal à x au carré donc si les primes de x est égal à ixxo carré et bien v2x ça sera x au cube sur trois effectivement quand tueur dérive cette expression là tu obtiens bien x au carré et donc une primitive je vais l'écrire ici une primitive de cosinus x sinus carré de x eh bien c'est la fonction v de u2 x v de u2 x ça c'est la règle de dérivation des fonctions proposées lui à l'envers et dans notre cas ici ça sera un tiers de cygnus x élevé à la puissance 3 donc cette expression là une primitive et bien c'est sinus cygnus x au cube sur trois et donc finalement on a terminé une primitive de cosinus x au cube eh bien c'est la fonction cygnus x qui est cette primitive - cygnus x au cube sur trois plus évidemment une constante voilà ça c'est notre réponse je vais l'encadrer ici et tu vois que cette fois ci encore on a réussi à calculer cette primitive là en utilisant la règle de dérivation des fonctions composé qu'on lit dans le sens inverse