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Intégration par parties - Savoirs et savoir-faire

Ce qu'il faut retenir.

Qu'est-ce que l'intégration par parties ?

C'est une méthode qui permet dans certains cas de trouver une primitive du produit de deux fonctions. Voici la formule :
integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
ou encore
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
Démonstration : Si u et v sont deux fonctions dérivables, d'après la formule de dérivation du produit de deux fonctions : left parenthesis, u, v, right parenthesis, prime, equals, u, prime, v, plus, v, prime, u, donc u, prime, v, equals, left parenthesis, u, v, right parenthesis, prime, minus, v, prime, u. D'après la linéarité des primitives, primitive de u, prime, v = primitive de left parenthesis, u, v, right parenthesis, prime, minus primitive de v, prime, u et primitive de u, prime, v = u, v, minus primitive de v, prime, u

1 - Intégration par parties d'une intégrale indéfinie

Soit à calculer integral, x, cosine, x, d, x. On pose u, equals, x et d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x :
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v
u, equals, x donc d, u, equals, d, x.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x donc v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
On applique la formule :
x×cos(x)dx=udv=u×vvdu=x×sin(x)sin(x)dx=x×sin(x)+cos(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x×\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=u×v-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x×\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x×\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
N’oubliez pas que vous pouvez toujours vérifier vos calculs en dérivant le résultat obtenu !
Exercice 1.1
  • Actuelle
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Intégration par parties d'une intégrale définie

Soit à calculer integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. On pose u, equals, x et d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x :
u, equals, x donc d, u, equals, d, x.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x donc v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.
On applique la formule :
=05xexdx=05udv=[uv]0505vdu=[xex]0505exdx=[xexex]05=[ex(x+1)]05=e5(6)+e0(1)=6e5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Exercice 2.1
  • Actuelle
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, cubed, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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