Intégration par parties - 3 exemples

Il faut faire deux intégrations par parties successives.

On sait que ${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}$‍.

D'abord on pose $u=e^x$‍ et $dv=\sin (x)dx$‍. Donc, $du=e^{x}dx$‍ et ${\displaystyle v=\int \sin xdx=-\cos x}$‍.

On obtient :

Pour calculer ${\displaystyle \int e^x\times \cos xdx}$‍, on refait une intégration par parties. Cette fois, on pose $u=e^x$‍ et $dv=\cos xdx$‍. Donc, $du=e^{x}dx$‍ et $v=\sin x$‍.

On obtient :

La même intégrale se trouve dans les deux membres :

${\displaystyle \int e^x\times \sin xdx={\displaystyle -e^x\times \cos x+e^x\times \sin x-\int e^x\times \sin xdx}}$‍.

On ajoute ${\displaystyle \int e^x\times \sin xdx}$‍ dans les deux membres :

On divise par $2$‍ :

Il faut faire deux intégrations par parties successives.

On sait que ${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}$‍.

D'abord, on pose $u=(\ln x{)}^2$‍ et $dv=dx$‍. Donc, $du=2\ln x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$‍ et $v=x$‍.

On obtient :

Pour calculer ${\displaystyle \int \ln xdx}$‍, on refait une intégration par parties. Cette fois, on pose $u=\ln x$‍ et $dv=dx$‍. Donc, $du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$‍ et $v=x$‍.

On obtient :

Il faut faire deux intégrations par parties successives.

On sait que ${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}$‍.

D'abord, on pose $u=x^2$‍ et $dv=\sin (\pi x)dx$‍. Donc, $du=2xdx$‍ et ${\displaystyle v=\int \sin (\pi x)dx=-{\displaystyle \frac{\cos (\pi x)}{\pi }}}$‍.

On obtient :

Pour calculer ${\displaystyle \int x\times \cos (\pi x)dx}$‍, on refait une intégration par parties. Cette fois, on pose $u=x$‍, et $dv=\cos (\pi x)dx$‍. Donc, $du=dx$‍ et $v={\displaystyle \int \cos (\pi x)dx={\displaystyle \frac{\sin (\pi x)}{\pi }}}$‍.

On obtient :