Primitives d'une fonction puissance

$n$n est un nombre rationnel différent de $-1$minus, 1, $\operatorname{}$

Si $f(x)=x^n$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, n, end superscript et $n≠-1$n, does not equal, minus, 1, alors $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, n, plus, 1, end superscript, divided by, n, plus, 1, end fraction, plus, C$\operatorname{}\operatorname{}$

La dérivée de $x^{n+1}$x, start superscript, n, plus, 1, end superscript est $(n+1)x^n$left parenthesis, n, plus, 1, right parenthesis, x, start superscript, n, end superscript, donc une primitive de $x^n$x, start superscript, n, end superscript est le quotient de $x^{n+1}$x, start superscript, n, plus, 1, end superscript par $n+1$n, plus, 1.

N’oubliez pas que cette formule ne s’applique pas à $n =-1$n, equals, minus, 1.

Elle est facile à retrouver à partir de la formule de dérivation des puissances.

La formule permet de calculer les primitives de n'importe quelle fonction polynôme. Soit, par exemple, la fonction $f$f définie par $f(x)=3x^7$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 7, end superscript. Ses primitives sont les fonctions $F$F telles que :

Vous pouvez vérifier votre résultat en calculant la dérivée de la primitive que vous avez calculé !

Soit, par exemple, la fonction $f$f définie par $f(x)=\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 2, end superscript.

Soit, par exemple, la fonction $f$f définie sur $[0~;+∞[$open bracket, 0, space, ;, plus, ∞, open bracket par $f(x)=\sqrt x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root.