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Primitives d'une fonction puissance

La formule et ses utilisations

La formule des primitives d'une fonction puissance

n est un nombre rationnel différent de minus, 1, \operatorname{}
Si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, n, end superscript et n, does not equal, minus, 1, alors F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, n, plus, 1, end superscript, divided by, n, plus, 1, end fraction, plus, C\operatorname{}\operatorname{}
La dérivée de x, start superscript, n, plus, 1, end superscript est left parenthesis, n, plus, 1, right parenthesis, x, start superscript, n, end superscript, donc une primitive de x, start superscript, n, end superscript est le quotient de x, start superscript, n, plus, 1, end superscript par n, plus, 1.
N’oubliez pas que cette formule ne s’applique pas à n, equals, minus, 1.
Elle est facile à retrouver à partir de la formule de dérivation des puissances.

Primitives d'une fonction polynôme

La formule permet de calculer les primitives de n'importe quelle fonction polynôme. Soit, par exemple, la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 7, end superscript. Ses primitives sont les fonctions F telles que :
F(x)=3(x7+17+1)+C=3(x88)+C=38x8+C\begin{aligned} \displaystyle F(x)&=3\left(\dfrac{x^{7+1}}{7+1}\right)+C \\\\ &=3\left(\dfrac{x^8}{8}\right)+C \\\\ &=\dfrac{3}{8}x^8+C \end{aligned}\operatorname{}
Vous pouvez vérifier votre résultat en calculant la dérivée de la primitive que vous avez calculé !
Exercice 1
  • Actuelle
Les primitives de la fonction définie par f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 14, t sont : \operatorname {}
Choisissez une seule réponse :

D'autres exercices :

Primitives d'une fonction puissance d'exposant négatif

Soit, par exemple, la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 2, end superscript.
Ses primitives sont les fonctions F deˊfinies par : F(x)=x2+12+1+CF(x)=x11+CF(x)=1x+C\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{} \text{Ses primitives sont les fonctions $F$ définies par : } \\\\ &F(x)=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C \\\\ &F(x)=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C \\\\ &F(x)=-\dfrac{1}{x}+C \end{aligned}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}
Exercice 1
  • Actuelle
Les primitives de la fonction f définie sur ℝ, start superscript, times, end superscript par f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 8, t, start superscript, minus, 3, end superscript sont les fonctions :
Choisissez une seule réponse :

D'autres exercices :

Primitives des fonctions puissances d'exposant fractionnaire

Soit, par exemple, la fonction f définie sur open bracket, 0, space, ;, plus, ∞, open bracket par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root.
f(x)=x=x12F(x)=x12+112+1+C=x3232+C=2x33+C\begin{aligned} \displaystyle f(x)= \sqrt x&=\displaystyle x^{^{\large\frac{1}{2}}} \\\\ F(x)&=\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}\normalsize+1}}}{\dfrac{1}{2}+1}+C \\\\ &=\dfrac{x^{^{\large\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C \\\\ &=\dfrac{2\sqrt{x^3}}{3}+C \end{aligned}\operatorname{}\operatorname{}
Exercice 1
  • Actuelle
Les primitives de la fonction f définie par f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 4, t, start superscript, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end superscript sont : \operatorname {}
Choisissez une seule réponse :

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